"Stelle die Rotation in Kugelkoordinaten dar." Diese Übungsaufgabe hat mich als Student im ersten Semester fast zum Verzweifeln gebracht. In der Schule hatte mein Lehrer die höhere Mathematik fast komplett ignoriert, und ich war denkbar schlecht auf ein so mathematiklastiges Studium wie die Astronomie vorbereitet. Von "Vektoranalysis" hatte ich noch nie etwas gehört – doch genau darum ging es bei der Frage nach der "Rotation". Denn damit ist nicht die physikalische Drehbewegung eines Objekts gemeint, sondern die abstrakte Transformation eines Vektorfelds – die allerdings auch in der echten Welt durchaus von Bedeutung ist.

Etwa wenn Meteorologen die so genannte "Wirbelstärke" beschreiben wollen, die mit folgender Formel definiert wird:

Die Formel für die Wirbelstärke
© Florian Freistetter
(Ausschnitt)

Ein Wirbelsturm besteht aus Luft, die um eine Achse rotiert. Jedem Punkt der Atmosphäre kann man dabei eine Geschwindigkeit zuordnen. Diese Geschwindigkeit hat einen absoluten Wert, also den Betrag der Geschwindigkeit selbst, aber auch eine Richtung, in der die Bewegung erfolgt. Die Geschwindigkeit u liegt also mathematisch gesehen als "Vektor" vor, und zusammen bilden all diese Geschwindigkeitsvektoren ein Vektorfeld.

Das, was in der Gleichung oben als "rot" bezeichnet wird, beschreibt nun genau die mathematische Operation, die mir so große Schwierigkeiten bereitet hat. Um die "Rotation" auf ein Vektorfeld anwenden zu können, braucht man den "Nabla-Operator", der durch das umgedrehte Dreieck dargestellt wird.

Ohne Nabla geht gar nichts

Der Nabla-Operator besteht aus differenziellen Ableitungen. Oder vereinfacht gesagt: Man betrachtet die Veränderung der Geschwindigkeit, berücksichtigt dabei jedoch nur bestimmte Richtungen. Um die Rotation eines Vektorfelds in einer der drei Raumrichtungen zu erhalten, sieht man nach, wie stark sich die Geschwindigkeit in den anderen beiden Richtungen ändert, und bildet die Differenz daraus (das heißt, man bildet ein vektorielles "Kreuzprodukt", mathematisch in der Formel durch das "x" angegeben).

Nach Anwendung der Rotation auf das Geschwindigkeitsfeld der Luft erhält man ein neues Vektorfeld, bei dem jedem Punkt der Atmosphäre eine Wirbelstärke zugeordnet ist. Die vielen Wirbelstürme, die in letzter Zeit die Karibik und die USA heimgesucht haben, demonstrieren eindrucksvoll, dass die Bewegung der Luft definitiv kein "wirbelfreies" Vektorfeld ist. Wirbelfreie Vektorfelder spielen aber anderswo in der Physik eine wichtig Rolle. Das beste Beispiel dafür ist das Gravitationsfeld.

Anschaulich lässt sich dessen Wirbelfreiheit daran erkennen, dass es beispielsweise völlig egal ist, auf welcher Route man einen Berg besteigt. Man kann direkt auf schnellstem Weg senkrecht nach oben zum Gipfel klettern. Oder man nimmt die längere Route, die sich um den Berg herum in vielen Serpentinen bis zum Gipfel windet. Am Ende hat man – physikalisch gesehen – immer genau die gleiche Menge an Arbeit geleistet und die gleiche Menge an potenzieller Energie angesammelt, die man wieder verliert, wenn man sich zurück zum Ausgangspunkt begibt.

Die Rotation der Vektoranalysis ist nötig, wenn man die Bewegung von Luftströmungen oder die Bildung von Wasserwirbeln verstehen will. Doch man braucht sie genauso, wenn man verstehen will, wie sich Planeten aus einer rotierenden Staubscheibe bilden können oder wie die Ringe des Saturns funktionieren. Man muss sie verstehen, wenn man Flugzeuge baut oder das Wetter vorhersagen möchte. Überall dort, wo sich etwas dreht, trifft man aus mathematischer Sicht früher oder später auf den Nabla-Operator. Und als ich endlich verstanden hatte, wie die Vektoranalysis funktioniert, und die Bedeutung all der neuen mathematischen Symbole gelernt hatte, war es auch kein Problem mehr, die Übungsaufgabe zu lösen. Zum Glück – denn zumindest in der Naturwissenschaft kommt man ohne Rotation nicht vorwärts.