Peano-Kurve
Diese Kurve soll eigentlich aus 9 gleich langen Strecken (denen in Diagonalrichtung) mit rechten Winkeln bestehen. Die Andeutungen von Abrundungen (die kurzen waagerechten und senkrechten Geradenstücke) zeigen nur an, wie sie an den Punkten, die sie mehrfach ansteuert, weiter läuft. Sie ist gewissermaßen eine Diagonale von links unten nach rechts oben mit zwei ausagedehnten Abstechern. Was geschieht, wenn man jedes der 9 Geradenstücke wieder durch einen solchen – entsprechend um den Faktor 3 kleineren – Streckenzug ersetzt, und das in unendlich vielen Verfeinerungsstufen fortsetzt?
Diese von Giuseppe Peano erfundene Kurve ist überall stetig und nirgends glatt (also nirgends differenzierbar). Sie ist unendlich lang und füllt das Quadrat ziemlich gleichmäßig unendlich fein. Sie ist also ein Fraktal der Dimension 2.
Wenn man die Kurve so auffasst, wie sie hier gezeichnet ist, nämlich mit knappem Vorbeilaufen an den doppelten Punkten, dann teilt sie sogar das Quadrat in zwei zusammenhängende Hälften, die in jedem Punkt einen unendlich dünnen Flaschenhals haben:
In unserer Studienzeit war so etwas nicht ein Beispiel für die Schönheit der Mathematik, sondern wurde als "Monsterkurve" benutzt, um uns blutigen Laien (speziell den Physikern) klar zu machen, dass eine stetige Kurve nicht differenzierbar sein muss.
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