Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß sind die Durchmesser?
Die National Security Agency (NSA) ist der größte Auslandsgeheimdienst der Vereinigten Staaten und für die weltweite Überwachung, Entzifferung und Auswertung elektronischer Kommunikation zuständig. Sie gibt die Zeitschrift »News Highlights« heraus, in der es auch einige Jahre lang eine Rätselkolumne mit dem Titel »The Puzzle« gab. Am 16. Januar 2018 veröffentlichte dort James M. folgende Aufgabe: Alice und Bob wollen Schneemänner bauen. In der Zeit, in der Bob nur eine einzige große Schneekugel von 6 Fuß Durchmesser gerollt hat, hat Alice drei Schneekugeln gerollt und zu einem Schneemann aufeinandergetürmt. »Fertig!«, sagt Alice triumphierend. »Wenn ich nur so winzige Kugeln wie deine rollen würde, wäre ich schon vor zehn Minuten fertig geworden«, entgegnet Bob. Als die beiden Kinder die drei Kugeln von Alice’ Schneemann vermessen, stellen sie fest, dass sie zusammen das gleiche Volumen haben wie Bobs Kugel. Außerdem sind die Durchmesser der Kugeln von Alice’ Schneemann drei verschiedene ganzzahlige Vielfache von 1 Fuß. Wie groß sind die drei Durchmesser?
Haben die drei Kugeln von Alice’ Schneemann Durchmesser von a, b und c Fuß, so hat er ein Volumen von πa3/6 + πb3/6 + πc3/6 = π(a3 + b3 + c3)/6 Kubikfuß. Dies soll gleich dem Volumen von Bobs Schneekugel sein, die 6 Fuß Durchmesser hat. Somit ist π63/6 = π(a3 + b3 + c3)/6, was sich zu a3 + b3 + c3 = 216 vereinfachen lässt. Ist a > b > c, gilt 216/3 < a3 < 216 oder 72 < a3 < 216. Folglich muss a = 5 sein, denn die Kuben von 4 und 6 liegen schon außerhalb dieses Bereichs. Daraus folgt b3 + c3 = 91 und 91/3 < b3 < 91. Somit ist b = 4, woraus sich sofort auch c = 3 ergibt. Die drei Kugeln von Alice’ Schneemann haben also Durchmesser von 5, 4 und 3 Fuß.
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