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Freistetters Formelwelt

Die Macht der Zahlen

Manche Formeln erscheinen so abstrakt, dass sie fast nutzlos wirken. Doch die Macht ist mit den Zahlen - und es dauert nur ein wenig, bis sie ihre Geheimnisse offenbaren.
Ein verzweifelter Dreitagebartträger schreit vor dem Hintergrund einer formelbedeckten Schiefertafel seinen Frust über die Unzugänglichkeit der Zahlenwelt heraus

Im Jahr 1831 führte der Mathematiker August Ferdinand Möbius eine neue Funktion in die Mathematik ein:

Möbius-Funktion
Möbius-Funktion

Diese heute nach ihm benannte Möbiusfunktion ist nicht kompliziert, muss allerdings ein wenig erläutert werden. Die Funktion kann nur drei unterschiedliche Werte annehmen: -1, 0 und +1. Man kann in die Funktion alle natürlichen Zahlen größer als null einsetzen. Für alle Zahlen, die das Quadrat einer natürlichen Zahl sind oder das Vielfache davon (also etwa 4, 8, 9, 12, 16, 18, …), nimmt sie den Wert 0 an. Für die anderen, die quadratfreien Zahlen, gibt es zwei Möglichkeiten. Hat die Zahl eine ungerade Anzahl an Primfaktoren (in der Formel mit k bezeichnet), dann beträgt der Wert der Funktion -1; bei einer geraden Anzahl an Primfaktoren erhält man +1.

So weit die Definition. Doch wozu braucht man das? Diese Frage ist in der Mathematik (und meiner Meinung auch in den anderen Naturwissenschaften) unangebracht. Die Funktion lässt sich definieren, und wenn sie sich definieren lässt, dann existiert sie in der Welt der Mathematik. Sie kann untersucht werden, und das Resultat dieser Analyse schafft weitere mathematische Erkenntnis.

Schließlich hat die Möbiusfunktion ebenfalls ihre Anwendungsmöglichkeiten. Sie taucht zum Beispiel bei der Untersuchung der berühmten riemannschen Funktion auf, die im Zentrum eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik steht. Sie hängt mit dem Primzahlsatz zusammen, einer der wichtigsten Aussagen der Zahlentheorie. Und unerwarteterweise taucht die seltsame Funktion aus dem 19. Jahrhundert ebenso bei einem der großen physikalischen Probleme der Gegenwart auf.

1989 hat der Physiker Bernhard Julia die Idee des "Primonengases" entwickelt. Dabei handelt es sich um ein Beispielmodell, das eine Verbindung zwischen der Quantenfeldtheorie und der Zahlentheorie herstellt. Die hypothetischen Teilchen, die in diesem Modell beschrieben werden, nennt man "Primonen". Sie haben Energien, die von Primzahlen bestimmt werden. Das ursprüngliche Primonengas behandelt Bosonen, also diejenigen Elementarteilchen, die im Standardmodell der Teilchenphysik für die Vermittlung von Kräften zuständig sind. Dazu gehören zum Beispiel Photonen oder Gluonen. Im Rahmen der so genannten "Supersymmetrie" versuchen Physiker aber schon seit einiger Zeit, das klassische Modell zu erweitern – unter anderem auch, um die Gravitationskraft in die quantenmechanischen Beschreibungen einbeziehen oder die Natur der Dunklen Materie erklären zu können. Dazu wird eine Verbindung zwischen Bosonen und den Fermionen hergestellt, also zwischen den Elementarteilchen, die die Materie ausmachen (Elektronen, Quarks und so weiter). Jedem Kraftteilchen entspricht ein Materieteilchen und umgekehrt.

Formuliert man nun das Primonengasmodell so um, dass es auch supersymmetrische Eigenschaft hat, dann stößt man in der mathematischen Analyse auf die Möbiusfunktion. Der Wert, den sie annimmt, hängt nun nicht mehr von den Eigenschaften natürlicher Zahlen ab, sondern ändert sich je nachdem, ob man ein Boson oder ein Fermion beschreibt. Er wird null, wenn es um quantenmechanische Zustände geht, die vom Pauli-Prinzip ausgeschlossen sind (dieses besagt, dass sich zwei Fermionen nicht im gleichen Zustand befinden können).

Natürlich handelt es sich beim Primonengas nur um ein Beispielmodell, das einem besseren Verständnis bestimmter Teilcheneigenschaften dienen soll, und nicht etwa um einen richtigen Versuch, die Natur zu beschreiben. Und die Vorhersagen der Supersymmetrie konnten bis jetzt trotz vieler Anstrengungen nicht experimentell bestätigt werden.

Dennoch: August Ferdinand Möbius wäre vermutlich sehr überrascht, würde er erfahren, dass seine seltsame Funktion über natürliche Zahlen heute zur Beschreibung der fundamentalen Bausteine der Welt verwendet wird.

45/2017

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 45/2017

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