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Freistetters Formelwelt

Alles super mit dem Superei

Kreis oder Ellipse? In der Mathematik ist das eine nur ein Spezialfall des anderen. Das Konzept lässt sich noch erweitern, und dann landet man plötzlich mitten in der Welt der Kunst und Ästhetik.
Schloss Egeskov mit Superellipse

Als Astronom habe ich eine ganz besondere Beziehung zu Ellipsen. Auf den ersten Blick erscheint diese spezielle ovale Kurve nicht so elegant wie ein Kreis, und das war mit ein Grund, warum es so lange dauerte, bis sich das heliozentrische Weltbild durchsetzen konnte. Als Nikolaus Kopernikus im 16. Jahrhundert die Erde aus dem Zentrum des Universums verbannte, warf er zwar einige alte Dogmen über den Haufen, aber eben nicht alle. Er hing weiterhin der Überzeugung an, dass die Kreisform irgendwie besonders perfekt sei und sich deswegen alle Himmelskörper auf Kreisbahnen bewegen müssten. Darum waren auch die aus dem kopernikanischen Weltbild berechneten Vorhersagen der Planetenpositionen nicht genauer als die, die man aus dem alten ptolemäischen Weltbild gewinnen konnte.

Erst Johannes Kepler erkannte die Ellipse als Grundlage der Planetenbewegung und schuf damit den Ausgangspunkt der modernen Astronomie. Ellipsen sind also ziemlich toll – doch es gibt etwas, was zumindest dem Namen nach noch besser ist. Eine "Superellipse", die durch diese Formel beschrieben wird:

Superellipse
Superellipse

Sie besteht aus allen Punkten (x,y), die für eine bestimmte Wahl des Parameters n und der Halbachsen a und b die obige Gleichung erfüllen. Anschaulich handelt es sich um eine geometrische Figur, die ein Mittelding zwischen Ellipse und Rechteck darstellt. Wählt man n = 2, dann erhält man eine ganz normale Ellipse; je größer der Wert von n wird, desto mehr nähert sich die Form einem Rechteck an.

Man nennt solche Formen auch "lamésche Kurven", da der französische Mathematiker Gabriel Lamé im 19. Jahrhundert als Erster die Gleichung für elliptische Kurven auf diese Weise verallgemeinert hat. Der Name "Superellipse" stammt vom dänischen Mathematiker und Künstler Piet Hein, der von der Stadtverwaltung in Stockholm mit der Bestimmung der Form eines Kreisverkehrs beauftragt wurde. Der Platz, um den die Straße herumführen sollte, war rechteckig, und um den Verkehrsfluss zu optimieren, wählte Hein für die Form der Fahrbahn ein Mittelding zwischen Kreis und Rechteck.

Hein fand Lamés Kurve so ansprechend, dass er sie noch anderweitig in Kunst und Architektur verbreitete. In den 1960er Jahren entwarf er das so genannte "Superei". Dabei handelt es sich um einen Körper, der von einer rotierenden Superellipse mit dem Parameter n = 2,5 (und einem Verhältnis der Halbachsen von 4/3) erzeugt wird.

Das Superei

Im Gegensatz zu einem normalen Ellipsoid kann man ein "Superei" auf jeder ebenen Oberfläche stabil aufstellen. Es wurde schnell populär: als Spielzeug, als Kerzenständer oder Lampenschirm, als Möbelstück, als Kunstwerk und Denkmal. Eine riesige Superei-Skulptur findet man zum Beispiel vor dem dänischen Wasserschloss Egeskov.

Die Superellipsen haben auch den Informatiker Donald Knuth, Schöpfer des in der Wissenschaft unverzichtbaren Textsatzsystems "TeX", inspiriert. In der für TeX entwickelten Schriftfamilie "Computer Modern" führte er einen Parameter ein, den er "Superness" nannte und der unter anderem den typografischen Unterschied zwischen dem Buchstaben O und der Ziffer 0 definiert. Diese Superness hängt direkt mit der Definition der Superellipse zusammen.

Und wem das immer noch nicht super genug ist: Der Belgier Johan Gielis veröffentlichte 1997 eine Verallgemeinerung der superelliptischen Kurven von Hein und Lamé. Mit dieser "Superformel" genannten Gleichung kann man eine Vielzahl komplexer Formen unterschiedlicher Symmetrie beschreiben.

Als "Botschafter der Zahl Pi" verbindet mich natürlich weiterhin eine sehr starke Zuneigung mit der Kreiszahl Pi. Als Astronom, dessen Spezialgebiet die Bewegung von Himmelskörpern ist, kann ich mich aber auch der Faszination der Ellipsen nicht entziehen. Sie stehen am Anfang des Verständnisses der Dynamik unseres Sonnensystems. Sie sind wichtig genug – egal ob "super" oder nicht.

37/2017

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 37/2017

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