Astro-Lexikon F 2

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Die BCS-Theorie (nach den Pionieren John Bardeen, Leon Cooper, Bob Schrieffer, 1957) der Supraleitung in der theoretischen Festkörperphysik sieht ein kollektives Phänomen der Leitungselektronen vor. Wenn es kalt wird, sind Elektronen ungern Singles: Bei tiefen Temperaturen schließen sich deshalb zwei Elektronen (die zur Gruppe der Fermionen gehören) zu den so genannten Cooper-Paaren zusammen.

Ein perfektes Quantenpaar

Diese Paarung ist nur mit einer Wechselwirkung mit dem Kristallgitter des Festkörpers zu erklären, so dass eine anziehende (attraktive) Kraft zwischen den sich normalerweise aufgrund der Coulomb-Kraft abstoßenden Elektronen resultiert. Die Paare sind dann bosonisch und weisen damit völlig neue physikalische Eigenschaften auf. Die Pärchen pfeifen nämlich auf das Pauli-Verbot! Cooper-Paare bestehen aus Elektronen mit antiparallelem Spin, und deshalb können sich beliebig viele Cooper-Paare im gleichen Quantenzustand (gleiches Energieniveau) aufhalten.

Paare haben keinen Widerstand

Das widerstandslose Stromfließen in einem Supraleiter kann dadurch erklärt werden, dass die Cooper-Paare nicht an den Gitterionen gestreut werden können. Gerade diese Streuung führt bei der 'normalen' Leitung zu Verlusten, dem elektrischen Widerstand. Die Paare wirken jedoch aufgrund der starken Korrelation mit dem Gitter als Gesamtheit: der Gesamtimpuls der Cooper-Paare, also der elektrische Strom, bleibt erhalten. Erst das Aufbrechen der Bindung der Cooper-Paare durch Zuführen von Energie (höhere Temperaturen) kann die Supraleitung beenden.

Farbsupraleitung als Pendant

In Analogie zur dieser BCS-Supraleitung wurde bereits 1977 von Barrois eine Farbsupraleitung (engl. color superconductivity) vorgeschlagen, die vor kurzem 'wiederbelebt' wurde. In der Farbsupraleitung sind es nicht Elektronen, sondern Quarks, die fermionischen Konstituenten der Nukleonen, die eine Paarbindung (Diquarks) eingehen. Die Bezeichnung Farbsupraleitung rührt daher, weil Quarks neben der drittelzahligen elektrischen Ladung eine Farbladung tragen (Quantenchromodynamik, QCD).

Bezug zu kompakten Sternen

Einen Übergang in eine Phase von Quarkpaaren vermutet man bei sehr hohen Dichten (mehrfache Kernmateriedichte!), beispielsweise im Innern von Neutronensternen und Quarksternen. Das Phasendiagramm oben zeigt, wie man sich die drei Phasen Hadronen, farbsupraleitende Phase und Quark-Gluonen-Plasma mit jeweiligen Phasengrenzen vorstellt.
Allerdings beträgt der Einfluss der Farbsupraleitung auf die Zustandsgleichung von kompakten Objekten wie den Neutronensternen nur wenige Prozent, weshalb ihre Wichtigkeit für phänomenologische Modelle eher marginaler Natur ist.

Quelle

• Alford, M.: Color superconducting quark matter in compact stars, Preprint hep-ph/0110150

Ganz allgemein versteht man unter den Feldgleichungen die Bewegungsgleichungen in klassischen Feldtheorien und auch in den Quantenfeldtheorien (QFT). Diese Bewegungsgleichungen diktieren die Dynamik des physikalischen Systems.

Immer das gleiche Rezept

Feldgleichungen folgen zwingend einem Konstruktionsplan, mit dessen Hilfe aus den Lagrangedichten (Lagrangian) der Theorie die Bewegungsgleichungen über die Euler-Lagrange-Gleichungen (die bereits aus der klassischen Mechanik bekannt sind) folgen. Diese Bewegungsgleichungen sind gerade identisch mit den Feldgleichungen der Theorie. Der umgekehrte Weg ist ebenfalls praktikabel: man sucht Bewegungsgleichungen auf, aus denen die Lagrangedichten folgen. Der kanonische Aufbau einer Theorie ist somit möglich, wenn auch die praktischen Rechnungen im Detail äußerst kompliziert sind.

Beispiele

• In der Quantenelektrodynamik (QED), einer (speziell) relativistischen und quantisierten Theorie des elektromagnetischen Feldes, können die Elektronen und deren Antiteilchen, die Positronen, auf dem Quantenniveau beschrieben werden. Die elektromagnetische Kraft wird durch den Austausch von Bosonen, den Photonen, verstanden.
• Die Quantenchromodynamik (QCD) ist eine quantisierte Theorie der starken Wechselwirkung. Sie erklärt auf der Quantenebene die Wechselwirkung der Quarks, die eine Farbladung tragen, genauso wie den Zusammenhalt der Nukleonen (Proton und Neutron) bzw. allgemeiner gesprochen den Zusammenhalt der Hadronen.
• Auch klassische, nicht quantisierte Feldtheorien wie die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) können mit dem Apparat der Euler-Lagrange-Gleichungen behandelt werden. Mit dem Ansatz der so genannten Einstein-Hilbert-Wirkung (die die gleiche Information wie der Lagrangian trägt) folgt dann die unten stehende Feldgleichung der ART.

klassische Feldgleichung der Gravitation

Bezogen auf die Relativitätstheorie meint der Begriff Einsteinsche Feldgleichungen (rechts) den fundamentalen Satz an Gleichungen, der die Materie (beschrieben durch den Energie-Impuls-Tensor T, der im Vakuumfall verschwindet) an die Raumzeit (repräsentiert durch den Riemannschen Krümmungstensor, der den Einstein-Tensor G konstituiert) selbstkonsistent koppelt. Die einfache Gestalt der Gleichung rechts täuscht! Diese Gleichung komplett ausformuliert besteht aus zehn nichtlinearen, gekoppelten, partiellen Differentialgleichungen für die es keinen vollständigen Satz an Lösungen gibt. Immer wieder werden deshalb neue, spezielle Lösungen für Einsteins Feldgleichung gefunden. Eine Lösung der Feldgleichung gibt dann Aufschluss über die Raumzeit-Geometrie der Materie oder - falls der Energie-Impuls-Tensor verschwindet - die des Vakuums. Ungeladene Schwarze Löcher sind beispielsweise immer Lösungen der Vakuum-Feldgleichungen (z.B. die Kerr-Lösung oder die Schwarzschild-Lösung).

zentrale Bedeutung von Feldgleichungen

In der Physik geht es an sich immer um Feldgleichungen. Denn sie diktieren die Dynamik und das zukünftige Verhalten eines Systems oder die Wechselwirkung durch Kräfte.

Dieser Mechanismus ist dafür verantwortlich, dass elektrisch geladene Teilchen soviel Energie gewinnen können, dass sie relativistisch schnell werden und sogar in den UHE-Bereich (UHE: ultra-high energetic), also TeV bis PeV, kommen können.

zwei Beschleunigungsformen

• Fermi-Beschleunigung erster Ordnung: Relativistische Schockwellen breiten sich in einem turbulenten Plasma aus und beschleunigen die geladenen Teilchen im Plasma. Dies ist gewissermaßen ein 'Reiten auf der Schock-Welle'.
• Fermi-Beschleunigung zweiter Ordnung: Sind die Geschwindigkeiten nicht-relativistisch, so kann eine stochastische Beschleunigung einiger weniger Teilchen stattfinden, wenn sie durch ein turbulentes Plasma hindurch diffundieren.

extrem beschleunigte Teilchen aus dem All

In beiden Fällen wird makroskopisch kinetische Energie des Plasmas auf einige wenige (mikroskopische) Teilchen übertragen. Astrophysikalisch realisiert sind diese Szenarien vermutlich in internen Schocks im Jetplasma extragalaktischer Jets von AGN, in Feuerball-Schocks eines Gammastrahlenausbruchs, in stellaren Jets von Mikroquasaren oder in den kugelförmigen Schockwellen, die sich nach einer Supernova vom Typ II durch das interstellare Medium (ISM) ausbreiten (so genannte Blast-wave-Modelle, Sedov-Lösung).
Damit sind alle diese Objekte heiße Kandidaten für die Erzeugung von UHE-Protonen, die eine Komponente der kosmischen Strahlung darstellen. Aus diesen höchstenergetischen Protonen können sich schließlich über eine lange Reaktionskette UHE-Neutrinos mit Energien ab 1 TeV bilden. Solche höchstenergetischen Neutrinos (bzw. deren Sekundärprodukte) können mit den Neutrinodetektoren AMANDA und ICECUBE im Eis der Antarktis aufgefangen werden.

Der Begriff Fermionen leitet sich von dem italienischen Kernphysiker Enrico Fermi (1901 - 1954) ab. Fermionen heißen alle Teilchen mit halbzahligem Spin. Spin ist ein Freiheitsgrad der Teilchen (eine Quantenzahlen), der erst mit der relativistischen Quantenmechanik aufgekommen ist und anschaulich mit der Hilfsvorstellung verbunden wird, dass das Teilchen um die eigene Achse rotiert (Eigendrehimpuls). Letztendlich lag diese Vorstellung nahe, weil ebenso wie der klassisch bekannte Bahndrehimpuls der Spin (wie im Übrigen auch Isospin und schwacher Isospin) einer quantenmechanischen Drehimpuls-Algebra gehorchen. Die Anschaulichkeit geht jedoch sicherlich - wie in vielen Bereichen der Quantentheorie - verloren, wenn man sich die Wellenfunktion dieses Teilchens mit Spin vergegenwärtigt. Quanten sollte man sich nicht als rotierende Kügelchen vorstellen.

Konsequenzen für den Materieaufbau

Die Fermionen unterscheiden sich fundamental von den Teilchen mit ganzzahligem Spin, die die Physiker Bosonen nennen. Das so genannte Spin-Statistik-Theorem setzt diese Spineigenschaften in Bezug zur Quantenstatistik. Fermionen genügen der Fermi-Dirac-Statistik. Letztendlich sind diese Sachverhalte von grundlegender Wichtigkeit für den Aufbau der Materie.

Beispiele für Fermionen

Bekannte Fermionen mit Spin 1/2 sind das Elektron, die Quarks und die Nukleonen. Sie unterliegen alle dem Pauli-Prinzip. In der Astrophysik hat das Konsequenzen für den inneren Aufbau von kompakten Sternen, z.B. für Weiße Zwerge, Neutronensterne und Quarksterne (Stichwort: Entartungsdruck).

Fermionensterne (engl. fermion stars) sind kompakte Objekte, die nur aus Fermionen bestehen. Gelegentlich sprechen Astrophysiker auch von Fermionenbällen. Theoretische Astrophysiker interessieren sich für Fermionensterne, weil sie Alternativen zu normalen Sternen oder schweren kompakten Objekten darstellen. Gravitationsforscher wollen vor allem wissen, ob Fermionensterne insbesondere als Alternative zu Schwarzen Löchern in Frage kommen. Die astronomischen Beobachter versuchen Eigenschaften der kompakten Objekte wie Radius oder Masse zu bestimmen. Ein Vergleich mit dem Zoo der kompakten Objekte verrät ihnen dann, ob sie im vorliegenden Fall beispielsweise einen Weißen Zwerg, einen Neutronenstern, ein Schwarzes Loch, einen Bosonenstern oder einen Fermionenstern entdeckt haben.

stabilisierender Quantendruck

Es gibt einen fundamentalen Unterschied zwischen Bosonen und Fermionen - das ist die Kernaussage des Spin-Statistik-Theorems: Fermionen unterliegen dem Pauli-Prinzip. Es besagt, dass zwei Fermionen nicht denselben Zustand besetzen können (d.h. sie dürfen nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen). Genau dieser Sachverhalt stellt einen nur quantentheoretisch zu verstehenden Druck zur Verfügung - den Entartungsdruck. Dieser stabilisiert die Neutronensterne bis zu einer gewissen Massenobergrenze - die Neutronen im Innern des Neutronensterns sind ja Fermionen mit Spin 1/2.

Oppenheimer-Volkoff-Masse

Im klassischen und einfachsten Neutronensternmodell, in dem tatsächlich nur Neutronen betrachtet werden, die außerdem nicht miteinander wechselwirken, resultiert die so genannte Oppenheimer-Volkoff-Grenze. Sie besagt, dass solche stark vereinfachten Neutronensterne maximal 0.7 Sonnenmassen schwer und knapp 20 Kilometer im Durchmesser sein können. Kompliziertere Modelle, die in der Folgezeit entwickelt wurden und sicherlich näher an den Neutronensternen in der Natur liegen, erlauben deutlich schwerere Neutronensterne - bis maximal ungefähr drei Sonnenmassen. Einzelheiten zu diesem aktuell immer noch brisanten Forschungsgebiet werden im Eintrag Neutronenstern vorgestellt.

Sternexoten

Es ist in der theoretischen Astrophysik durchaus diskussionswert, das Oppenheimer-Volkoff-Modell zu verallgemeinern und zu fragen, ob beispielsweise Neutrinosterne ein plausibeles Sternmodell sind. Andere Möglichkeiten bei den Fermionensternen bieten die fermionischen, supersymmetrischen Partner, z.B. Neutralinos (Neutralinostern) oder Gravitinos (Gravitinostern). In erster Näherung sind Abschätzungen für Masse und Radius dieser exotischen Objekte mit dem Oppenheimer-Volkoff-Modell durchführbar.

Fermionenball in M87?

Setzen wir doch einmal das schwerste, beobachtete supermassereiche Schwarze Loch in M87 an. Dieses Superloch hat etwa drei Milliarden Sonnenmassen, die wir als Oppenheimer-Volkoff-Grenzmasse M_OV einsetzen (Gleichung zu finden unter Oppenheimer-Volkoff-Grenze). Für einen fermionischen Entartungsfaktor g = 2 finden wir eine notwendige Fermionenmasse von ca. 15 keV; bei g = 4 reduziert sie sich zu etwa 11 keV. Diese Masse schließt zumindest einen Neutrinostern aus, weil Neutrinos viel leichter sind (~ wenige eV).

Fermionenstern, Bosonenstern oder doch Schwarzes Loch?

Vergleicht man Fermionenbälle und Bosonenbälle, so scheinen mit den derzeit kursierenden Modellen, die Fermionenbälle durchaus konkurrenzfähig mit einigen Kandidaten für Schwarze Löcher zu sein, weil sie recht kompakt sein können. Allerdings ist es nicht möglich, die komplette Massenskala der kosmischen Schwarzen Löcher von 10 bis 10 Milliarden Sonnenmassen konsistent nur durch Fermionensterne zu erklären. Es scheint, als kommt die moderne Astrophysik auch in dieser Hinsicht nicht ohne klassische Schwarze Löcher aus.

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© Andreas Müller, August 2007

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