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Die erste Gleichung lautet 25a+100b+500c=2000. Der größte gemeinsame Teiler (i.e. ggT) von 25, 100 und 500 ist 25. Die Gleichung kann nur ganzzahlige Lösungen haben, wenn der ggT ein Teiler der rechten Seite der Gleichung ist. Das ist der Fall und man führt die Teilung durch: a+4b+20c=80 (*1). Darauf zu verzichten, birgt die Gefahr von Rechenfehlern, weil die Zahlen unnötig groß sind.
Die zweite Gleichung a+b+c=24 ziehen wir von (*1) ab: 3b+19c=56 (*2). Setzt man (b,c)=(-6,1), dann ergibt die linke Seite 1 (s.a. erweiterter Euklidscher Algorithmus). Demnach ist (b,c)=(-6*56,1*56) eine ganzzahlige Lösung von (*2). Andere Lösungen sind von der Form (b,c)=(-6*56+s,1*56-t). Wird das in (*2) eingesetzt, ergibt sich wegen der gefundenen ganzzahligen Lösung die Gleichung 3s=19t. Dann muss s ein k-faches von 19 sein, folglich s=19k und t=3k. Wir erhalten somit *alle* ganzzahligen Lösungen von (*2) (und (*1)) aus (a,b)=(-6*56+19k,1*56-3k) (*3), wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.
Anmerkung: Man sieht an (*2) sofort, dass c kleiner 3 sein muss (um positive Lösungen zu bekommen). Somit kann man b bestimmen, indem man es mit c=1 und c=2 probiert (zwei statt drei Versuche). c=2 ergibt b=6.
Damit von (*3) die erste Komponente positiv ist, muss k mindestens 18 sein. Damit die zweite positiv ist, muss k kleiner 19 sein. Also k=18. Damit ergibt sich (a,b)=(-6*56+19*18,1*56-3*18)=(6,2). Da a+b+c=24, ist a=24-(b+c)=16.
Der Lösungsweg ist insofern interessant, als er auch zeigt, wie man alle ganzzahligen Lösungen (x,y) einer Gleichung der Form a*x+b*y=c mit ganzen Zahlen a,b,c findet.
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Diophantische Gleichung ax+by=c
03.07.2023, KuchenDie zweite Gleichung a+b+c=24 ziehen wir von (*1) ab: 3b+19c=56 (*2). Setzt man (b,c)=(-6,1), dann ergibt die linke Seite 1 (s.a. erweiterter Euklidscher Algorithmus). Demnach ist (b,c)=(-6*56,1*56) eine ganzzahlige Lösung von (*2). Andere Lösungen sind von der Form (b,c)=(-6*56+s,1*56-t). Wird das in (*2) eingesetzt, ergibt sich wegen der gefundenen ganzzahligen Lösung die Gleichung 3s=19t. Dann muss s ein k-faches von 19 sein, folglich s=19k und t=3k. Wir erhalten somit *alle* ganzzahligen Lösungen von (*2) (und (*1)) aus (a,b)=(-6*56+19k,1*56-3k) (*3), wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.
Anmerkung: Man sieht an (*2) sofort, dass c kleiner 3 sein muss (um positive Lösungen zu bekommen). Somit kann man b bestimmen, indem man es mit c=1 und c=2 probiert (zwei statt drei Versuche). c=2 ergibt b=6.
Damit von (*3) die erste Komponente positiv ist, muss k mindestens 18 sein. Damit die zweite positiv ist, muss k kleiner 19 sein. Also k=18. Damit ergibt sich (a,b)=(-6*56+19*18,1*56-3*18)=(6,2). Da a+b+c=24, ist a=24-(b+c)=16.
Der Lösungsweg ist insofern interessant, als er auch zeigt, wie man alle ganzzahligen Lösungen (x,y) einer Gleichung der Form a*x+b*y=c mit ganzen Zahlen a,b,c findet.