Direkt zum Inhalt
Login erforderlich
Dieser Artikel ist Abonnenten von Spektrum der Wissenschaft frei zugänglich.
Mathematische Unterhaltung

Happy End für ein großes Matherätsel

Drei junge Freunde stellen sich ein geometrisches Rätsel und finden bis an ihr Lebensende keine Lösung, obwohl sie zu den einflussreichsten Mathematikern ihrer Zeit heranwachsen. Nun gibt es einen Durchbruch.
konvexe Vielecke

Ein gutes Mathematikproblem zeichnet sich dadurch aus, dass man bei seiner Lösung auf unerwartete Entdeckungen stößt. So erging es 1933 der 23-jäh­rigen Studentin Eszter Klein aus Budapest mit einer Aufgabe, die sie ihren Freunden Pál Erdös und György Szekeres stellte: Beweise, dass man aus fünf willkürlich ver­teilten Punkten, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, immer ein konvexes (keine Einbuchtung aufweisendes) Viereck konstruieren kann.

Nach der Lösung des Rätsels dachten die drei Mathematiker weiter darüber nach: Wenn fünf Punkte genügen, um mit Sicherheit ein konvexes Viereck zu finden, wie viele Punkte benötigt man, damit garantiert ein konvexes Fünfeck oder Elfeck unter ihnen ist? Oder allgemein ein konvexes n-Eck für ein beliebiges n?

Bis 1935 hatten Erdös und Szekeres das Problem für n = 3, 4 und 5 gelöst. Jedes Dreieck ist konvex; also genügen für ein Dreieck drei beliebige Punkte. Für ein konvexes Viereck braucht man die genannten fünf Punkte und für ein konvexes Fünfeck neun.

In der zugehörigen Veröffentlichung gaben Erdös und Szekeres auch eine Vermutung für den allgemeinen Fall an: Unter 2n–2+ 1 Punkten würde man garantiert ein konvexes n-Eck finden. Wohlgemerkt: unter 2n–2+ 1 willkürlich gewählten Punkten. Man darf sich durchaus einen bös­willigen Gegner vorstellen, der einem diese Anzahl von Punkten aufs Papier malt mit der Absicht, die Existenz ­eines konvexen n-Ecks zu vereiteln. Jeder Beweis der Vermutung muss also mit jeder beliebigen vorgegebenen Punktmenge zu Rande kommen; nur die Anzahl der Punkte ist festgelegt.

Für den Beweis dieser Formel schrieb Erdös ein Preisgeld von 500 Dollar aus, wie er es mit vielen ungelösten Problemen tat.

Februar 2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft Februar 2018

Kennen Sie schon …

Juli 2016

Spektrum der Wissenschaft – Juli 2016

In dieser Ausgabe widmet sich "Spektrum der Wissenschaft" Leibniz. Außerdem im Heft: Wie lange lebt ein Neutron, Verblüffende Lebensfülle unter dem Schelfeis

Highlights 2/2015

Spektrum der Wissenschaft – Highlights 2/2015: Mathematische Spiele und Strategien

Ziegenproblem: Ist hinter der nächsten Tür eine Ziege oder das Auto? • Gefangenendilemma: Kooperieren, betrügen oder ganz aussteigen? • Strategien der besten Wahl: Wie lange soll die Prinzessin auf den Traumprinzen warten?

Dossier 2/2008

Spektrum der Wissenschaft – Dossier 2/2008: Lustvolle Geometrie

Mathematische Quadrate • Vom Mittelalter bis zur modernen Kombinatorik • Sudoku und andere Sucht erzeugende Knobeleien • Parkettierungen mit Hilfe der fünften Dimension

Lesermeinung

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Leserzuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Leserzuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmer sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Vielen Dank!

  • Quellen

Erdös, P., Szekeres, G.: A Combinatorial Problem in Geometry. In: Compositio Mathematica 2, S. 463-470, 1935

Erdös, P., Szekeres, G.: On some Extremum Problems in Elementary Geometry. In: Annales Universitatis Scientiarum Budapest Rolando Eötvös, Sectio Mathematica 3-4, S. 53-62, 1962

Suk, A.: On the Erdös-Szekeres Convex Polygon Problem. In: Journal of the American Mathematical Society 30, S. 1047-1053, 2017

Szekeres, G., Peters, L.: Computer Solution to the 17-Point Erdös-Szekeres Problem. In: ANZIAM Journal 48, S. 151-164, 2006