Der goldene Schnitt beschreibt das Teilungsverhältnis einer Strecke: Das Verhältnis des Ganzen zum größeren Teil entspricht genau dem Verhältnis des größeren Teils zum kleineren. Hat man eine Strecke auf diese Art und Weise in zwei unterschiedlich große Abschnitte geteilt, kann man die beiden Längen durcheinander dividieren. Das Ergebnis ist eine Zahl, die ebenfalls goldener Schnitt genannt wird, und die man mit dem griechischen Buchstaben Φ bezeichnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, den Zahlenwert von Φ anzugeben. Mir gefällt diese hier am besten:

Die Zahl Φ als unendlicher Kettenbruch
© Florian Freistetter
(Ausschnitt)

So eine Abfolge von Brüchen wird in der Mathematik Kettenbruch genannt. Sie ist etwas ungewohnt und erscheint umständlich – aber sie zeigt eine der wichtigsten Eigenschaften des goldenen Schnitts ganz besonders gut.

Φ ist eine irrationale Zahl, das bedeutet, dass sie nicht durch das Verhältnis zweier ganzer Zahlen angegeben werden kann (so wie das auch bei der bekannteren Kreiszahl π der Fall ist). Man kann aber Φ, so wie jede andere irrationale Zahl auch, durch eine Bruchzahl annähern. Dabei macht man zwangsläufig einen Fehler, den man dann wiederum in eine Bruchzahl umwandeln und mit der ursprünglichen Näherung kombinieren kann. Setzt man das lange genug fort, erhält man eine Abfolge ineinander verschachtelter Brüche: einen Kettenbruch.

Der Fehler, den man bei den einzelnen Approximationen gemacht hat, steht dabei immer unter dem Bruchstrich. Ist der Fehler klein, müssen die im Kettenbruch auftauchenden Zahlen also groß sein, und umgekehrt. Der goldene Schnitt ist nun aber genau der Kettenbruch, der nur aus der Zahl 1 gebildet wird; der kleinstmöglichen ganzen und positiven Zahl. Das bedeutet nichts anderes, als dass der Fehler bei der Approximation hier immer groß ist: Φ ist von allen irrationalen Zahlen diejenige, die sich am schlechtesten durch einen Bruch annähern lässt!

Eigentlich gilt ja der goldene Schnitt als besonders harmonisches Verhältnis und wird deswegen von Künstlern bevorzugt bei der Komposition ihrer Werke verwendet (obwohl neuere Forschung zeigt, dass das wahrscheinlich gar nicht zutrifft). Ich habe den goldenen Schnitt allerdings in einem ganz anderen Zusammenhang kennen gelernt: Das erste Mal begegnete mir diese Zahl in der Chaostheorie. Das Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem (KAM-Theorem) bildet dort das mathematische Fundament für die Behandlung von Systemen mit komplexer Dynamik, wie man sie zum Beispiel bei der Bewegung von Himmelskörpern findet. Das KAM-Theorem beschreibt, wie robust stabile Zustände gegenüber äußeren Störungen sind und wann sich ein stabiler Zustand zu chaotischem Verhalten wandelt. Störungen können immer dann besonders stark wirken, wenn Resonanzen auftreten; wenn also die Perioden zweier Bewegungen in einem ganzzahligen Verhältnis stehen. Oder anders gesagt: je besser dieses Verhältnis durch eine rationale Zahl angenähert werden kann.

Systeme, die durch den goldenen Schnitt beschrieben werden können, sind daher besonders stabil. Es ist also auch nicht überraschend, dass man den goldenen Schnitt überall in der Natur findet. Zum Beispiel bei der Anordnung von Pflanzenblättern: Sie bilden einen Kreis um den Stamm der Pflanze. Teilt der Winkelabstand der Blätter den Kreis in einem rationalen Verhältnis, würde ein Blatt früher oder später über einem schon bestehenden Blatt wachsen und so dessen Sonnenlicht blockieren. Je irrationaler das Verhältnis zwischen Winkel und Vollkreis ist, desto effizienter kann die Pflanze ihre Ressourcen nutzen.

Aus mathematischer Sicht ist der goldene Schnitt so irrational, wie es nur geht. Er widersetzt sich jeder "ordentlichen" Beschreibung durch einen simplen Bruch. Aber gerade diese Irrationalität macht die Zahl zum Inbegriff der Stabilität. Der goldene Schnitt ist gleichermaßen Symbol für Chaos und Ordnung.