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Die verlangte Bedingung ergibt:
3(R^2 - r^2) = R^3 - r^3
Teilt man beide Seiten durch 1 = R - r ergibt sich:
3(R + r) = (R^3 - r^3) / (R - r) = R^2 + Rr + r^2
Die dritten Potenzen sind damit weg. Nun wendet man R = r + 1 an:
3(2r + 1) = (r+1)^2 + (r+1)r + r^2.
Fasst man Terme mit gleichen Potenzen von r zusammen, folgt direkt:
3r^2 - 3r - 2 = 0
Wird die Gleichung mit 3 multipliziert und x = 3r gesetzt, ergibt sich:
x^2 - 3x - 6 = 0
Die positive Lösung ist somit (sqrt ist die Quadratwurzelfunktion):
x = 3/2 + sqrt(9/4 + 6) = 3/2 + sqrt(33)/2
Division durch 3 ergibt die Lösung für r. Dabei wurde von Anfang an die Längeneinheit 1m verwendet, d.h. R und r sind die Maßzahlen der in Metern gemessenen Radien.
@Herr Funk: Ihre mit Maßeinheit behaftete Gleichung besagt (zunächst), dass eine Fläche gleich einem Volumen ist. Das ist ein Widerspruch. Der ist vermeidbar, wenn man, wie die Aufgabe sagt, die Fläche in Quadratmetern und das Volumen in Kubikmetern misst. Anders gesagt, Ihre Gleichung müsste noch auf der linken Seite durch m^2 und auf der rechten durch m^3 geteilt werden. Dies führt dazu, dass die Gleichung nur noch von dem Term r/m abhängig ist. Und r/m ist die Maßzahl des in Metern gemessenen Radius.
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R - r = 1
05.05.2022, Kuchen3(R^2 - r^2) = R^3 - r^3
Teilt man beide Seiten durch 1 = R - r ergibt sich:
3(R + r) = (R^3 - r^3) / (R - r) = R^2 + Rr + r^2
Die dritten Potenzen sind damit weg. Nun wendet man R = r + 1 an:
3(2r + 1) = (r+1)^2 + (r+1)r + r^2.
Fasst man Terme mit gleichen Potenzen von r zusammen, folgt direkt:
3r^2 - 3r - 2 = 0
Wird die Gleichung mit 3 multipliziert und x = 3r gesetzt, ergibt sich:
x^2 - 3x - 6 = 0
Die positive Lösung ist somit (sqrt ist die Quadratwurzelfunktion):
x = 3/2 + sqrt(9/4 + 6) = 3/2 + sqrt(33)/2
Division durch 3 ergibt die Lösung für r. Dabei wurde von Anfang an die Längeneinheit 1m verwendet, d.h. R und r sind die Maßzahlen der in Metern gemessenen Radien.
@Herr Funk: Ihre mit Maßeinheit behaftete Gleichung besagt (zunächst), dass eine Fläche gleich einem Volumen ist. Das ist ein Widerspruch. Der ist vermeidbar, wenn man, wie die Aufgabe sagt, die Fläche in Quadratmetern und das Volumen in Kubikmetern misst. Anders gesagt, Ihre Gleichung müsste noch auf der linken Seite durch m^2 und auf der rechten durch m^3 geteilt werden. Dies führt dazu, dass die Gleichung nur noch von dem Term r/m abhängig ist. Und r/m ist die Maßzahl des in Metern gemessenen Radius.