Betrachten Sie zunächst die Differenz-Beträge der Augenzahlen von zwei Würfeln oder von zwei ganzzahligen gleichverteilten Zufallszahlen von 0 bis 9. Welches Volumen hat eine Pyramide?

Für zwei Würfel mit je n Seiten, n = 6, … ,10, und Augenzahlen von 1 bis n (oder von 0 bis n–1, das macht bei den Differenzen keinen Unterschied) ergeben sich die Antworten aus diesem Schema:

Für diese ganzzahligen Fälle liegt der Erwartungswert offenbar knapp unter n/3.

Nun stellen wir uns die Tabelleneinträge als Säulen entsprechender Höhen in der dritten Dimension vor. Der Wald dieser Säulen verwandelt sich in zwei Pyramiden, wenn wir von den endlich vielen Seitenzahlen der Würfel zu Zufallszahlen im reellen Intervall zwischen 0 und 1 übergehen. Diese Pyramiden haben die gemeinsame Höhe 1 (maximaler Betrag der Differenz) und je eine dreieckige Hälfte des Quadrats als Grundseite. Das Volumen beider Pyramiden zusammen ist genau 1/3 des Volumens des Einheitswürfels. Der gesuchte Erwartungswert ist also genau 1/3.

Dass die Erwartungswerte für die (vorzeichenbehafteten) Differenzen selbst (anstelle ihrer Beträge) stets 0 ist, dürfte klar sein.

Anregung war Aufgabe U7 bei Serebriakoff, nämlich die einführende Variante der Frage mit ganzen Zahlen von 0 bis 9. Die Sache mit den Vorzeichen bringt er als Fangfrage.