Was die Mathematik von allen anderen Wissenschaften unterscheidet, ist unter anderem ihre Fähigkeit, allgemein gültige Aussagen zu machen. Wenn etwas mathematisch bewiesen wurde, ist dies richtig und bleibt das auch – ganz gleich, welche neuen Erkenntnisse in der Zukunft noch gewonnen werden. Ein mathematischer Beweis ist allerdings nicht immer leicht zu finden. Betrachten wir zum Beispiel diese Formel:

Gaußsche Summenformel
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Dabei handelt es sich um die gaußsche Summenformel. Sie gilt für alle natürliche Zahlen, die größer oder gleich 1 sind, und gibt eine schnelle Antwort auf die Frage nach der Summe von n natürlichen Zahlen. Will man etwa wissen, was die Addition von 1+2+3+…+99+100 ergibt, dann kann man entweder alle Zahlen Stück für Stück zusammenzählen. Oder einfach n = 100 in die Formel einsetzen und sofort sehen, dass das Ergebnis 5050 lauten muss. In der Mathematik war diese Beziehung schon seit der Antike bekannt; unabhängig davon hat sie aber Carl Friedrich Gauß wiederentdeckt, als er als neunjähriger Schüler eine entsprechende Aufgabe bekommen hatte (und so auch das erste Mal seine überragenden mathematischen Fähigkeiten demonstrierte).

Aber woher wissen wir, dass diese Formel wirklich immer richtig ist? Sie gilt ja für alle natürlichen Zahlen – und davon gibt es unendlich viele. Niemand kann die Formel konkret für alle Möglichkeiten überprüfen. Das ist aber auch nicht nötig – denn für so etwas hat die Mathematik eine spezielle Technik entwickelt: die vollständige Induktion.

Der Beweis durch mathematische Induktion funktioniert ähnlich wie fallende Dominosteine. Man zeigt, dass man den ersten Stein umwerfen kann und dass jeder fallende Stein einen weiteren Stein zum Kippen bringt. Daraus folgt logisch zwingend, dass alle Steine umfallen müssen.

Mathematisch gesehen zeigt man zuerst, dass die Formel für einen ganz bestimmten Wert gilt, den "Induktionsanfang". Im Beispiel der Gaußschen Summenformel ist das kein Problem. Für n = 1 berechnet sich die Formel zu 1(1+1)/2 – und das ist 1; also genau die "Summe der ersten natürlichen Zahl". Als Nächstes müssen wir den "Induktionsschritt" zeigen; also aus der Aussagen für den Induktionsanfang die entsprechende Aussage für die nächste Zahl logisch korrekt ableiten. Anders gesagt: Wenn die Formel für eine Zahl n gilt, was mit dem Induktionsanfang ja bewiesen wurde, und daraus abgeleitet werden kann, dass sie auch für n+1 gilt, muss sie logischerweise für alle natürlichen Zahlen (größer oder gleich n) gelten.

Wir beginnen also damit, auf jeder Seite der Formel einen Schritt weiter zu zählen. Für die linke Seite ergibt sich so der Ausdruck (1+2+3+…+n)+(n+1). Auf der rechten Seite setzen wir n = n+1 und erhalten (n+1)((n+1)+1)/2. Zur Berechnung der Summe in der ersten Klammer auf der linken Seite, die Summe der ersten n Zahlen, können wir aber schon die gaußsche Formel verwenden, denn für den Induktionsanfang haben wir ihre Gültigkeit ja schon bewiesen. Wir können die linke Seite also zu n(n+1)/2+(n+1) umschreiben. Mit ein paar simplen Umformungen ergibt sich daraus der Ausdruck (n+1)((n+1)+1)/2 – also genau das, was auf der rechten Seite steht.

Die Eleganz des Beweises durch vollständige Induktion beeindruckt mich immer wieder aus Neue: Die unmögliche Überprüfung unendlicher vieler Fälle stellt sich hier gar nicht erst. Man überprüft nur einen einzigen Fall und demonstriert, dass aus der Gültigkeit der Aussage für eine bestimmte Zahl immer auch ihre Gültigkeit für die darauf folgende Zahl abgeleitet werden kann. Auf dem Weg zum Ziel reicht es also quasi den ersten Schritt zu tun – den Rest erledigt die Mathematik!