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Hallo Fr. Bischoff, in ihren schönen Artikel hat sich ein Fehler eingeschlichen. Sie schreiben:
Es gibt Netzwerke, die keiner Karte entsprechen. Das ist immer dann der Fall, wenn sich die Kanten eines Graphen schneiden und nicht entwirren lassen, ein Beispiel dafür ist das »Haus vom Nikolaus«.
Das stimmt so nicht. Das Haus vom Nikolaus lässt sich in die Ebene einbetten, was man leicht sieht, indem man eine der Diagonalen "nach außen" verlegt.
Die ganze Sache hat einen klitzekleinen Haken.
Bei der Fleissigen Biber Funktion wird grundsätzlich davon ausgegangen, dass initial auf dem gesamten Band 0en stehen.
Bei der Turingmaschine für die Goldbach Vermutung ist aber das initiale Band nicht nur mit 0en beschrieben. Damit klappt der im Artikel beschriebene Ansatz nicht.
Man überlege auch einfach, dass eine universelle Turingmaschine eben auch nur eine endliche Anzahl von (internen) Zuständen hat, und das eigentlich auszuführende Programm der universellen Turingmaschine auch auf dem Band steht (quasi als eine Art zusätzliche Eingabe). Wir hätten hier also, falls es möglich wäre, ein Paradoxon. Wobei das Paradoxon daraus bestehen würde, dass eben einseits die universelle Turingmaschine den Wert jeder berechenbaren Funktion für jede endliche Eingabe berechnet können würde, aber dann dieser Wert nicht nur endlich wäre, sondern auch kleiner als der Wert von 2^(k*BB(n)), wobei k eine Konstante und n die Anzahl der internen Zustände der universellen Turingmaschine wäre, sein müßte. Dieses ist aber nicht möglich.
Genauso hätte man den Widerspruch, dass eine universelle Turingmaschine auch (einerseits) entscheiden könnte, ob nun eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht, aber andererseits, sofern die Anzahl der Stellen der zu testenden Zahl nun (in binär Darstellung) größer als k*BB(n) wäre, nun die universelle Turingmaschine dann doch vor dem Lesen der gesamten Eingabe die Entscheidung fällen müßte, wobei nur vom jeweils nicht gelesenen Rest der Zahl abhängen würde, ob die zu testende Zahl eine Primzahl wäre oder nicht, und somit, bei einer deterministischen Turingmaschine, die Turingmaschine bei jeweils gleicher gelesenen Zeichenkette die gleiche Entscheidung fällen müßte, unabhängig davon, ob die zu testende Zahl wirklich eine Prinzahl ist oder nicht. Nur damit könnte die universelle Turingmaschine (mit n internen Zuständen) eben doch nicht für jede Zahl testen, ob die Zahl eine Primzahl ist. Dieses ist ein Widerspruch.
ps. Die "Maximal Shift Function" bestimmt die Maximale Anzahl von Rechenschritten bei Turingmaschinen vom BB-Typ (d.h. bei "leerer" Eingabe, d.h. nur 0en initial auf dem Band). Die Fleissige Biber (BB-Funktion) "nur" die maximale Anzahl von 1en, die eine solche Turingmaschine (bei "leerer" Eingabe) auf das Band schreiben kann. (Der Wert der "Maximal Shift Funktion" ist größer als der BB-Wert bei gleicher Anzahl von Zuständen, es gibt aber eine obere Schranke bei der "Maximal Shift Function" bei welcher der BB-Wert der einzige Parameter des Terms der oberen Schranke ist).
pps. Bei der Beschränkung der Anzahl der Rechenschritte einer Turingmaschine muss zwingend auch die Anzahl der Stellen des Bandes berücksichtigt werden, welche initial eben nicht "leer" sind. Man kann einfach eine Turingmaschine mit 3 Zuständen definieren, welche bei einer geeigneten Eingabe am Anfang auf dem Band, anschließend nach mehr als 2^(BB(3)) Schritten erst anhält oder bei der auch anschließend mehr als 2^(BB(3)) 1en auf dem Band stehen (bzw. sogar mehr als 2^(BB(3)) zusätzliche 1en auf das Band geschrieben wurden) und die Turingmaschine trotzdem anhält.
Sowohl der Inhalt des Beitrags als auch die Formel haben einen ausgeprägten makroskopischen Charakter - in der Volkswirtschaftslehre wäre beides in der Makroökonomie zu Hause.
Makroökonomische Theorien und Argumentationen sind von einer deutlichen Ungenauigkeit geprägt, deren Ursache die statistische Natur der Makroökonomie ist und dazu führt, daß mathematische Graphen in Diagrammen in Wirklichkeit dicke Balken sein müssen, innerhalb deren grenzen Entwicklungen stattfinden können, die dem Verlauf des Balkens insgesamt zuwiderlaufen (können).
Genau diese statistische Natur und ihre Konsequenzen stecken auch in diesem Artikel und in der Formel, da die Milliarden einzelner Individuen auf der Erde zu einer Größe verdichtet werden und dann erst die untersuchende Betrachtung einsetzt.
Makro-Betrachtungen beruhen immer auf Prämissen über Homogenität der Akteure, der Parallelität ihres Handelns, Innovationsgeschehen und anderem mehr.
Besonders fatale Folgen zeigen sich in folgender Nebenbemerkung, die erkennbar nicht Teil der Aussage des Artikels sein soll: "zum Beispiel, wenn die Auswirkungen auf reiche Menschen überbewertet werden, weil sie ja mehr Geld verlieren können als arme."
Die Makro-Betrachtung wie auch mindestens eine ihre technischen Voraussetzungen führen dazu, daß Reichtum mit Geld gleichgesetzt wird - diese Gleichsetzung könnte falscher nicht sein, denn Häuser, Produktionsmaschinen, LKWs, die direkt oder indirekt Eigentum von "Reichen" sind, sind kein Geld und lassen sich auch nur selten innerhalb kurzer Zeit zu Geld machen und schon gar nicht zu dem Geldbetrag, mit dem sie bewertet werden.
Die angemerkte technische Voraussetzung der Makrobetrachtung besteht darin, daß alle Faktoren und Zusammenhänge miteinander addierbar sein müssen - das aber ist bei Kilowattstunden Strom und Tonnen Getreide nicht gegeben. Deshalb werden diese Mengen in Geld ausgedrückt und dadurch eine erhebliche Ungenauigkeit einhgeführt.
Diese Andeutungen sollten bei der Lektüre des Artikels beachtet werden.
Verwendet man die Parameterdarstellung
x(t) = 3 cos(t)
y(t) = sin(t)
findet man den Winkel zwischen x-Achse und der Geraden y = - x/2. Das 2te Keplersche Gesetz sagt, dass wenn hier die beiden Flächen gleich sind, dann auch die beiden eingeschlossenen Winkel gleich sein müssen. Der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden y = mx ergibt sich dann, wenn man den erhaltenen Winkel von 90° abzieht. Jetzt kann mit Hilfe des Tangens und der Koordinatendarstellung m errechnen und kommt ebenfalls auf den in der Lösung genannten Wert.
Herzlichen Dank für den hochinteressanten artikel. Obwohl ich an 1976, als der Computerbeweis herauskam, erinnern kann, waren mir die geschichtlichen Hintergründe ind früheren Fehlschläge unbekannt, genauso wie die weitere (teilweise) Reduktion der Beweislast. Zur aufgestellten Frage: "Werden wir einem mathematischen Beweis trauen, den eine KI geführt hat?":
KI ist angelernt. Das Lernmaterial kann fehlerhaft sein. Wie sollte man auch einen umfangreichen Computerbeweis per Beweisassistent überprüfen?
Etwas ganz anderes wäre es, wenn die KI einen "eleganten", einfach nachvollziehbaren Beweis fände. Den könnte man leicht überprüfen. Es könnte aber sein, dass die KI neue mathematische Felder erschließt, in die Mathematiker sich erst einarbeiten müssten. Das könnte Zeit benötigen, könnte aber weitere Erkenntnisse als Abfallprodukt liefern.
Sehr geehrte Frau Bischoff,
die halbe Ableitung von f=x liegt zumindest so wie angegeben (−√(4/π)·√x ) nicht zwischen f=x und f=1, da sie durch das Minuszeichen gespiegelt wird.
Viele Grüße
In den 70er Jahren wurde (vielleicht heute noch?) das Mathematikbuch "Der Gottesbeweis" von Dr. Paul Mönnig ,am Erzbischöflichen Friedrich-Spee-Kolleg in Neuss als Pflichtlehrbuch angewendet.Der Autor selbst war mein Mathelehrer.Seine Professur wurde ihm wohl wegen dieser Anmaßung genommen,sagt man.
Auch Kollegen am gleichen Institut verzweifelten manchmal an der Materie.
Hallo,
ich habe vor längerer Zeit gelesen, dass Katzen im freien Fall ihre Blase entleeren, damit eben diese beim Aufprall nicht platzt. An eben diesem Platzen sterben wohl häufig Katzen nach einem Fall bis zu ca 7 Stockwerken. Bei längerem Freifall reicht hingegen die Zeit, um die Blase ausreichend zu leeren.
Während meines Studiums vor etlichen Jahren wurde in der Quantentheorie-Vorlesung dieser Umstand behauptet, aber zu meinem Leidwesen nicht bewiesen. Es ist interessant, dass der experimentelle(!) beweis erst jetzt kürzlich erfolgt ist.
Leider bin ich nicht (mehr) so firm mit der Bra/Ket-Schreibweise im Nature-Originalartikel (doi:10.1038/s41586-021-04160-4), um die Argumentation im Detail nachzuvollziehen. Einige grundsätzliche Überlegungen möchte ich dennoch dazu anstellen:
Die komplexem Zahlen sind eine orientierte reelle normierte Divisionsalgebra mit Eins, wobei strenge Multiplikativität der (Betrags-)Norm vorausgesetzt wird (|z₁z₂| = |z₁| |z₂|). Damit sind die komplexen Zahlen als ein spezieller 2D-Vektorraum (mit invertiebarem Vektorprodukt) bis auf Isomorphie festgelegt.
Gleichungen der Quantentheorie in Real- und Imaginärteil aufzuteilen, bedeutet für sich genommen also erst Mal nichts. Dagegen muss der Verzicht auf Multiplikation und Division der Zweiervektoren Auswirkungen haben (d. h. Lücken hinterlassen), die experimentell überprüfbar sind. Offenbar ist dazu das von den Autoren vorgeschlagene und durchgeführte Experiment in der Lage (nicht aber der gewöhnliche Bell-Test - womöglich kommt der Unterschied daher, dass hier ein Tensorprodukt eingeht).
Man könnte also ein Experiment ersinnen, das prüft, ob die Vertauschbarkeit der Skalare(!) bei Multiplikation immer gewährleistet ist. Ist das nicht der Fall, dann wäre zumindest eine Eweiterung auf Quaternionen angesagt (die rein imaginären Quaternionen vertauschen nicht und bilden einen reellen 3D-Vektorraum, siehe https://www.spektrum.de/kolumne/quaternionen-von-komplexen-zahlen-zu-tomb-raider/2109450).
Wenn sich auch die Assoziativität als nicht gewährleistet hearusstellen würde, blieben die besagten Oktonionen).
Bin gespannt, ob die weiteren Untersuchungen der Autoren in diese Richtung gehen.
Nach weiterer Recherche habe ich einen Hinweis zur Frage der Lorentz-Transformationen gefunden. Man benötigt dazu Biquaternionen, d. h. eine Komplexifizierung der Quaternionen (gleiche Rechenregeln, aber mit den komplexen Zahlen als Skalarraum). Es gibt dann zwei verschiedene Komplex-Konjugierte:
q* = a - ib -jc -kd und ~q = a + i~b + j~c + k~d
Im Raum M := {q|~q = q*} gilt q* * q = ~q * q = q * q* = q * ~q = a² - b² -c² -d²,
was zur Invarianten im Minkowskiraum passt. Dazu wird M als reeller 4D-Vektorraum aufgefasst. Allerdings ist bei diesen Konstrukten die reelle Achse immer fest, nur i,j,k sind variabel, solange sie zusammenpassen.
Im Minkowski-Vektorraum ändert sich jedoch auch die Zeitachse bei einem Boost (Übergang zu einem gegenüber dem urspünglichen mit konstanter Geschwindigkeit bewegten System: Zeitdehnung). Man muss also fragen, welche Symmetrieoperationen (Transformationen) den Lichtkegel {q|q* * q = 0} in sich abbilden. Es passt daher alles nicht so gut zusammen wie die Drehungen im 3D-Vektorraum und die (gewöhnlichen) Quaternionen.
Zum Artikel "Von komplexen Zahlen zu Tomb Raider" von Maon Bischoff:
Zur Axiomatik der Quaternionen habe ich fogende Frage:
Eine relle, normierte Divisionsalgebra mit Eins der Dimension 4 ist (bei Vorausgesetzter strenger Multiplikativität der Norm) laut Wikipedia (bis auf Isomorphie) identisch mit dem Quaternionenraum ℍ. Sie muss daher als innere direkte Summe aus den reellen und den rein imaginären Quaternionen darstellbar sein, wobei letztere einen orientierten euklidischen (also insbes. reellen) 3D-Vektorraum bilden. Dies bedeutet, eine (bis auf die 1 nicht eindeutig bestimmte) Basis 1,i,j,k zu finden, die den Multiplikationsregeln für Quaternionen genügt.
Leider habe ich dazu weder im Internet nirgends einen Beweis gefunden noch selbst einen zustande gebracht.
Könnten Sie vielleicht bei Gelegenheit in ihrer Rubrik "Fabelhafte Welt der Mathematik" einen solchen Beweis skizzieren, der mit möglichst wenig mathematischen Hilfsmitteln (etwa aus der Gruppentheorie) auskommt?
Der axiomatische Ansatz scheint mir sehr elegant, weil er in der Freiheit der Wahl von i,j,k gleich auf die Drehungen führt, um verschieden gewählte i,j,k ineinander überzuführen.
Hintergrund:
1. Konstruktiver Ansatz
Gewöhnlich werden die Quaternionen als 4D-Vektorraum ℍ konstruiert, entweder über Quadrupel im ℝ⁴ oder äquivalent mittels der Cayley–Dickson-Konstruktion als Paare im ℂ², jeweils versehen mit einer geeingneten Definition eines Vektorprodukts und Betragsnorm und/oder Komplex-Konjugation.
Diese Konstruktionen haben aber mehr Struktur als eigentlich benötigt wird, insbsondere eine feste Basis 1,i,j,k. Wie aus dem Artikel hervorgeht, kann man aber anstelle von i,j,k (Basis im Raum der rein imaginären Quaternionen ℍₚᵤᵣₑ) jede andere Basis benutzen, die aus ihr durch eine Drehung hervorgeht.
2. Halbaxiomatischer Ansatz
Von diesen - im Sinn der Quaternionen - Artefakten - kann man sich frei machen durch einen „halbaxiomatischen“ Ansatz ℍ := ℝ × ℍₚ = ℝ ⊕ℍₚ (aüßere direkte Summe von Vektorräumen, mengentheoretisch: kartesisches Mengenprodukt), wobei ℍₚ ein beliebiger orientierter euklidischer (also reeller) 3D-Vektorraum ist. In einem solchen Vektorraum gibt es das eindeutig bestimmte total antisymmetrische Vektorprodukt (Kreuzprodukt).
Produkt:
p * q := (ab - A • B) + aB + bA + A × B
für p = (a,A) = a⊕A, q=(b,B) = b⊕B mit a,b∈ℝ, A,B∈ℍₚ und dem Skalarprodukt A • B in ℍₚ
Komplex-Konjugiertes:
~p = (a, -A) = a ⊕ (-A)
Betrag:
|p| := √(a² + ||A||²) mit der kanonischen Längenorm ||A|| im euklidischen Vektorraum, somit ist ~p * p * p * ~p = |p|².
Die 1 in ℝ vermittelt zusammen mit jeder beliebigen rechtshändigen Orthonormalbasis e₁,e₂,e₃ in ℍₚ einen Darstellungsisomorphismus von ℝ ⊕ℍₚ nach dem oben konstruierten Quaternionenraum ℝ⁴ mit dem Quaternionenprodukt und den Basisvektoren 1,i,j,k wie oben. Es ist dabei der Kommutator [p, q] := p*q-q*p = 2 A × B, so dass man das Vektorprodukt auf alle Quaternionen ausdehnen kann per p × q := 1/2 [p, q] = 1/2(p*q - q*p) = A × B.
Vertauschung von Multiplikator und Multiplikand im Quaternionenprodukt gehen einher mit einem Vorzeichenwechsel des Kreuzproduktes und der Orientierung von ℍₚ.
3. Rein axiomatischer Ansatz
Nach Wikipedia:
Eine relle, normierte Divisionsalgebra mit Eins der Dimension 4 ist (bis auf Isomorphie) identisch mit dem Quaternionenraum ℍ. Dabei wird als Verträglichkeitsaxiom die Multiplikativität der Norm gefordert |p*q| = |p| |q| (= |q*p|). Wie bei den Dimensionen 1 (ℝ) und 2 (ℂ) sind solche Divisionsalgebren im Produkt kommutativ.
Diese Isomporphie muss also bedeuten, dass eine solche Divisionsalgebra als (innere) direkte Summe der von der 1 aufgespannten reellen Achse und einem orientierten euklidischen 3D-Vektorraum (der rein imaginären Quaternionen) darstellen lässt. Es genügt zusätzlich zur 1 eine Basis i,j,k zu finden, so dass die Multiplikationsregeln für Quaternionen erfüllt sind.
Herzlichen Dank einstweilen für den Artikel über Quaternionen und Drehungen!
Der Ursprung der ABC-Vermutung ist der Bereich der elliptischen Kurven.
So lässt es sich gut verstehen, dass die Fachleute die arithmetischen Folgen als möglicher Beweis fürs ABC-Problem nicht in Betracht genommen haben.
Die Funktion c=a+b gibt allgemein die Berechnung von c an.
Zu verschiedenen arithmetischen Folgen kann damit c gehören. Ob c zur welchen Folge gehört, das gibt die Funktion nicht an.
Wird die Eigenschaft zwischen Rad(abc) und c untersucht, dann kann man auf den Primzahlsatz von Dirichlet nicht verzichten.
1.) Schritt: ggT(a,b)=1
Ich schreibe b in Bezug a um.
b=ka+r. So: c=a+ka+r=(k+1)a+r
Nach dem Dirichlets Satz: ist ggT((k+1), r)=1, dann befinden sich in der Folge unendlich viele Primzahlen.
2.) Schritt: ich gebe k+1 und r Werte an.
Zum Beispiel: Sei k+1=3^m und r=5^j
Die beiden haben den ggT=1. m ist größer als 1, j ist größer als 1.
Die beiden sind multiplikativ hochpotenten Zahlen.
Ist c=p(Prim), dann ist Rad(abc)>c, was die Vermutung besagt.
Diese arithmetische Folge ist eine Teilmenge von (k+1)a+r (ggT((k+1),r)=1), damit hat jede Teilmenge die gleiche Eigenschaft.
Bemerkung: Ist ggT((k+1),r) größer als 1, dann kann (notwendige Voraussetzung) c ein ABC-Treffer sein: Rad(abc)
Ob sie genügend ist, man müsse weitere Überlegungen treffen.
Schlusswort: Der Mathematiker liegt mit seinem Beweis richtig.
Seit Jahren nun, versuche ich eine Definition für 'Zahl' zu finden. Auf die Fährte gesetzt hat mich die Lektüre von Russell, B.: Einführung in die mathematische Philosophie. Meiner Verlag, 2. Auflage 2006, Originalausgabe von 1919.
Nun bin ich durch einen anderen Artikel von Ihnen, in dem Sie ganz selbstverständlich {\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\{0;1;2;3;\ldots \}} für die natürlichen Zahlen annahmen, wieder interessiert. Die Verwendung von 0 als natürlicher Zahl setzt ja die Akzeptanz der Peano-Axiome voraus. Nun haben aber Russell und Whitehead bei ihrem 1+1=2 Beweis dafür plädiert möglichst sparsam mit Axiomen umzugehen (und Gödel hat ja mit seinem ontologischen Gottesbeweis gezeigt, was mit dem Einsatz von Theoremen und Axiomen möglich ist).
Zu meiner Schande muss ich gestehen, den Russell nicht sorgfältig genug gelesen zu haben und bin nunmehr auf Freges Grundlagen der Arithmetik gestoßen; das ist ziemlich harter Stoff für einen 68jährigen Philosophiestudenten.
Jedenfalls habe ich den Eindruck, dass das Thema Definition Zahl nicht ausdiskutiert ist. Ist dem so?
Eine Zahl ist reich, wenn die Summe ihrer Teiler *größer* ist als die Zahl selbst.
Beispiel: 12 ist eine reiche Zahl, weil 1+2+3+4+6 > 12
324 ist auch eine reiche Zahl, weil seine Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108 und 162 sind und deren Summe 523 ergibt. Mit Potenzen hat das zunächst (vordergründig) nichts zu tun.
Haus vom Nikolaus ist planar
05.08.2023, Helmut SperberEs gibt Netzwerke, die keiner Karte entsprechen. Das ist immer dann der Fall, wenn sich die Kanten eines Graphen schneiden und nicht entwirren lassen, ein Beispiel dafür ist das »Haus vom Nikolaus«.
Das stimmt so nicht. Das Haus vom Nikolaus lässt sich in die Ebene einbetten, was man leicht sieht, indem man eine der Diagonalen "nach außen" verlegt.
Turingmaschinen, "Fleissige Biber" und "Maximal Shift Function"
05.08.2023, Björn StuhrmannBei der Fleissigen Biber Funktion wird grundsätzlich davon ausgegangen, dass initial auf dem gesamten Band 0en stehen.
Bei der Turingmaschine für die Goldbach Vermutung ist aber das initiale Band nicht nur mit 0en beschrieben. Damit klappt der im Artikel beschriebene Ansatz nicht.
Man überlege auch einfach, dass eine universelle Turingmaschine eben auch nur eine endliche Anzahl von (internen) Zuständen hat, und das eigentlich auszuführende Programm der universellen Turingmaschine auch auf dem Band steht (quasi als eine Art zusätzliche Eingabe). Wir hätten hier also, falls es möglich wäre, ein Paradoxon. Wobei das Paradoxon daraus bestehen würde, dass eben einseits die universelle Turingmaschine den Wert jeder berechenbaren Funktion für jede endliche Eingabe berechnet können würde, aber dann dieser Wert nicht nur endlich wäre, sondern auch kleiner als der Wert von 2^(k*BB(n)), wobei k eine Konstante und n die Anzahl der internen Zustände der universellen Turingmaschine wäre, sein müßte. Dieses ist aber nicht möglich.
Genauso hätte man den Widerspruch, dass eine universelle Turingmaschine auch (einerseits) entscheiden könnte, ob nun eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht, aber andererseits, sofern die Anzahl der Stellen der zu testenden Zahl nun (in binär Darstellung) größer als k*BB(n) wäre, nun die universelle Turingmaschine dann doch vor dem Lesen der gesamten Eingabe die Entscheidung fällen müßte, wobei nur vom jeweils nicht gelesenen Rest der Zahl abhängen würde, ob die zu testende Zahl eine Primzahl wäre oder nicht, und somit, bei einer deterministischen Turingmaschine, die Turingmaschine bei jeweils gleicher gelesenen Zeichenkette die gleiche Entscheidung fällen müßte, unabhängig davon, ob die zu testende Zahl wirklich eine Prinzahl ist oder nicht. Nur damit könnte die universelle Turingmaschine (mit n internen Zuständen) eben doch nicht für jede Zahl testen, ob die Zahl eine Primzahl ist. Dieses ist ein Widerspruch.
ps. Die "Maximal Shift Function" bestimmt die Maximale Anzahl von Rechenschritten bei Turingmaschinen vom BB-Typ (d.h. bei "leerer" Eingabe, d.h. nur 0en initial auf dem Band). Die Fleissige Biber (BB-Funktion) "nur" die maximale Anzahl von 1en, die eine solche Turingmaschine (bei "leerer" Eingabe) auf das Band schreiben kann. (Der Wert der "Maximal Shift Funktion" ist größer als der BB-Wert bei gleicher Anzahl von Zuständen, es gibt aber eine obere Schranke bei der "Maximal Shift Function" bei welcher der BB-Wert der einzige Parameter des Terms der oberen Schranke ist).
pps. Bei der Beschränkung der Anzahl der Rechenschritte einer Turingmaschine muss zwingend auch die Anzahl der Stellen des Bandes berücksichtigt werden, welche initial eben nicht "leer" sind. Man kann einfach eine Turingmaschine mit 3 Zuständen definieren, welche bei einer geeigneten Eingabe am Anfang auf dem Band, anschließend nach mehr als 2^(BB(3)) Schritten erst anhält oder bei der auch anschließend mehr als 2^(BB(3)) 1en auf dem Band stehen (bzw. sogar mehr als 2^(BB(3)) zusätzliche 1en auf das Band geschrieben wurden) und die Turingmaschine trotzdem anhält.
Wesen der Argumentation und der Formel
31.07.2023, Dipl.-Volkswirt (bdvb) AugustinMakroökonomische Theorien und Argumentationen sind von einer deutlichen Ungenauigkeit geprägt, deren Ursache die statistische Natur der Makroökonomie ist und dazu führt, daß mathematische Graphen in Diagrammen in Wirklichkeit dicke Balken sein müssen, innerhalb deren grenzen Entwicklungen stattfinden können, die dem Verlauf des Balkens insgesamt zuwiderlaufen (können).
Genau diese statistische Natur und ihre Konsequenzen stecken auch in diesem Artikel und in der Formel, da die Milliarden einzelner Individuen auf der Erde zu einer Größe verdichtet werden und dann erst die untersuchende Betrachtung einsetzt.
Makro-Betrachtungen beruhen immer auf Prämissen über Homogenität der Akteure, der Parallelität ihres Handelns, Innovationsgeschehen und anderem mehr.
Besonders fatale Folgen zeigen sich in folgender Nebenbemerkung, die erkennbar nicht Teil der Aussage des Artikels sein soll: "zum Beispiel, wenn die Auswirkungen auf reiche Menschen überbewertet werden, weil sie ja mehr Geld verlieren können als arme."
Die Makro-Betrachtung wie auch mindestens eine ihre technischen Voraussetzungen führen dazu, daß Reichtum mit Geld gleichgesetzt wird - diese Gleichsetzung könnte falscher nicht sein, denn Häuser, Produktionsmaschinen, LKWs, die direkt oder indirekt Eigentum von "Reichen" sind, sind kein Geld und lassen sich auch nur selten innerhalb kurzer Zeit zu Geld machen und schon gar nicht zu dem Geldbetrag, mit dem sie bewertet werden.
Die angemerkte technische Voraussetzung der Makrobetrachtung besteht darin, daß alle Faktoren und Zusammenhänge miteinander addierbar sein müssen - das aber ist bei Kilowattstunden Strom und Tonnen Getreide nicht gegeben. Deshalb werden diese Mengen in Geld ausgedrückt und dadurch eine erhebliche Ungenauigkeit einhgeführt.
Diese Andeutungen sollten bei der Lektüre des Artikels beachtet werden.
Ein anderer Ansatz
31.07.2023, Andreas Meyerx(t) = 3 cos(t)
y(t) = sin(t)
findet man den Winkel zwischen x-Achse und der Geraden y = - x/2. Das 2te Keplersche Gesetz sagt, dass wenn hier die beiden Flächen gleich sind, dann auch die beiden eingeschlossenen Winkel gleich sein müssen. Der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden y = mx ergibt sich dann, wenn man den erhaltenen Winkel von 90° abzieht. Jetzt kann mit Hilfe des Tangens und der Koordinatendarstellung m errechnen und kommt ebenfalls auf den in der Lösung genannten Wert.
Die ganze Welt in vier Farben - Vier-Farben-Satz: Der kontroverseste Beweis der Mathematikgeschichte
30.07.2023, Ernst SauerweinKI ist angelernt. Das Lernmaterial kann fehlerhaft sein. Wie sollte man auch einen umfangreichen Computerbeweis per Beweisassistent überprüfen?
Etwas ganz anderes wäre es, wenn die KI einen "eleganten", einfach nachvollziehbaren Beweis fände. Den könnte man leicht überprüfen. Es könnte aber sein, dass die KI neue mathematische Felder erschließt, in die Mathematiker sich erst einarbeiten müssten. Das könnte Zeit benötigen, könnte aber weitere Erkenntnisse als Abfallprodukt liefern.
Rückfrage zu fraktionalen Ableitungen
29.07.2023, Dr. Thomas OettingerSehr geehrte Frau Bischoff,
die halbe Ableitung von f=x liegt zumindest so wie angegeben (−√(4/π)·√x ) nicht zwischen f=x und f=1, da sie durch das Minuszeichen gespiegelt wird.
Viele Grüße
Dr. Paul Mönnig (Ex-Prof.,aberkannt)
28.07.2023, Peter VischAuch Kollegen am gleichen Institut verzweifelten manchmal an der Materie.
Entleerung der Blase
19.07.2023, Maik Justusich habe vor längerer Zeit gelesen, dass Katzen im freien Fall ihre Blase entleeren, damit eben diese beim Aufprall nicht platzt. An eben diesem Platzen sterben wohl häufig Katzen nach einem Fall bis zu ca 7 Stockwerken. Bei längerem Freifall reicht hingegen die Zeit, um die Blase ausreichend zu leeren.
Notwendigkeit komplexer Zahlen in der Quantentheorie
19.07.2023, Ernst SauerweinWährend meines Studiums vor etlichen Jahren wurde in der Quantentheorie-Vorlesung dieser Umstand behauptet, aber zu meinem Leidwesen nicht bewiesen. Es ist interessant, dass der experimentelle(!) beweis erst jetzt kürzlich erfolgt ist.
Leider bin ich nicht (mehr) so firm mit der Bra/Ket-Schreibweise im Nature-Originalartikel (doi:10.1038/s41586-021-04160-4), um die Argumentation im Detail nachzuvollziehen. Einige grundsätzliche Überlegungen möchte ich dennoch dazu anstellen:
Die komplexem Zahlen sind eine orientierte reelle normierte Divisionsalgebra mit Eins, wobei strenge Multiplikativität der (Betrags-)Norm vorausgesetzt wird (|z₁z₂| = |z₁| |z₂|). Damit sind die komplexen Zahlen als ein spezieller 2D-Vektorraum (mit invertiebarem Vektorprodukt) bis auf Isomorphie festgelegt.
Gleichungen der Quantentheorie in Real- und Imaginärteil aufzuteilen, bedeutet für sich genommen also erst Mal nichts. Dagegen muss der Verzicht auf Multiplikation und Division der Zweiervektoren Auswirkungen haben (d. h. Lücken hinterlassen), die experimentell überprüfbar sind. Offenbar ist dazu das von den Autoren vorgeschlagene und durchgeführte Experiment in der Lage (nicht aber der gewöhnliche Bell-Test - womöglich kommt der Unterschied daher, dass hier ein Tensorprodukt eingeht).
Beim Ausblick erwähnen die Autoren, dass selbst die komplexen Zahlen u. U. nicht ausreichen könnten. Mir kommen dazu die Spektrum-Artikel zum Thema Oktonionen und Standardmodell in den Kopf (https://www.spektrum.de/magazin/oktonionen-koennten-geheimnisse-des-standardmodells-lueften/1626470 und https://www.spektrum.de/magazin/oktonionen-acht-dimensionen-fuer-das-standardmodell/1645938), auch wenn es da nicht um Quantentheorie im Allgemeinen geht.
Man könnte also ein Experiment ersinnen, das prüft, ob die Vertauschbarkeit der Skalare(!) bei Multiplikation immer gewährleistet ist. Ist das nicht der Fall, dann wäre zumindest eine Eweiterung auf Quaternionen angesagt (die rein imaginären Quaternionen vertauschen nicht und bilden einen reellen 3D-Vektorraum, siehe https://www.spektrum.de/kolumne/quaternionen-von-komplexen-zahlen-zu-tomb-raider/2109450).
Wenn sich auch die Assoziativität als nicht gewährleistet hearusstellen würde, blieben die besagten Oktonionen).
Bin gespannt, ob die weiteren Untersuchungen der Autoren in diese Richtung gehen.
Ergänzung zu "5. Verallgemeinerung möglich?"
19.07.2023, Ernst Sauerweinq* = a - ib -jc -kd und ~q = a + i~b + j~c + k~d
Im Raum M := {q|~q = q*} gilt q* * q = ~q * q = q * q* = q * ~q = a² - b² -c² -d²,
was zur Invarianten im Minkowskiraum passt. Dazu wird M als reeller 4D-Vektorraum aufgefasst. Allerdings ist bei diesen Konstrukten die reelle Achse immer fest, nur i,j,k sind variabel, solange sie zusammenpassen.
Im Minkowski-Vektorraum ändert sich jedoch auch die Zeitachse bei einem Boost (Übergang zu einem gegenüber dem urspünglichen mit konstanter Geschwindigkeit bewegten System: Zeitdehnung). Man muss also fragen, welche Symmetrieoperationen (Transformationen) den Lichtkegel {q|q* * q = 0} in sich abbilden. Es passt daher alles nicht so gut zusammen wie die Drehungen im 3D-Vektorraum und die (gewöhnlichen) Quaternionen.
Quaternionen - Axiomatik versus Konstruktion
19.07.2023, Ernst SauerweinZur Axiomatik der Quaternionen habe ich fogende Frage:
Eine relle, normierte Divisionsalgebra mit Eins der Dimension 4 ist (bei Vorausgesetzter strenger Multiplikativität der Norm) laut Wikipedia (bis auf Isomorphie) identisch mit dem Quaternionenraum ℍ. Sie muss daher als innere direkte Summe aus den reellen und den rein imaginären Quaternionen darstellbar sein, wobei letztere einen orientierten euklidischen (also insbes. reellen) 3D-Vektorraum bilden. Dies bedeutet, eine (bis auf die 1 nicht eindeutig bestimmte) Basis 1,i,j,k zu finden, die den Multiplikationsregeln für Quaternionen genügt.
Leider habe ich dazu weder im Internet nirgends einen Beweis gefunden noch selbst einen zustande gebracht.
Könnten Sie vielleicht bei Gelegenheit in ihrer Rubrik "Fabelhafte Welt der Mathematik" einen solchen Beweis skizzieren, der mit möglichst wenig mathematischen Hilfsmitteln (etwa aus der Gruppentheorie) auskommt?
Der axiomatische Ansatz scheint mir sehr elegant, weil er in der Freiheit der Wahl von i,j,k gleich auf die Drehungen führt, um verschieden gewählte i,j,k ineinander überzuführen.
Hintergrund:
1. Konstruktiver Ansatz
Gewöhnlich werden die Quaternionen als 4D-Vektorraum ℍ konstruiert, entweder über Quadrupel im ℝ⁴ oder äquivalent mittels der Cayley–Dickson-Konstruktion als Paare im ℂ², jeweils versehen mit einer geeingneten Definition eines Vektorprodukts und Betragsnorm und/oder Komplex-Konjugation.
Diese Konstruktionen haben aber mehr Struktur als eigentlich benötigt wird, insbsondere eine feste Basis 1,i,j,k. Wie aus dem Artikel hervorgeht, kann man aber anstelle von i,j,k (Basis im Raum der rein imaginären Quaternionen ℍₚᵤᵣₑ) jede andere Basis benutzen, die aus ihr durch eine Drehung hervorgeht.
2. Halbaxiomatischer Ansatz
Von diesen - im Sinn der Quaternionen - Artefakten - kann man sich frei machen durch einen „halbaxiomatischen“ Ansatz ℍ := ℝ × ℍₚ = ℝ ⊕ℍₚ (aüßere direkte Summe von Vektorräumen, mengentheoretisch: kartesisches Mengenprodukt), wobei ℍₚ ein beliebiger orientierter euklidischer (also reeller) 3D-Vektorraum ist. In einem solchen Vektorraum gibt es das eindeutig bestimmte total antisymmetrische Vektorprodukt (Kreuzprodukt).
Produkt:
p * q := (ab - A • B) + aB + bA + A × B
für p = (a,A) = a⊕A, q=(b,B) = b⊕B mit a,b∈ℝ, A,B∈ℍₚ und dem Skalarprodukt A • B in ℍₚ
Komplex-Konjugiertes:
~p = (a, -A) = a ⊕ (-A)
Betrag:
|p| := √(a² + ||A||²) mit der kanonischen Längenorm ||A|| im euklidischen Vektorraum, somit ist ~p * p * p * ~p = |p|².
Die 1 in ℝ vermittelt zusammen mit jeder beliebigen rechtshändigen Orthonormalbasis e₁,e₂,e₃ in ℍₚ einen Darstellungsisomorphismus von ℝ ⊕ℍₚ nach dem oben konstruierten Quaternionenraum ℝ⁴ mit dem Quaternionenprodukt und den Basisvektoren 1,i,j,k wie oben. Es ist dabei der Kommutator [p, q] := p*q-q*p = 2 A × B, so dass man das Vektorprodukt auf alle Quaternionen ausdehnen kann per p × q := 1/2 [p, q] = 1/2(p*q - q*p) = A × B.
Vertauschung von Multiplikator und Multiplikand im Quaternionenprodukt gehen einher mit einem Vorzeichenwechsel des Kreuzproduktes und der Orientierung von ℍₚ.
3. Rein axiomatischer Ansatz
Nach Wikipedia:
Eine relle, normierte Divisionsalgebra mit Eins der Dimension 4 ist (bis auf Isomorphie) identisch mit dem Quaternionenraum ℍ. Dabei wird als Verträglichkeitsaxiom die Multiplikativität der Norm gefordert |p*q| = |p| |q| (= |q*p|). Wie bei den Dimensionen 1 (ℝ) und 2 (ℂ) sind solche Divisionsalgebren im Produkt kommutativ.
Diese Isomporphie muss also bedeuten, dass eine solche Divisionsalgebra als (innere) direkte Summe der von der 1 aufgespannten reellen Achse und einem orientierten euklidischen 3D-Vektorraum (der rein imaginären Quaternionen) darstellen lässt. Es genügt zusätzlich zur 1 eine Basis i,j,k zu finden, so dass die Multiplikationsregeln für Quaternionen erfüllt sind.
Herzlichen Dank einstweilen für den Artikel über Quaternionen und Drehungen!
Primzahlsatz von Dirichlet
19.07.2023, Otto MarkusSo lässt es sich gut verstehen, dass die Fachleute die arithmetischen Folgen als möglicher Beweis fürs ABC-Problem nicht in Betracht genommen haben.
Die Funktion c=a+b gibt allgemein die Berechnung von c an.
Zu verschiedenen arithmetischen Folgen kann damit c gehören. Ob c zur welchen Folge gehört, das gibt die Funktion nicht an.
Wird die Eigenschaft zwischen Rad(abc) und c untersucht, dann kann man auf den Primzahlsatz von Dirichlet nicht verzichten.
1.) Schritt: ggT(a,b)=1
Ich schreibe b in Bezug a um.
b=ka+r. So: c=a+ka+r=(k+1)a+r
Nach dem Dirichlets Satz: ist ggT((k+1), r)=1, dann befinden sich in der Folge unendlich viele Primzahlen.
2.) Schritt: ich gebe k+1 und r Werte an.
Zum Beispiel: Sei k+1=3^m und r=5^j
Die beiden haben den ggT=1. m ist größer als 1, j ist größer als 1.
Die beiden sind multiplikativ hochpotenten Zahlen.
Ist c=p(Prim), dann ist Rad(abc)>c, was die Vermutung besagt.
Diese arithmetische Folge ist eine Teilmenge von (k+1)a+r (ggT((k+1),r)=1), damit hat jede Teilmenge die gleiche Eigenschaft.
Bemerkung: Ist ggT((k+1),r) größer als 1, dann kann (notwendige Voraussetzung) c ein ABC-Treffer sein: Rad(abc)
Schlusswort: Der Mathematiker liegt mit seinem Beweis richtig.
Definition Zahl?
19.07.2023, Christian MaiNun bin ich durch einen anderen Artikel von Ihnen, in dem Sie ganz selbstverständlich {\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\{0;1;2;3;\ldots \}} für die natürlichen Zahlen annahmen, wieder interessiert. Die Verwendung von 0 als natürlicher Zahl setzt ja die Akzeptanz der Peano-Axiome voraus. Nun haben aber Russell und Whitehead bei ihrem 1+1=2 Beweis dafür plädiert möglichst sparsam mit Axiomen umzugehen (und Gödel hat ja mit seinem ontologischen Gottesbeweis gezeigt, was mit dem Einsatz von Theoremen und Axiomen möglich ist).
Zu meiner Schande muss ich gestehen, den Russell nicht sorgfältig genug gelesen zu haben und bin nunmehr auf Freges Grundlagen der Arithmetik gestoßen; das ist ziemlich harter Stoff für einen 68jährigen Philosophiestudenten.
Jedenfalls habe ich den Eindruck, dass das Thema Definition Zahl nicht ausdiskutiert ist. Ist dem so?
Eine "reiche Zahl" ist anders definiert
18.07.2023, PedroBeispiel: 12 ist eine reiche Zahl, weil 1+2+3+4+6 > 12
324 ist auch eine reiche Zahl, weil seine Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108 und 162 sind und deren Summe 523 ergibt. Mit Potenzen hat das zunächst (vordergründig) nichts zu tun.
Fehler in HEMMES MATHEMATISCHE RÄTSEL
18.07.2023, Roland SchorrGibt es keine Möglichkeit mehr, direkt zu einem mathematischen Rätsel Feedback zu geben? Die Lösung in der Aufgabe zu Okterra ist falsch.
Früher gab es eine direkte Mail-Funktion hierzu.
(es müssen 18 Wege sein)
Beste Grüsse