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Angewandte Mathematik

Das Geheimnis der Girih

Mit ihrer zeitlosen Ästhetik schmücken islamische Ornamente Moscheen und Paläste von Spanien bis nach Indien. Wie die mittelalterlichen Kunsthandwerker zu solchen Meisterwerken fähig waren, blieb lang ein Rätsel. Zwei findige Physiker enthüllten nun ihren genialen Trick.
Girih-Muster in der Grünen Moschee in Bursa/Türkei
Gegen Ende des ersten Jahrtausends herrschte in Bagdad eine blühende Zivilisation. Die Stadt diente als Sammelpunkt der griechischen und indischen Wissenschaft, hier entlang fand die dezimale Zahlenschrift ihren Weg nach Europa. Mit Schätzungen von bis zu einer Million Einwohnern war Bagdad damals die größte und zugleich reichste Stadt überhaupt. Sie blieb eines der wichtigsten kulturellen und wissenschaftlichen Zentren weltweit – bis Anfang des Jahres 1258 die Mongolen einfielen und den Großteil der Bewohner regelrecht massakrierten. Von diesem Schlag vor fast 750 Jahren hat sich die islamische Zivilisation bis heute nicht völlig erholt. Mit ihrem Niedergang verlor die Welt unzählige Wissensschätze des Mittelalters, die wir heute nur mehr mühsam rekonstruieren können.

Girih-Muster in der Grünen Moschee
Girih-Muster in der Grünen Moschee | Ein Girih-Muster an einem Durchgang der Sultansloge in der Grünen Moschee in Bursa in der Türkei: Das Bauwerk stammt aus dem Jahr 1424. Der blaue Kranz zeigt die charakteristische zehnfache Rotationssymmetrie.
Da islamische Kunsthandwerker aufgrund überlieferter Weisungen des Propheten Mohammed auf figurative Darstellungen verzichteten, verzierten sie Moscheen, heilige Schreine und Koranausgaben mit ebenso komplexen wie ästhetischen Mustern. Weit verbreitet waren so genannte Girih – das Wort stammt aus dem Persischen und bedeutet "Knoten". Die Grundelemente eines Girih-Musters lassen sich zwar mit Lineal und Zirkel konstruieren, doch nur bei zwei-, drei-, vier- oder sechszähliger Rotationssymmetrie sind sie periodisch fortsetzbar. Schon Anfang des 13. Jahrhunderts finden sich in der islamischen Architektur jedoch zehnzählige Symmetrien, die nichtperiodische Muster aus Hunderten von Zehnecken bilden. Geometrische Verzerrungen lassen sich bei solch hochkomplizierten Ornamenten mit einfachen Werkzeugen kaum vermeiden. Wie also gelangen diese Meisterwerke?

Rekonstruktion des Musters mit Girih-Kacheln
Rekonstruktion des Musters mit Girih-Kacheln | Mit Hilfe von drei Girih-Kacheln – die Fliege in rot, das Zehneck in türkis und das Sechseck in grün – kann das Muster an der Grünen Moschee rekonstruiert werden. Die blauen Linien sind auf jedem Girih-Teil identisch angeordnet und bilden gemeinsam ein ununterbrochenes Muster.
Des Rätsels Lösung haben Peter Lu von der Harvard-Universität und Paul Steinhardt von der Universität Princeton nun gefunden. Die beiden Physiker betrachteten verschiedenste Girih-Muster an islamischen Bauwerken von der Türkei bis nach Indien sowie architektonische Schriftrollen und die Verzierung mittelalterlicher Koranausgaben. Dabei entdeckten sie, dass sich alle Muster in "Girih-Kacheln" zerlegen lassen – ein Satz aus fünf einfachen Vielecken: ein Zehneck, ein Sechseck, ein Fünfeck sowie ein Rhombus und eine Fliege. Die Kanten der Kacheln haben allesamt die gleich Länge, und jede trägt eine einfaches Muster, dessen Linien die Kanten halbiert. Beim Aneinanderlegen der Kacheln verbinden sich die Linienmuster zu einem zusammenhängenden Netzwerk, das sich über die gesamte Fläche erstreckt.

In Schriftrollen aus dem 15. Jahrhundert fanden sich tatsächlich Zeichnungen der fünf Girih-Kacheln – ein Beleg, dass die mittelalterlichen Architekten diese Technik verwendeten. Die einzelnen Kacheln konnten Handwerker ohne mathematische Kenntnisse mit einfachen Mitteln fertigen. Egal wie die Girih-Kacheln dann kombiniert wurden, immer entstand eine Geometrie mit zehnzähliger Symmetrie.

Wie die Wissenschaftler vermuten, sorgte dieser geometrische Trick bereits Ende des 12. Jahrhunderts für einen regelrechten Design-Durchbruch in der islamischen Welt. Denn die Verwendung der Girih-Kacheln erlaubte nicht nur eine einfachere, schnellere und genauere Arbeit, sondern ermöglichte Konstruktionen von extremer Komplexität, die um 1200 erstmalig auftauchten.

Girih-Muster am Darb-i-Imam-Schrein
Girih-Muster am Darb-i-Imam-Schrein | Girih-Muster an einem Bogen im Darb-i-Imam-Schrein in Isfahan, fertig gestellt im Jahre 1453: Zwei überlappende Girih bilden ein quasi-kristallines Muster, mit einer klaren Ordnung, aber ohne periodische Wiederholung.
Die besondere Aufmerksamkeit der beiden Forscher zogen die Ornamente am Darb-i-Imam-Schrein in Isfahan aus dem Jahre 1453 auf sich, denn hier offenbarte sich ein quasikristallines Muster: Aus der Nähe betrachtet ähnelt es in seiner Ordnung einem Kristall, aus der Ferne wird jedoch offenbar, dass keine periodischen Wiederholungen auftreten. Solche quasikristallinen Formen können bei der Überlagerung zweier einfacher periodischer Muster entstehen, die sich jeweils mit unterschiedlicher Raumfrequenz wiederholen. Das Geheimnis des Quasikristalls besteht darin, dass sich das Verhältnis der Frequenzen nicht durch einen rationale Zahl, einen Bruch, ausdrücken lässt. So verschmelzen die beiden periodischen Muster zu einem neuen, das sich unendlich fortsetzt, gleichwohl aber nie wiederholt.

Rekonstruktion des Musters am Darb-i-Imam-Schrein
Rekonstruktion des Musters am Darb-i-Imam-Schrein | Rekonstruktion des Girih-Musters am Darb-i-Imam-Schrein mit den Girih-Kacheln: Das blaue Linien-Muster wurde mit Farbe gefüllt.
Die Wissenschaftler konnten auch erklären, wie die islamischen Künstler die Muster damals konstruierten: Sie unterteilten die einzelnen Girih-Kacheln in kleinere Bruchstücke, die jeweils wieder die Form der fünf Girih-Kacheln besaßen. In den Mustern des iranischen Schreins fanden sich zwar kleine Fehlstellen, die jedoch allesamt einfach zu korrigieren wären. Die beiden Physiker zeigten damit, dass einzelne islamische Muster praktisch unendlich ausdehnbare quasikristalline Strukturen darstellen.

Quasikristall
Quasikristall | Das Beugungsmuster eines Quasikristalls: Schickt man parallele Röntgenstrahlen durch einen Festkörper, so entstehen charakteristische Muster, aus denen sich dessen innere Struktur herauslesen lässt. Hier offenbart sich eine fünfzählige Symmetrie, also offenbar ein Quasikristall.
In der modernen Mathematik beschäftigte sich erstmals 1961 der chinesisch-amerikanische Logiker Hao Wang mit der Frage, ob eine unendliche Fläche auch mit einer endlichen Menge von Kachelformen nichtperiodisch, also quasikristallin, abgedeckt werden kann. Der Nachweis gelang 1966 seinem deutschen Kollegen Robert Berger. Doch auch Roger Penroses Entdeckung, dass nur zwei verschiedene Kacheln genügen, blieb mathematische Spielerei, bis 1982 Dan Shechtman zum eigenen Erstaunen erstmals quasikristalline Muster an einer Aluminium-Legierung beobachtete – ein Meilenstein der Materialforschung, dem eine Lawine von Publikationen folgte, die sich mit den merkwürdigen Eigenschaften der Quasikristalle befassten. Paul Steinhardt war in diesem Feld ein Pionier der ersten Stunde – kein Zufall also, dass er an der Entdeckung der islamischen Muster beteiligt ist. Zugleich zeigt sich, welche Brücken die Mathematik zwischen Kunst und Naturwissenschaften schlagen kann.

Girih-Muster eines türkischen Mausoleums
Girih-Muster eines türkischen Mausoleums | Ein Girih-Muster am Seljuk-Mama-Hatun-Mausoleum im türkischen Tercan, das um 1200 gebaut wurde: Unten ist die Rekonstruktion mit Girih-Kacheln überlagert, die einzelnen Fliegen und Sechsecke sind durch rote Linien getrennt, in blau sind die Linienmarkierungen zu sehen.
Ob die mittelalterlichen Kunsthandwerker die zugrunde liegenden mathematischen Regeln tatsächlich verstanden haben, können Steinhardt und Lu zwar nicht sagen. Doch haben sie den Kunstgeschichtlern mit ihren Ergebnissen nun Werkzeuge an die Hand gegeben, um weitere solcher kunsthandwerklichen Wunder zu entdecken.

Um die Schätze der islamischen Kultur zu bewundern, muss der Europäer seinen Kontinent übrigens gar nicht verlassen. Ein Ausflug in den maurischen Alhambra-Palast im südspanischen Granada genügt – auch die verbliebenen Reste seines ursprünglichen Glanzes lassen staunen.
24.02.2007

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 24.02.2007

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