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Ergänzend zum ersten Kommentar (dort hat sich auch ein Fehler eingeschlichen - zu korrigieren ist in der letzten Zeile x=44/... zu x=11/...), muss es beim Kosinussatz an zwei Stellen y^2 heißen: y^2=100+... bzw. y^2=144+... Beim Gleichsetzen eliminiert sich der Fehler. Wenn das bitte korrigiert werden könnte. Vielen Dank.

Der folgende Absatz im Text ist ungenau:
"Keeler fand heraus, dass man zunächst die Menge unterteilen: in eine, die von 1 bis i läuft, und eine andere, die von i+1 bis n geht. Dann vertauscht man jedes falsch platzierte Element der ersten Menge mit x und jedes der zweiten Sammlung mit y. Ganz am Ende wechselt man noch x mit i+1 und y mit 1 aus: (1, x)(2, x) (3, x)... (i, x) · (i+1, y) (i+2, y) … (n, y) · (i+1, x) · (1, y). Unabhängig davon, wie man i gewählt hat, landet man nach diesen Vertauschungen bei einer geordneten Menge (ohne Beachtung von x und y): (1, 2, 3, … , i, i+1, …, n). Tatsächlich spielt es dabei auch keine Rolle, auf welche Art die Objekte ursprünglich angeordnet waren. Die Methode funktioniert immer."

Dieses gilt nur, sofern man annimmt, dass die Menge eben genau ein Zyklus ist, also - in der Sprache der Körper und Geister/Charaktere - der Körper von 1 nun den Charakter von i, der Körper von i dann den Charakter von j, der Körper von j dann den Charakter von k usw. enthält, bis man bei einem Körper (den letzten betrachteten Körper) nun den Charakter von 1 vorfindet. Weiterhin muss nun die Menge in der Reihenfolge dieses Zyklus vorliegen, d.h. man numeriert die Elemente so um, dass nun im Körper von 1 der Charakter von 2, im Körper von 2 der Charakter von 3 usw. ist (und dem entsprechend dann im Körper von m - bei einer Zykluslänge von m - der Charakter von 1 ist). Anschließend kann man so, wie im zitierten Absatz beschrieben (wobei dort dann m=n wäre), dafür sorgen, dass die Körper von 1 bis n (bzw. m) nun den richtigen Charakteren zugeordnet werden¹.

Für eine beliebige Menge, welche nun mehr als einem Zyklus enthält (bei der weiterhin - ohne Beschränkung der Allgemeinheit - angenommen wird, dass keiner der Charaktere anfänglich im richtigen Körper ist), zerlegt man die Menge zuerst in Zyklen und bringt dann für jeden Zyklus nun die Charaktere (auf die angegebene Art und Weise, d.h. mit dem angegebenen Algorithmus) in ihre richtigen Körper. Bei einer ungeraden Anzahl von Zyklen muss man zum Schluss noch x und y tauschen, bei einer geraden Anzahl von Zyklen muss man dieses nicht machen (ohne Beweis, da der Beweis offensichtlich/trivial ist ;-) ).

Die Anzahl der notwendigen Körpervertauschungen, bei n Körpern und k verschiedenen Zyklen (wobei stillschweigend angenommen ist, dass anfänglich kein Charakter im richtigen Körper ist - u.a. um häßliche 1-er Zyklen zu vermeiden), wäre dann übrigens n+2k (für k gerade) und n+2k (für k ungerade), wobei dieses auch die minimale Anzahl von notwendigen Körpervertauschungen ist (wobei ich hier aus Faulheit auf den zugehörigen Beweis verzichte und der zugehörige Beweis - aus meiner Sicht - außerdem offensichtlich ist ;-) ).

ps. Das mindestens zwei weitere Elemente (Körper) notwendig sind sollte klar sein, da eben bei jedem Körper mit einem falschen Charakter, nun zuerst der Charakter aus dem Körper entfernt werden muss, wobei zumindest am Anfang bei dem Körpertausch nicht der richtige Charakter in den Körper kommen kann, und weiter dann bei einem weiteren Körpertausch nun anschließend der richtige Charakter in den Körper hineingetauscht werden muss (aber dieses eben nicht mit dem zusätzlichen Element/Körper passieren darf, mit dem man den falschen Charakter anfänglich entfernt hatte). Man muss sich dann halt nur noch den zugehörigen Algorithmus (oder Strategie) überlegen, damit man nicht in die Bredoullie kommt, dass in dem Zusatzelement (Zusatzkörper), mit dem man einen falschen Charakter aus einem Körper entfernt hatte, dann später der (richtige) Charakter für den Körper steckt. Wobei jeder Mathematikstudent auch beim Ansehen der Folge zumindest zu dieser Erkenntnis (frühzeitig) gekommen sein sollten bzw. sogar, bevor die Globetrotter das Problem gelöst hatten, sogar selbst auf den zugehörigen Beweis gekommen sein sollten².

¹) Unter der zusätzlichen Annahme, dass Keiner der Charaktere über ihren richtigen Körper lügen würde (ein Kandidat dafür wäre z.B. Bender oder auch Flexo, welcher allerdings in der Folge, sofern ich es richtig in Erinnerung habe, nicht vorkommt).

²) In allen anderen Fällen, sollten Mathematikstudenten (bzw. -Studentinnen) überlegen, ob Sie nicht doch besser was anderes studieren sollten ;-).

Wer bei Rätseln zu Zahlenfolgen partout nicht auf die Lösung kommt oder einfach eine Lust hat selbst nachzudenken, der kann sich mit der "On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" (OEIS) behelfen. Die Folge zu dem aktuellen Rätsel findet sich unter: http://oeis.org/A000203

Mit mathematischem Gruß
Mike Winkler

Als ich die Rezension las, erschien u.a. die Werbung für den VoltPlug, mit dem man seine Stromrechnung um 80% reduzieren kann. Typische Werbung für technisch Ungebildete. Achten Sie mal auf Ihre Werbung.

in ihrem Beitrag "wie groß ist die Wurzel" befindet sich ein Tippfehler, nähmlich ist die 32 hier falsch, dahin gehört 3 hoch 2, (10^7-1)^2/32 wäre gar nicht erst eine ganze Zahl

Mit dem Artenschutz ist es so wie mit dem Klimawandel. Die Uhr steht immer auf kurz vor zwölf. Und das schon seit Jahrzehnten. Gerade ist es in Teilen Europas so heiß, daß Vögel vom Himmel fallen sollen und Flüsse austrocknen, und die Mahner der Welt sagen - noch ists nicht zu spät -. Na, dann geht's ja noch. Vor fünfzig Jahren mahnte schon Professor Grzimek uns ständig, die letzten ihrer Art zu schützen. Wenn der gute Professor gerade mal aus seinem Grabe herauskommen könnte, und sehen - was heute auf der Welt los ist, er würde tot umfallen. Dabei hat er schon damals oft in verzweifelter Hoffnungslosigkeit gelebt. Der Mensch versteht nicht, was er tut. Er strebt stets nach mehr und mehr, und sägt permanent an dem Ast, auf dem er sitzt. Daran wird auch der Film - everything change - nichts ändern. Leute im Drogenrausch kann man nicht wachrütteln. Und der Mensch befindet sich im ständigen Rausch. Die Droge heißt Leistung - Erfolg - Geld und Macht.

Vielleicht wissen wir Menschen gar nicht, was für ein Glück wir haben. Wenn man die Fotos betrachtet, die Astronauten von unserer Erde gemacht haben, muß einem doch klar sein, wie einzigartig diese Welt ist. Ein blaugrünes Juwel in der Schwärze des Weltalls. Kein anderer uns bekannter Himmelskörper ist da nur minimal vergleichbar. Der Mars staubige Ödnis - luftleer und trocken. Die Venus eine heiße Gashölle. Und die vielen extrasolarischen Planeten, von denen wir inzwischen wissen, sind auch nicht besser. Ausserdem viel zu weit weg. Wir leben in einem Paradies. In einem schönen Haus. Und wir machen es kaputt.

Kein Mensch würde das in seiner privaten Welt tatsächlich tun. Wir pflegen und putzen und kümmern uns um das, was zu uns gehört. Es sei denn, man ist krank und verrückt. Ist die Menschheit vielleicht krank und verrückt? Man sollte es fast annehmen. Gerade ist wieder Krieg in Europa. Putin ist schuld. Oder doch die ungehemmte Expansion des Westens? Wie bei jeder Schuldfrage ist die Antwort stets die Gleiche. Zu einem Streit gehören immer zwei. Mindestens. Und - die Intelligenz sagt uns, daß man Meinungsverschiedenheiten stets ausdiskutieren sollte. Greift man zur Gewalt, geht immer viel kaputt. Oft sogar alles.

Wir sind als Mensch leider viel zusehr auf uns selbst fixiert. Bei einer kriegerischen Auseinandersetzung sterben Menschen. Träume und Hoffnungen. Klar. Aber es sterben auch viele Tiere. Katzen, Hunde, Vögel, Fische. Und jede Menge Pflanzen. Na ja. Aber wir sollten sowas ernst nehmen. Schon aus Respekt. Ohne die grünen Pflanzen gäbe es keine Menschen. Und sonst auch nicht viel. Ich muß oft an Hiroshima denken. In einer Sekunde verdampfen nicht nur tausende Menschen. Es starben auch viele Millionen andere Leben. Wir sollten in unserem Denken vorsichtig sein. Und in unserem Handeln. Die atomare Bedrohung ist vielleicht näher als je zuvor. Ein in die Ecke getriebenes Tier ist gefährlich.

Aber nicht nur der Krieg ist eine Gefahr. Tatsächlich leben wir auch so in einer kriegerischen Welt. Sie scheint uns nur normal und friedlich. Wir treiben Sport. Fußball, Handball, Leichtathletik. Um was geht's da wirklich? Mit Sicherheit nicht zuletzt ums Gewinnen. Und wo jemand gewinnt - verliert auch jemand. Das ist Scheiße. Gibt's keine Spiele, bei denen keiner verliert? In der Geschäftswelt wird zuweilen von einer Winwin Situation geredet. Tatsächlich sind wir einen Gutteil unseres Lebens damit beschäftigt, mit unserer Arbeit uns und unserer Firma - unserer Partei einen Vorteil zu verschaffen. Wir machen Profit. Wachsen. Das ist der Tenor in unserem Leben. Besser zu sein als die anderen. Und die verlieren dann. Ist das nicht Krieg? Ist das überhaupt fair. Ein wertvolles Leben?

Man sollte keinen Sozialismus predigen. Diese Experimente gingen doch total schief. " Sozial " ist ja mittlerweile fast ein Schimpfwort geworden. Obwohl - in letzter Zeit wird wieder so ein sozialer Ausdruck öffentlich verwendet. " Gemeinsam " Mit vielen !!!! hintendran.Ob das wohl nicht auch wieder schiefgeht? Der soziale Gedanke ist sicher politisch deshalb gescheitert, weil die, die ihn an der Macht vertreten sollten, eben keine sozialen Menschen waren. Nach oben - an die Macht - kommen meist nur die, die sich rücksichtslos durchsetzen können. Sagt jedenfalls die Psychologie. Wenn auch hinter vorgehaltenen Händen.

So scheint es ziemlich aussichtslos. Kurz vor zwölf. Der Autor dieser Zeilen hat die pulloverstrickenden Grünen damals im Bundestag fast bewundert. Hoffnung! Nun sind sie ganz oben, und streiten für mehr Waffen und Kohlekraftwerke. Vorübergehend und ausnahmsweise. Bis wann? Bis kurz nach zwölf? Ich weiß, da kam dieser verdammte Diktator dazwischen. Ich weiß auch, daß ich seit zwanzig Jahren gegen die Mulchmäher kämpfe. Seitdem diese Schredderer überall gegen dieses elende Unkraut eingesetzt werden, sterben die Insekten aus. Weil die ja meist in dieser grünen Welt leben. Weiß man ja durch die Zecken. Und die werden mitgeschreddert. Also die Insekten. Das überleben die nicht. Und auch die nicht, die von den Insekten leben. Also Vögel etwa oder Igel oder Feldhamster oder Menschen. Artensterben. Kurz vor zwölf hab ich versucht, was gegen diese dumme Technik zu unternehmen. Jetzt ists kurz nach zwölf.

Aber es ist halt so. Der Mensch führt gerne Krieg. Das ist Evolution. Survival of the fittest. Auch wenns nur gegen das Unkraut geht. Mit Motorsense im Kampfanzug. Und wie das fetzt! Wie war das? Woher kommt der Sauerstoff auf der Erde? Durch Photosynthese? Was haben wir gegen die grüne Welt? Na klar, alles muß sauber sein. Außerdem brauchen wir Soja für den Fleisckonsum und Kokosöl zum braten. Oder für Kosmetik. Dafür werden ganze Urwälder abgemetzelt. Mitsamt allem Leben, das darin existiert. Eigentlich brauche ichs nicht zu sagen. Wir sind alle kleine Krieger. Beim spielen, arbeiten, Auto fahren, einkaufen, am Ballermann und zuhause. Das ist ganz normal und menschlich. Kriege zu führen. Letztendlich gegen uns selbst.

Man sollte keinem einen Vorwurf machen. Die einen wollen das, die anderen jenes. Rumms. Das war schon immer so. Schon bei den Dinos. Also - bitte keine falschen Anschuldigungen. Das ist Natur. Kein Tier, kein Mensch kann leben - ohne zu töten. Steine kann man nicht essen. Wir leben nur, weil wir anderes Leben fressen. Auch die Veganer. Salat ist auch lebendig. Und ausgerechnet der ist einer, der unschuldig ist. Wie alle Pflanzen. Die fressen niemanden, die meisten jedenfalls. Sie leben von Mineralien, Wasser, Kohlenstoff und Licht. Ich bewundere sie. Wenn ich das doch nur auch könnte. Die Arme in die Sonne strecken, ein paar Triebe in den Boden stecken und genießen. Schade. Aber immerhin, die Erkenntnis erzeugt Respekt. Bewundernden Respekt. Vielleicht ist es das, was uns fehlt.

Also Erkenntnis und Respekt. Klar - wir sind Menschen und sind halt so - aber wir haben allem anderen Leben etwas voraus. Wir können Denken. Erkennen und Planen. Und Respektieren. Das ist etwas wunderbares. Etwa so wunderbar wie der blaugrüne Juwelplanet von ganz oben. Nur wir Menschen haben diese Kleinodeigenschaft. Vielleicht hat uns ja der Planet etwas von sich abgegeben. Ein wenig von seiner strahlenden Schönheit. In jedem von uns. Immerhin - wenigstens ein strahlender Gedanke. Nur denken müssen wir ihn. Erkennen. Nicht immer nur Krieg und kämpfen und gewinnen.

Nun ists schon viertel nach. Oder halb eins? Eigentlich zu spät. Schade. Und doch - wenn wir uns vielleicht bewußt werden, was wir sind und tun und wollen, wenn wir uns also erkennen, vielleicht gelingt es uns doch, die Uhr noch einmal zurückzudrehen.

Sehr geehrte Damen und Herren,
die Lösung des Rätsels scheint nicht ganz zu den Grafiken zu passen, da dort kein graues Dreieck eingezeichnet ist. Auch fehlen in den Grafiken die Punktnamen.
Sehr einfacher als in der Lösung geht aber meine Lösung. Da die Summen der Innenwinkel eines Dreiecks immer 180° sind, müssen die bekannten Innenwinkel von 45° und 70° von 180° subtrahieren werden, wodurch man ebenfalls auf 65° kommt.

Mit freundlichen Grüßen

Jonas Börje Lundin

Die Aufgabe ist ein schönes Beispiel dafür, warum Variablen so praktisch sind.
Steht x für die Zahl 1.111.111, so gilt für die gesuchte Zahl n:
n^2 = ( 10^7 * x + 2x ) - 3x = (10^7 - 1) * x
Dabei ergänzt die Multiplikation von x mit 10^7 die Ziffernfolge von x um sieben Nullen am rechten Ende, die durch Addition von 2x durch Zweier ersetzt werden. Beachte, dass 10^7 - 1 = 9.999.999 = 9x. Demnach gilt:
n^2 = 9x^2
Somit gilt n = 3x = 3.333.333, was die gesuchte Wurzel ist.

Winkelsumme im Dreieck immer 180°

Gibt es keine andere Lösung zu dieser Frage? Um festzustellen dass EFG gleich GCPunktVonDemAusLotAufCEDasDurchGVerläuft ist muss man ja irgendwie nachmessen, und dann könnte man ja gleich den ? Winkel messen, oder gibt es eine möglichkeit das zu beweisen?

Sehr geehrte Damen und Herren,
ich schätze Herrn Hemmes Rätsel sehr und insbesondere die oft cleveren Lösungsansätze, die die Rechnung sehr kurz machen.
Für das Quadratwurzel-Rätsel kann ich eine kürzere Lösung vorschlagen:
(11 111 112 222 222 – 3 333 333) = 11 111 111*(10 000 0002-3)
= 11 111 111*(99 999 999) = 11 111 111*(11 111 111 *9) = 3 333 333²
Dann lässt sich auch eine Systematik erkennen, die die Konstruktion ähnlicher (d.h. kürzerer oder längerer) Terme erlaubt. Z.B.:
33² = 11²*3² = 11*(11*9) = 11*(99) = 11*(102-3) = 1122-33
Viele Grüße Georg Raabe

Zurzeit ist das Artensterben wieder in Mode. Jeder, der sich auch nur im geringsten berufen fühlt, schreibt darüber. Dabei sterben ständig Arten aus und es kommen neue hinzu. Bisher war es so in der Erdgeschichte. Sogar Extinktionen von 80 % hat es gegeben. Und? Heute existieren auch Arten. Der Mensch mit seinem Einfallsreichtum wird es überleben - da bin ich mir ganz sicher. Die jetzigen Angstmacher und Populisten wollen sich nur Gehör verschaffen und den Menschen, die wenig Informationen haben, Angst machen. Warum? Und diese Populisten tauchen immer wieder regelmäßig auf. Ob es der saure Regen ist mit der Annahme, dass es schon vor dem Jahre 2000 keinen Wald mehr gibt, oder mit dem Ozon-Loch, dass dafür sorgt, dass wir alle schon längst an Hautkrebs verstorben sind. Mich kotzt das langsam an. Haben die Herrschaften sonst nichts zu tun, als nur den Menschen Angst zu machen? Unser Wissen und unsere Technoglogien entwickeln sich immer schneller weiter. Über das, was uns heute angeblich Angst machen soll, werden wir morgen lachen. 1900 gab es Peterchens Mondfahrt. Da hat niemand geglaubt, dass die Amerikaner 1969 auf dem Mond stehen. Und seither geht die technologische Entwicklung immer schneller voran. Ich weiß nicht, wem diese Angstmacherei nutzt? Haben wir denn nicht schon genug Probleme, die wesentlich dringender sind als das angebliche Artensterben? Wichtig wäre es jetzt Wasserpiplines in die Trockengebiete der neuen Bundesländer zu leiten, um deren Wassermangel zu beseitigen. Stattdessen wird sinnlos mit CO2 Zertifikaten gehandelt. Leute putzt mal euer Gehirn aus und schaut mal, was jetzt am wichtigsten ist - und nicht erst was in 10 oder 20 Jahren sein wird! Bei dem Fortschreiten der Technologie werden unsere heutigen Bemühungen in 20 Jahren nur noch belächelt werden.

Statistisch betrachtet ist das Collatz-Problem gut nachvollziehbar, wenn man folgende vorgehensweise nimmt:
Jede zweite gerade Zahl ist durch 4 teilbar und jede vierte durch 8.
Somit sind beispielweise bei 4 geraden Zahlen durchschnittlich 2 nur durch 2 teilbar, eine durch 4 (und nicht durch 8) und eine durch 8.
Bei einer 8 wird die Collatz-Zahl also 3 mal nacheinander durch die 2 geteilt.
Wenn man jetzt für die 4 Zahlen nach der Collatz-Regel vorgeht, erhält man für die ungerade Zahl X:

(X*3 + 1)/2 = 3/2 X + 1/2
[(3/2 X + 1/2)*3 + 1]/2 = 9/4 X + 5/4
[(9/4 X + 5/4)*3 + 1]]/4 = 27/16 X + 19/16
[(27/16 X + 19/16)*3 + 1)/8 = 81/128 X + 73/128 ~ 0,6328 X + 0,57... = Y

Nun kann man die gleiche Prozedur für die zahl Y vornehmen.
Nach mehreren Durchläufen wird auch eine große Zahl X unterhalb der 3 reduziert und somit durch die Grundfälle für X = 2 oder X = 3 lösbar.

Ein interessante Rezension und ich bin auf das Buch gespannt.
Als Bild für den Artikel wäre es vielleicht besser gewesen, jemanden zu nehmen, der das sprichwörtliche Brett vor dem Kopf und Scheuklappen an den Augen hat und den Blick auf die Schreibtischkante gerichtet hat.
Mit freundlichen Grüßen
Otto Schäfer

In den Zellen 3 und 4 der Kosinussatzgleichungen steht fälschlicherweise jeweils y statt y^2. Wegen des anschließenden Gleichsetzens fällt der Fehler nicht ins Gewicht.