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Die ganze Figur gedanklich (oder gar real) einzufärben erscheint mir etwas aufwändig, daher habe ich einen anderen, für mich schnelleren Lösungsweg gewählt.
An jeder Linie ist eine benachbarte Fläche innerhalb und die andere außerhalb der Fläche.
Daraus folgt*: wenn ich von einem Punkt der sicher außerhalb der Fläche ist (zum Beispiel dem Bildrand) zu einem Punkt X komme, dann ist X genau dann innerhalb der Fläche, wenn die Anzahl der Linien die ich dabei überquere ungerade ist. Bei gerader Anzahl überschrittener Linien ist X außerhalb der Fläche.
Damit lässt sich dann sehr schnell folgern:
P1: außerhalb, da 4 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht.
P2: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht.
P3: außerhalb, da 2 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.
P4: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach oben geht,
P5: innerhalb, da 1 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.
Die Richtungen habe ich jeweils unter der Prämisse kürzester Weg gewählt (um Zeit zu sparen), aber alle Richtungen hätten das gleiche Ergebnis erzeugt.
*= wer die Folgerung nicht intuitiv findet, dem sei hier ein Beweis per vollständiger Induktion über alle natürlichen Zahlen und Null skizziert.
Induktionsanfang:
Wenn X mit 0 Überschreitungen einer Linie von außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche (gilt nach Definition)
Induktionsschritt:
Sei n eine gerade natürliche Zahl oder 0.
Induktionsvoraussetzung:
Wenn X mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.
⇒ Wenn X' mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X außen ist, ist X' dann innen.
⇒ Wenn X'' mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X' innen ist, ist X'' dann außen.
Induktionsbehauptung:
Wenn X mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.
Auch wenn die Induktionsbehauptung sich nur auf gerade n bezieht, wurden die ungeraden n in der Induktion effektiv mit abgehandelt (als n+1)
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Anderer Lösungsweg
23.07.2022, PatrickAn jeder Linie ist eine benachbarte Fläche innerhalb und die andere außerhalb der Fläche.
Daraus folgt*: wenn ich von einem Punkt der sicher außerhalb der Fläche ist (zum Beispiel dem Bildrand) zu einem Punkt X komme, dann ist X genau dann innerhalb der Fläche, wenn die Anzahl der Linien die ich dabei überquere ungerade ist. Bei gerader Anzahl überschrittener Linien ist X außerhalb der Fläche.
Damit lässt sich dann sehr schnell folgern:
P1: außerhalb, da 4 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht.
P2: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht.
P3: außerhalb, da 2 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.
P4: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach oben geht,
P5: innerhalb, da 1 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.
Die Richtungen habe ich jeweils unter der Prämisse kürzester Weg gewählt (um Zeit zu sparen), aber alle Richtungen hätten das gleiche Ergebnis erzeugt.
*= wer die Folgerung nicht intuitiv findet, dem sei hier ein Beweis per vollständiger Induktion über alle natürlichen Zahlen und Null skizziert.
Induktionsanfang:
Wenn X mit 0 Überschreitungen einer Linie von außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche (gilt nach Definition)
Induktionsschritt:
Sei n eine gerade natürliche Zahl oder 0.
Induktionsvoraussetzung:
Wenn X mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.
⇒ Wenn X' mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X außen ist, ist X' dann innen.
⇒ Wenn X'' mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X' innen ist, ist X'' dann außen.
Induktionsbehauptung:
Wenn X mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.
Auch wenn die Induktionsbehauptung sich nur auf gerade n bezieht, wurden die ungeraden n in der Induktion effektiv mit abgehandelt (als n+1)