Im Jahr 2000 war ich gerade dabei, einen Plan für meine Doktorarbeit zu entwerfen. Ich wollte mich mit der Dynamik von erdnahen Asteroiden beschäftigen, hatte allerdings nicht die exakte Berechnung von Umlaufbahnen im Sinn. Stattdessen wollte ich wissen, wie man Asteroiden in Gruppen einteilen kann. Bei physikalischen Eigenschaften ist das einfach: Man muss nur genug Beobachtungsdaten sammeln und die Objekte dann entsprechend klassifizieren. Ich wollte dagegen die dynamischen Eigenschaften der Himmelskörper erfassen. Und das war wesentlich komplizierter.

Denn die Asteroiden, die sich in der Nähe der Erde und der Planeten des inneren Sonnensystems aufhalten, besitzen eine komplexe Dynamik. Verfolgt man ihre Bewegung über mehrere hunderttausend Jahre, dann kommen sie immer wieder in die Nähe von Venus, Erde und Mars. Die dabei auftretenden gravitativen Wechselwirkungen führen zu starken und schnellen Veränderungen der Umlaufbahnen. Die Asteroiden werden quasi wie eine Flipperkugel hin und her geworfen und zeigen langfristig eine chaotische Bewegung. Man kann die Himmelskörper nun natürlich anhand gewisser dynamischer Eigenschaften in Klassen einteilen. Aber weil die Bewegung eben chaotisch abläuft, ist auch sichergestellt, dass sich die dynamischen Eigenschaften jedes Asteroids früher oder später so stark ändern, dass er nicht mehr Mitglied der ursprünglichen Gruppe ist.

Meine Idee war es nun, Gruppen zu verwenden, die "unscharf" definiert sind: also anstatt etwa eine Klasse zu schaffen, die "Asteroiden, die in die Nähe der Venus kommen", enthält, eine Gruppe zu definieren, deren Mitglieder "Asteroiden, die oft in der Nähe der Venus vorbeifliegen, sich aber auch ab und zu anderen Planeten angenähert haben", sind. Rein sprachlich ist so etwas leicht zu machen, um das aber auch mathematisch exakt zu definieren, braucht es "Fuzzylogik" und "unscharfe Mengen". Die unscharfe Mengenlehre wurde 1965 von Lofti Zadeh entwickelt und erweitert den klassischen Mengenbegriff. Wo früher etwas entweder Mitglied einer Gruppe sein konnte oder nicht, können Objekte dank Fuzzylogik gleichzeitig Mitglied verschiedener Gruppen sein und das mit unterschiedlich starken Graden der Mitgliedschaft. Wie sehr in meinem Fall ein Asteroid Mitglied einer bestimmten Gruppe ist, wird durch eine Zugehörigkeitsfunktion definiert, die in folgender Formel mit μα(x) bezeichnet ist:

Alpha-Cut
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(Ausschnitt)
 Bild vergrößernAlpha-Cut

Der gesamte mathematische Ausdruck – ein "α-cut" – beschreibt eine klassische Menge von Objekten, deren Grad der Mitgliedschaft zu einer bestimmten unscharfen Gruppe einen vorgegeben Wert α übersteigt. Mit dieser Technik ist es mir am Ende gelungen, wieder eine Verbindung zwischen den unscharfen und den klassischen Mengen zu konstruieren.

Eine der unscharfen Mengen, die in meiner Doktorarbeit auftauchten, waren zum Beispiel die "Asteroiden, die mit der Erde kollidieren können". Im Prinzip kann jeder erdnahe Asteroid mit der Erde kollidieren, aber bei manchen ist die Wahrscheinlichkeit dafür größer als bei anderen. Deswegen hat auch jeder Asteroid einen unterschiedlich starken Grad der Mitgliedschaft zu dieser Gruppe. Mit dem in der obigen Formel beschriebenen α-cut kann man nun aus dieser umfassenden unscharfen Menge eine klassische Menge extrahieren – zum Beispiel alle Asteroiden, deren Grad der Mitgliedschaft zur unscharfen Gruppe 95 Prozent übersteigt.

Das Vorgehen mag auf den ersten Blick trivial erscheinen, aber dank der mathematisch exakten Formulierung unscharfer Eigenschaften konnte ich auch die langfristige und chaotische Dynamik von Himmelskörpern erfassen und klassifizieren. Mit den üblichen Methoden wäre es nicht möglich gewesen, dass sie auf Grund der chaotischen Bewegung nur kurzfristig präzise Analysen der Dynamik ermöglichen. Manchmal muss man eben auch ungenau werden, wenn man so richtig exakt sein will.