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Ich möchte eine Alternative Lösung vorschlagen, die zugleich ein schönes Verhältnis offenbart, welches man zur Konstruktion einer solchen Figur nutzen kann.
Mann ziehe eine senkrechte Hilfslinie durch den Mittelpunkt M und verbinde die Punkte M und D sowie M und E mit Strecken vom Radius r. Der Winkel zwischen MD und der Hilfslinie sei Alpha und der zwischen ME und der Hilfslinie sei Beta. Dann ist a = r*sin(Alpha) und b = r*sin(Beta) und es gilt:
r*sin(Alpha) + r*sin(Beta) = r*cos(Alpha) + r*cos(Beta).
Bringt man die Alphas nach links und die Betas nach rechts und teilt durch r, dann wird daraus:
sin(Alpha) - cos(Alpha) = -sin(Beta) + cos(Beta)
Beide Seiten mit 1/Wurzel(2) = sin(Pi/4) = cos(pi/4) multipliziert und die Additionstheoreme angewandt ergibt:
sin(Alpha - pi/4) = sin(-Beta + Pi/4)
Daraus folgt fast unmittelbar: Beta = Pi/2 - Alpha
Diese Winkelbeziehung lässt sich sehr schön für die Konstruktion nutzen!
Ferner gilt für die Summe der Flächen der Halbkreise mit Beta = Pi/2 - Alpha:
a^2*pi/2 + b^2*Pi/2
= r^2*sin(Alpha)^2*Pi/2 + r^2*sin(Pi/2 - Alpha)^2*Pi/2
= r^2*Pi/2*(sin(Alpha)^2 + cos(Alpha)^2)
= r^2*Pi/2, was der halben Fläche des großen Kreises entspricht.
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Alternative Lösung
29.01.2022, Thomas KlingbeilMann ziehe eine senkrechte Hilfslinie durch den Mittelpunkt M und verbinde die Punkte M und D sowie M und E mit Strecken vom Radius r. Der Winkel zwischen MD und der Hilfslinie sei Alpha und der zwischen ME und der Hilfslinie sei Beta. Dann ist a = r*sin(Alpha) und b = r*sin(Beta) und es gilt:
r*sin(Alpha) + r*sin(Beta) = r*cos(Alpha) + r*cos(Beta).
Bringt man die Alphas nach links und die Betas nach rechts und teilt durch r, dann wird daraus:
sin(Alpha) - cos(Alpha) = -sin(Beta) + cos(Beta)
Beide Seiten mit 1/Wurzel(2) = sin(Pi/4) = cos(pi/4) multipliziert und die Additionstheoreme angewandt ergibt:
sin(Alpha - pi/4) = sin(-Beta + Pi/4)
Daraus folgt fast unmittelbar: Beta = Pi/2 - Alpha
Diese Winkelbeziehung lässt sich sehr schön für die Konstruktion nutzen!
Ferner gilt für die Summe der Flächen der Halbkreise mit Beta = Pi/2 - Alpha:
a^2*pi/2 + b^2*Pi/2
= r^2*sin(Alpha)^2*Pi/2 + r^2*sin(Pi/2 - Alpha)^2*Pi/2
= r^2*Pi/2*(sin(Alpha)^2 + cos(Alpha)^2)
= r^2*Pi/2, was der halben Fläche des großen Kreises entspricht.