Lexikon der Mathematik: topologische Dimension
Überdeckungsdimension, Begriff aus der Topologie.
Sei X ein topologischer Raum und F ⊂ X eine Teilmenge. Sei weiterhin {Uj}j∈ℕ eine offene Überdeckung von F. Eine Verfeinerung der offenen Überdeckung {Uj}j∈ℕ ist eine offene Überdeckung, deren offene Mengen jeweils vollständig in einer der offenen Mengen von {Uj}j∈ℕ enthalten sind. Existiert für jede offene Überdeckung von F eine Verfeinerung so, daß jeder Schnitt von mehr als n unterschiedlichen offenen Mengen leer ist, dann heißt
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Die topologische Dimension einer Menge ist stets ganzzahlig.
- ℝn hat die topologische Dimension n.
- Zwei zueinander homöomorphe Räume haben die gleiche topologische Dimension.
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