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Im 5. Jh. v. Chr. fanden einige Konstruktionsaufgaben besonderes Interesse in der Fachwelt. Dazu gehörten die Frage nach der Teilung eines gegebenen Winkels in drei gleiche Teile und die Verwandlung eines Kreises in ein flächengleiches Quadrat. Heute wissen wir, dass beide Aufgaben mit den klassischen Hilfsmitteln, Zirkel und Lineal nicht lösbar sind. Hippias von Elis schuf sich im späten 5. Jh. v. Chr. die später sogenannte „Quadratrix“ als Hilfsmittel. Er hat sie Punktweise im Einheitsquadrat konstruiert. P1 war der Schnittpunkt der Mittelparallelen g1 zwischen den Geraden x=0 und x=1 und der ersten Hauptdiagonalen w1. w2 halbiert den Winkel zwischen w1 und x-Achse und g2 ist die Mittelparallele zwischen g1 und x=1. g2 und w2 schneiden sich in P2. w3 halbiert den Winkel zwischen w2 und x-Achse und g3 ist die Mittelparallele zwischen g2 und x=1. g3 und w3 schneiden sich in P3. Und immer wieder werden Winkelhalbierende mit Mittelparallelen geschnitten, um neue Schnittpunkte zu erhalten. Die Linie, auf der alle diese Schnittpunkte liegen, wurde später Quadratrix genannt (siehe Abbildung).
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Hippias von Elis drittelte damit einen beliebigen Winkel in folgenden Schritten:
Der Winkel wurde im Punkt O(0|0) an die positive x-Achse angetragen.
Der freie Schenkel des Winkels schneidet die Quadratrix in P. Das Lot von P auf die x-Achse wird von den Punkten Q und R gedrittelt. OP und OQ dritteln den Winkel.
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Um 350 v.Chr. hat Deinostratos entdeckt, dass sich die Quadratrix auch für die Lösung des zweiten eingangs genannten Problems eignet, das als „Quadratur des Kreises“ sprichwörtliche Bedeutung erhalten hat. Die Tangente an den Funktionsgraphen der Quadratrix im Punkt (1/0) schneidet die y-Achse in (0|π/2). Wie Deinostratos das herausgefunden hat, ist wohl unbekannt, lässt sich aber heute mit Hilfe der Oberstufenmathematik überprüfen.
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Nebenstehende Abbildung zeigt diese Tangente und ein Rechteck (grau) mit dem Flächeninhalt 2·π/2 = π. Das Rechteck lässt sich mit dem Höhensatz in ein Quadrat (gelb) verwandeln.
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Zwei klassische Probleme der Geometrie
12.02.2023, Roland SchröderAbbildung konnte nicht eingefügt werden.
Hippias von Elis drittelte damit einen beliebigen Winkel in folgenden Schritten:
Der Winkel wurde im Punkt O(0|0) an die positive x-Achse angetragen.
Der freie Schenkel des Winkels schneidet die Quadratrix in P. Das Lot von P auf die x-Achse wird von den Punkten Q und R gedrittelt. OP und OQ dritteln den Winkel.
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Um 350 v.Chr. hat Deinostratos entdeckt, dass sich die Quadratrix auch für die Lösung des zweiten eingangs genannten Problems eignet, das als „Quadratur des Kreises“ sprichwörtliche Bedeutung erhalten hat. Die Tangente an den Funktionsgraphen der Quadratrix im Punkt (1/0) schneidet die y-Achse in (0|π/2). Wie Deinostratos das herausgefunden hat, ist wohl unbekannt, lässt sich aber heute mit Hilfe der Oberstufenmathematik überprüfen.
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Nebenstehende Abbildung zeigt diese Tangente und ein Rechteck (grau) mit dem Flächeninhalt 2·π/2 = π. Das Rechteck lässt sich mit dem Höhensatz in ein Quadrat (gelb) verwandeln.
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