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Tja, eine schöne Woche für die Lucara Diamond Corp., aber war es auch eine schöne Woche für Botswana? Schließlich wurde dieser Diamant in der Erde dieses Landes gefunden ...
Den Kampf ums unendlich Kleine scheint die Redaktion von "Spektrum der Wissenschaft" immer noch auszufechten, obwohl spätestens seit den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts der Streit friedlich beigelegt wurde. In der so genannten Nichtstandard-Analysis gibt es sehr wohl unendlich kleine
(infinitesimale) und unendlich große hyperreelle Zahlen.
Ein Element x aus der Menge *R der hyperreellen Zahlen heißt infinitesimal, wenn für alle positiven reellen Zahlen r gilt: ׀x׀<r. *R ist eine echte Körpererweiterung des geordneten Körpers R der reellen Zahlen.
Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen infinitesimal benachbart (x≈y), falls x–y infinitesimal ist.
Die Stetigkeit einer Funktion f in einem Punkt x0∈R lässt sich dann ohne Epsilontik wie folgt definieren: Für alle x∈*R: x0 ≈ x ⟹ f(x0) ≈ f(x).
Jede hyperreelle Zahl x∈*R ist infinitesimal benachbart einer einzigen reellen Zahl r∈R. Die Funktion st ordnet x seinen Standardteil r zu: st(x)=r.
Die Ableitung einer Funktion, z. B. f(x) = x2+3x, geschieht folgendermaßen: Durch zwei infinitesimal benachbarte Punkte der Funktion
(x, f(x)) und (x+dx, f(x+dx) denkt man sich eine Sekante und berechnet deren Steigung (dx ist natürlich infinitesimal):
Selbstverständlich liegt es dem "Spektrum" fern, sich an irgendwelchen – auch noch längst vergangenen – Kämpfen zu beteiligen. Wir begnügen uns mit der Rolle des Berichterstatters (und sind damit ausreichend beschäftigt).
In diesem Sinne ist zu ergänzen, dass in der Tat Abraham Robinsons Nichtstandard-Analysis einen Begriffsapparat bereitstellt, der es erlaubt, widerspruchsfrei von unendlich kleinen (und unendlich großen) Größen zu sprechen, dass aber die Mathematiker von dieser Möglichkeit bislang kaum Gebrauch machen. Über die Gründe dafür lässt sich trefflich spekulieren.
Christoph Pöppe, Redaktion
Sie haben Recht, die Nichtstandard-Analysis hat sich bisher in Gymnasien und Universitäten nicht durchgesetzt. Das käme einem Paradigmenwechsel gleich, und wie träge der Wissenschafts- und Unterrichtsbetrieb sein können, ist bei Thomas S. Kuhn nachzulesen.
Immerhin gibt es in den USA Schulen, die Lehrmittel der Nichtstandard-Analysis einsetzen. Außerdem wird in Vorlesungen über mathematische Logik auf die Erweiterung der reellen Zahlen mit unendlich kleinen Größen hingewiesen.
Es geht mir auch gar nicht darum, wie verbreitet die Lehre ist. Vielmehr ist zu beachten, dass die Vorstellungen von Leibniz, Euler und anderen über infinitesimale Größen eine späte Rechtfertigung erhalten haben. Es ist auch bemerkenswert, dass in der Praxis bei Physikern, Ingenieuren, Technikern unendlich kleine Größen eine Rolle spielen. Diese angewandten Mathematiker haben im Grunde die Denkweise eines Leibniz beibehalten trotz Cauchy.
Michael Springer hat mit seinem Einwurf eine Banalität zum Märchen eines Kollapses des Marktgeschehens aufgeblasen:
Freie Märkte sind rekursive (rückgekoppelte) nichtlineare Systeme. Anders lässt sich das Auf und Ab von Marktpreisen gar nicht erklären. Wie in jedem Regelkreis bestimmen Dämpfung oder Verstärkung das Regelungs- beziehungsweise Schwingunsverhalten. Bei vernünftig handelnden Marktteilnehmern überwiegt die Dämpfung: Die Verstärkung im Regelkreis ist dann kleiner als 1. Das Ergebnis ist das Einschwingen des Regelkreises auf einen "vernünftiger" Marktpreis. Werden die Marktteilnehmer hingegen von Gier statt von Vernunft geleitet, ist die Verstärkung größer als 1 und das System neigt zu chaotischem Schwingungsverhalten.
Es kommt also nur auf das Verhalten der Marktteilnehmer an. Sind die von Vernunft geleitet, dann behält auch Adam Smith Recht!
Also bei aller Liebe, ganz selten hab ich etwas gelesen, dass wissenschaftlich noch weniger fundiert war. Aber gut, ich kann mir ja auch eine hübsche Geschichte über die Evolution der Sprache ausdenken, vielleicht wird sie dann ja auch veröffentlicht und ich werde eine große "Forscherin"?
Dass der von Menchen verursachte Klimawandel masive Auswirkugen auf den Planeten hat war auch 1978 nicht geheim. In einem Artikel in Nature mit dem Titel "West Antarctic ice sheet and CO2 greenhouse effect: a threat of disaster" beschrieb J.H. Mercer was uns erwartet, wenn der Verbrauch von fossilen Brennstoffen nicht reduziert wird. Dieser Arikel liest sich wie eine Prophezeihung, die zu lesen mir jedesmal Hühnerhaut einjagt.
geht zurück auf Amenophis III, der erste Pharao, der sich als göttlich verehren ließ. Daher waren auch die Ptolemäer Gottkönige. Und auch Kleopatra stand in diesem Rang. Ihre Attraktivität dürfte wohl etwas unter der von Liz Taylor gelegen sein, aber dem Reiz, mit einer leibhaften Göttin zu schlafen, konnten weder Caesar noch Marc Anton widerstehen. Und kaum hat Octavian die Reihe der Bürgerkriege beendet, wird er selber der göttliche Augustus. Wäre wohl interessant, diesen Zusammenhang zu untersuchen, jedoch dürfte die Quellenlage das nicht erlauben. Die Einfügung eines weiteren Gottes war im Polytheismus kein Problem, der römische Götterhimmel absorbierte so gut wie alle Götter der neu eingegliederten Völker. Außerdem waren die Pharaonen ebenso wie die vorchristlichen Kaiser nicht nur Herrscher, sondern auch Oberpriester.
Die Transformation zum christlichen Monotheismus machte das jedoch unmöglich: Der Kaiser war nicht mehr göttlich, sonder "von Gottes Gnaden", und auch auf das Amt des Oberpriesters (Pontifex Maximus) musste er verzichten.
Daher scheint es erstaunlich, sich bei der Untersuchung des Kaisertums auf die christlichen Kaiser zu beschränken.
Die von der Verfasserin begonnene rote Linie zieht sich erkennbar durch die gesamte bekannte Geschichte weiter - nach 'unten' und nach 'oben', also bis heute mit unserem menschenverachtenden Kapitalismus (nett als Neoliberalismus benannt), vereint mit dem freien Willen paralysierender Frömmelei - wie sie das jüngste Gesetz über die Sterbehilfe zeigt. Gar nicht zu reden von den außerhalb der europäischen Kultur vorherrschenden Verhältnissen. zB absoluter Staat und absoluter Gottesbegriff beim IS.
Die Wurzel ALLEN Übels sind die BWL'er. Sie haben von Naturwissenschaften absolut NULL Ahnung und würden ihre eigene Großmutter als Jungfrau auf dem Markt verkaufen. Sie leben nur nach dem Motto, Geld scheffeln und dann den nächsten Job, wenn die Firma kaputt ist. Zu Zeiten der Patriarchen - die sie erfolgreich dank der Hilfe von Gewerkschaften vertrieben haben - arbeitete man mit Nachhaltigkeit, weil es um das eigene Geld ging.
Mein Chemieprofessor sagte schon 1966 im 1. Semester Grundstudium: 'Jede Mark, die man nicht für Energie ausgeben muss, ist eine gute Mark'.
Und dem ist nichts hinzuzufügen und würde allen - außer den Ölfirmen und -ländern - helfen.
Ich hatte im 2. Studienjahr die Arbeitsplatznummer 13. An einem Freitag, dem 13., hatte ich die Analyse 13, 14 und 15 richtig. Und ich habe an einem Freitag, dem 13., noch nie Unglück gehabt. Zwar ist der heutige Tag noch nicht vorüber, aber ich bin nicht ängstlich.
Sowohl dieses "Manifest", als auch die bisherigen Reaktionen sind zu eindimensional im Denken, und das kann auch gar nicht anders sein, denn der Mensch ist nun einmal so strukturiert. Von wirklicher künstlicher Intelligenz sind wir noch meilenwert entfernt, und ein Algorithmus kann nicht herrschen. Er kann nur Lösungen für genau definierte Problem liefern. Herrschen können Menschen, eventuell mit seiner Hilfe. Auch Supercomputer funktionieren noch nach dem Gigo-Prinzip (garbage in - garbage out). Von künstlicher Intelligenz kann man erst reden, wenn der Rechner in der Lage ist, Müll zu erkennen und zu ignorieren. Einer solchen Maschine würde ich dann allerdings mehr trauen, als einer noch so wohlwollenden Regierung. Trotzdem ist natürlich eine menschliche Kontrollinstanz unerläßlich. Zur Zeit jedenfalls hat es jeder selbst in der Hand, wieviel an Beeinflussung er sich aussetzen möchte, und wie er seine Informationsquellen wählt.
"... Die Lunisolarkalender beispielsweise mussten nach mehreren Jahren regelmäßig einen 13. Monat einfließen lassen, um sich an das tatsächliche Sonnenjahr anzupassen." Der jüdische Kalender, der heute noch gilt, kennt die Regel, dass innerhalb einer Periode von 19 Jahren es sieben Jahre geben muss, die einen 13. Monat als Schaltmonat einschieben. Es ist also kein Wunder, dass die "13" auch heute noch bei den Juden als Glückszahl gilt.
Diamanten & Botswana
20.11.2015, Andreas RNichtstandard-Analysis
19.11.2015, Andreas RychenDen Kampf ums unendlich Kleine scheint die Redaktion von "Spektrum der Wissenschaft" immer noch auszufechten, obwohl spätestens seit den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts der Streit friedlich beigelegt wurde. In der so genannten Nichtstandard-Analysis gibt es sehr wohl unendlich kleine
(infinitesimale) und unendlich große hyperreelle Zahlen.
Ein Element x aus der Menge *R der hyperreellen Zahlen heißt infinitesimal, wenn für alle positiven reellen Zahlen r gilt: ׀x׀<r. *R ist eine echte Körpererweiterung des geordneten Körpers R der reellen Zahlen.
Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen infinitesimal benachbart (x≈y), falls x–y infinitesimal ist.
Die Stetigkeit einer Funktion f in einem Punkt x0∈R lässt sich dann ohne Epsilontik wie folgt definieren: Für alle x∈*R: x0 ≈ x ⟹ f(x0) ≈ f(x).
Jede hyperreelle Zahl x∈*R ist infinitesimal benachbart einer einzigen reellen Zahl r∈R. Die Funktion st ordnet x seinen Standardteil r zu: st(x)=r.
Die Ableitung einer Funktion, z. B. f(x) = x2+3x, geschieht folgendermaßen: Durch zwei infinitesimal benachbarte Punkte der Funktion
(x, f(x)) und (x+dx, f(x+dx) denkt man sich eine Sekante und berechnet deren Steigung (dx ist natürlich infinitesimal):
(f(x+dx)–f(x))/dx = (x2+2x(dx)+(dx)2 +3x+3(dx)–(x2+3x))/dx =
(2x(dx)+(dx)2 + 3 (dx))/dx = 2x+dx+3
st(2x+dx+3)=2x+3
Es sei noch erwähnt, dass ein Integral aufgefasst wird als unendliche Summe von unendlich schmalen Streifen!
Literatur:
Abraham Robinson: Nonstandard Analysis. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. North-Holland, Amsterdam 1966
H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach
Selbstverständlich liegt es dem "Spektrum" fern, sich an irgendwelchen – auch noch längst vergangenen – Kämpfen zu beteiligen. Wir begnügen uns mit der Rolle des Berichterstatters (und sind damit ausreichend beschäftigt).
In diesem Sinne ist zu ergänzen, dass in der Tat Abraham Robinsons Nichtstandard-Analysis einen Begriffsapparat bereitstellt, der es erlaubt, widerspruchsfrei von unendlich kleinen (und unendlich großen) Größen zu sprechen, dass aber die Mathematiker von dieser Möglichkeit bislang kaum Gebrauch machen. Über die Gründe dafür lässt sich trefflich spekulieren.
Christoph Pöppe, Redaktion
Sie haben Recht, die Nichtstandard-Analysis hat sich bisher in Gymnasien und Universitäten nicht durchgesetzt. Das käme einem Paradigmenwechsel gleich, und wie träge der Wissenschafts- und Unterrichtsbetrieb sein können, ist bei Thomas S. Kuhn nachzulesen.
Immerhin gibt es in den USA Schulen, die Lehrmittel der Nichtstandard-Analysis einsetzen. Außerdem wird in Vorlesungen über mathematische Logik auf die Erweiterung der reellen Zahlen mit unendlich kleinen Größen hingewiesen.
Es geht mir auch gar nicht darum, wie verbreitet die Lehre ist. Vielmehr ist zu beachten, dass die Vorstellungen von Leibniz, Euler und anderen über infinitesimale Größen eine späte Rechtfertigung erhalten haben. Es ist auch bemerkenswert, dass in der Praxis bei Physikern, Ingenieuren, Technikern unendlich kleine Größen eine Rolle spielen. Diese angewandten Mathematiker haben im Grunde die Denkweise eines Leibniz beibehalten trotz Cauchy.
Andreas Rychen
Das angebliche "Märchen" von der Selbstregulation des Marktes
19.11.2015, Dieter Eichrodt, Glengarriff (Irland)Freie Märkte sind rekursive (rückgekoppelte) nichtlineare Systeme. Anders lässt sich das Auf und Ab von Marktpreisen gar nicht erklären. Wie in jedem Regelkreis bestimmen Dämpfung oder Verstärkung das Regelungs- beziehungsweise Schwingunsverhalten. Bei vernünftig handelnden Marktteilnehmern überwiegt die Dämpfung: Die Verstärkung im Regelkreis ist dann kleiner als 1. Das Ergebnis ist das Einschwingen des Regelkreises auf einen "vernünftiger" Marktpreis. Werden die Marktteilnehmer hingegen von Gier statt von Vernunft geleitet, ist die Verstärkung größer als 1 und das System neigt zu chaotischem Schwingungsverhalten.
Es kommt also nur auf das Verhalten der Marktteilnehmer an. Sind die von Vernunft geleitet, dann behält auch Adam Smith Recht!
Schmerz
17.11.2015, Robert OrsoTerminator: "Ich nehme Verletzungen wahr. Diese Daten könnte man als Schmerz bezeichnen."
(Terminator 2 - Tag der Abrechnung)
Bionik ist wichtig
17.11.2015, Stanislav Maria HerbrechterNein?
16.11.2015, S. N.Es ist ein Tag wie jeder andere auch.
16.11.2015, Igor ImreKeine geheimen Untersuchungen
15.11.2015, Martin LüthiDas Gottkönigtum
15.11.2015, Gottfried HeumesserDie Transformation zum christlichen Monotheismus machte das jedoch unmöglich: Der Kaiser war nicht mehr göttlich, sonder "von Gottes Gnaden", und auch auf das Amt des Oberpriesters (Pontifex Maximus) musste er verzichten.
Daher scheint es erstaunlich, sich bei der Untersuchung des Kaisertums auf die christlichen Kaiser zu beschränken.
viel zu eingeschränkt
15.11.2015, Walter WeissWie Exxon den Klimawandel entdeckte - und leugnete
14.11.2015, Heinrich RottMein Chemieprofessor sagte schon 1966 im 1. Semester Grundstudium: 'Jede Mark, die man nicht für Energie ausgeben muss, ist eine gute Mark'.
Und dem ist nichts hinzuzufügen und würde allen - außer den Ölfirmen und -ländern - helfen.
Soso
14.11.2015, F.Brockmanndie 13 als Glückszahl
13.11.2015, Dr. Bernd WalterAch ja, endlich wieder einmal eine Apokalypse
13.11.2015, Fritz KronbergLunisolarkalender auch heute noch aktuell
13.11.2015, Erich Rückl