Astro-Lexikon K 7

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Die kosmologische Konstante, symbolisiert durch den griechischen Buchstaben Λ, wurde von Albert Einstein (1879 - 1955) als neue Größe in die Kosmologie im Jahr 1917 eingeführt. In den Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) tauchte daher ein neuer Term auf, der seither auch Λ-Term genannt wurde. Aus heutiger Sicht ist die kosmologische Konstante eine zeitlich unveränderliche Form Dunkler Energie (engl. dark energy).

Einsteins Motivation

In der Retrospektive ist es sehr erstaunlich, was Einstein zur Erfindung seiner kosmologischen Konstante getrieben hatte. Kurz gesagt war es Ästhetik. Einsteins Ziel war es ein statisches, homogenes Universum in eine konsistente Theorie einzubetten, was damals ein - und insbesondere sein - favorisiertes Weltmodell war. Ein dynamisches Universum, was wir heutzutage vermutlich als selbstverständlich erachten, kam den Menschen der damaligen Zeit nicht in den Sinn.

Blick auf die Feldgleichung mit Λ

Einsteins Feldgleichung ist ein komplizierter Satz gekoppelter, partieller Differentialgleichungen mit beliebig vielen Lösungen. Bis heute sind nicht alle Lösungen bekannt, weil das mathematisch bei einem solch schwierigen Gleichungstyp prinzipiell nicht möglich ist. Durch Annahmen z.B. über die Symmetrie oder allgemeiner gesprochen durch Randbedingungen kann man die Lösungsmenge verkleinern. Die Hinzunahme eines weiteren Terms, hier des kosmologischen Λ-Terms, verändert sich natürlich auch die Lösungsstruktur. Wie die Gestalt der Feldgleichung links zeigt, muss Λ mit dem metrischen Tensor multipliziert werden, damit Λ zu den Tensoren addiert werden kann. Physikalisch kann man diesen Term als langreichweitige Wechselwirkung interpretieren, die für positives Lambda als 'kosmische Abstoßung' (Antigravitation) und für negatives Lambda als 'kosmische Anziehung' interpretiert werden kann.

Die Natur meldet sich zu Wort

Kurz nach Einsteins Einführung der kosmologischen Konstante wurde durch den amerikanischen Astronomen Edwin Hubble (1889 - 1953) die kosmische Expansion anhand von Fluchtbewegungen einiger Galaxien experimentell entdeckt: das Hubble-Gesetz. Anders gesagt bedeutete das:

Das beobachte Universum ist nicht statisch.

Werk eines Genies oder eines Esels?

Andere kosmologische Modelle wurden gefunden, die dynamische Modell-Universen ohne kosmologische Konstante erklären konnten. Im Zuge dieser Entwicklungen nahm Einstein seine kosmologische Konstante zurück, weil sie nicht mehr notwendig erschien. Er ging sogar so weit die Einführung seines Λ-Terms als 'die größte Eselei seines Lebens' zu bezeichnen - ein verfrühtes Urteil, wie sich herausstellen sollte. So erkannte bereits der belgische Kosmologe Abbé Georges Lemaître (1894 - 1966), dass man den Λ-Term nicht ohne weiteres wegdiskutieren könne.
In der weiteren kosmologischen Forschung wurde vor allem auf der Grundlage immer besserer Beobachtungsdaten klar, das man nicht auf Einsteins Λ verzichten könne. Im Gegenteil: Im Jahr 1998 beobachteten die Kosmologen anhand weit entfernter Sternexplosionen, dass sich das Universum sogar beschleunigt ausdehnt (Perlmutter et al., Supernova Cosmology Project). Daher brauchten sie eine weitere Stellschraube in ihren Modellen vom Universum, um die theoretischen Modelle an die Beobachtungsdaten anpassen zu können. Einsteins Intuition war richtig.

Ist Λ konstant?

In den Friedmann-Weltmodellen werden daher Terme mit nicht verschwindender kosmologischer Konstante berücksichtigt. Kosmologische Messungen der letzten Jahre (Ballone BOOMERANG, MAXIMA; Mikrowellen-Satelliten COBE, WMAP, ab 2008: PLANCK) sprechen in der Tat für eine Lambda-Kosmologie. Auf Einsteins Λ möchten die Kosmologen ungern verzichten. Eine ganz andere Frage ist, ob der Zahlenwert, der mit Λ assoziiert ist, zu allen Zeiten gleich ist oder ob es einen Spielraum für Variationen gibt.
Die Theorie lässt diesen Spielraum zu: der Lambda-Term muss nicht notwendig konstant sein. Doch die aktuellen Beobachtungen der experimentellen Kosmologie lassen diesen Spielraum nicht zu - zumindest nicht in den letzten neun Millarden Jahren. Woher wissen das die Beobachter? Sie vermessen eine Vielzahl von hochrotverschobenen Supernovae vom Typ Ia mit dem Weltraumteleskop Hubble (Riess et al. 2004, astro-ph/0402512; bestätigt 2006). Diese Daten zeigen, dass Einstein mit seiner Intuition Recht hatte und tatsächlich eine kosmologische Konstante vorliegt, die zeitlich unveränderlich ist. Big Crunch und Big Rip erscheinen nach diesen Daten als sehr unwahrscheinliche Szenarien für die Zukunft des Universums.

Probleme mit Zufälligkeiten

Erstaunlich ist allerdings der Umstand, dass die kosmologische Konstante einen Wert aufweist, der gerade in derselben Größenordnung ist, wie die Anteile der anderen Materieformen im lokalen Universum, insbesondere der Dunklen Materie. Das kursiert in der Fachwelt unter dem Begriff Koinzidenzproblem. Einen Ausweg aus diesem Zufallsproblem haben die Kosmologen in Gestalt der Quintessenz-Modelle vorgeschlagen. Quintessenzen sind im Gegensatz zur kosmologischen Konstante eine zeitlich veränderliche Form von Dunkler Energie. Eine Kosmologie mit kosmologischer Konstante (ΛCDM) unterscheidet sich von einer mit Quintessenz (QCDM) dadurch, dass die kosmologische Konstante als eine konstante Vakuumenergiedichte interpretiert wird, wohingegen die Quintessenz ein skalares, sehr leichtes Teilchen ist. Es wurden bei den Quintessenz-Modellen wiederum ganz verschiedene Formen vorgeschlagen: sie heißen beispielsweise Cosmon, Radion oder Spintessenz, die eine langsame, zeitliche Veränderlichkeit der Dunklen Energie bewirken. Die extremste Form ist die Phantom-Energie, die einen totalen Zerriss des Universums, den Big Rip, herbeiführt.

Herausforderungen an Beobachtung und Theorie

Die aktuellen Messungen des Mikrowellen-Satelliten WMAP und des Weltraumteleskops Hubble sprechen eher für die kosmologische Konstante als für die Quintessenz oder Phantom-Energie. Die Kosmologen wollen natürlich noch tiefer in den Kosmos schauen, noch weiter entfernte Sternexplosionen aufspüren, um eine noch bessere Datenlage zu haben. Dazu dienen auch Tiefenfeldbeobachtungen (engl. deep fields) und neue Projekte wie die Dark Energy Task Force. In der Zukunft der kosmologischen Beobachtungen könnten sich auch Gamma Ray Bursts, Gravitationswellen und Neutrinos als wertvolle Werkzeuge erweisen.
Neben diesen experimentellen Herausforderungen muss aber vor allem auf theoretischer Seite quantitativ schlüssig geklärt werden, was die kosmologische Konstante für eine physikalische Natur hat. Denn die oben erwähnte Vakuuminterpretation klingt zwar plausibel, hat aber auch klare Schwächen.

Λ in anderen Bereichen der Astrophysik

Die kosmologische Konstante hat nicht nur Einzug in die Kosmologie gehalten. Eine anderer Anwendungsbereich für Λ-Fluide - wie man in der ART den Λ-Term verallgemeinert nennt - sind kompakte Objekte wie die Gravasterne. Bei dieser Form von Vakuumstern existiert im Innern eine Blase aus Dunkler Energie, die im Wesentlichen die Masse des Sterns stellt. Damit rückt die die Dunkle Energie aus vielerlei Hinsichten in den Fokus der Astrophysiker.

Das kosmologische Prinzip (engl. cosmological principle, kurz CP) besagt, dass auf einer großen Längenskala, die vergleichbar ist mit der Größe des Universums, kein Ort im Kosmos gegenüber einem anderen ausgezeichnet ist. Es verallgemeinert im Kern das Kopernikanische Prinzip, das das geozentrische durch das heliozentrische Weltbild ablöste. Universen, die das kosmologische Prinzip erfüllen, nennt man CP-Universen.

Isotropie

Mit anderen Worten formuliert, sagt das kosmologische Prinzip aus, dass der Kosmos auf großen Skalen in allen Richtungen gleich ausschaut. In der Wissenschaft nennt man diese Eigenschaft Isotropie.

Homogenität

Daraus folgt unmittelbar eine zweite Eigenschaft des Universums, nämlich die Gleichartigkeit oder Einheitlichkeit, d.h. dass die Materie im Kosmos relativ gleichmäßig verteilt ist. Auch dafür gibt es einen Fachbegriff, nämlich Homogenität.

Auf welcher Längenskala?

Das kosmologische Prinzip sagt uns also, dass das Universum isotrop und homogen ist. Wenn wir uns allerdings im nahen Kosmos umschauen, so ist das mitnichten der Fall: Hier treten Unregelmäßigkeiten auf, denn es gibt einen Wechsel von 'Massenverdichtungen' - die Sonne, um die die Planeten kreisen - und von 'Leere', denn der interplanetare Raum dazwischen ist mehr oder weniger ein Vakuum. Offensichtlich ist die hier betrachtete Längenskala von einigen Astronomischen Einheiten) zu klein.
Erhöhen wir die Skala weiter, zu einigen Parsec, so begegnen wir den Sternen in der Milchstraße - noch immer ist die Skala zu klein, weil sich Orte mit Sternen mit sternlosen Gebieten abwechseln. Das ändert sich auch nicht, wenn wir auf eine Skala bis einige zehntausend Parsec gehen - das ist gerade in etwa der Durchmesser der Milchstraße (~ 100000 Lichtjahre).
Bei einer Skala von einigen hunderttausend bis Millionen Parsec nähern wir uns der Skala unseres lokalen Galaxienhaufens (der Lokalen Gruppe) und nahen Galaxienhaufen wie dem Virgo-Haufen. Auch dann ist noch keine Isotropie zu beobachten.
Erst bei entfernten Galaxien ist näherungsweise Isotropie gegeben, etwa bei einigen hundert Millionen bis Milliarden Parsec.

Isotrope Hintergrundstrahlung

Eine (fast) perfekte Isotropie weist die kosmische Hintergrundstrahlung auf. Um das veranschaulichen, stelle man sich einen perfekten, blauen Himmel bei schönstem, irdischen Wetter vor. Die Hintergrundstrahlung weist einen noch höheren Grad an Isotropie auf, als der perfekt blaue Himmel!
Die Isotropie schlägt sich darin nieder, dass man dem Spektrum der Hintergrundstrahlung dasjenige von Wärmestrahlung zuweisen kann. Die Beobachtungsdaten passen in idealer Weise zu einer solchen Planck-Kurve mit 2.72 Kelvin.
Dennoch wurden winzige Unregelmäßigkeiten (Anisotropien) in der Hintergrundstrahlung entdeckt, die ausgedrückt in der Temperatur im Bereich von Mikrokelvin liegen. Für diese 1989/90 gemachte Entdeckung gab es den Nobelpreis für Physik 2006.
Die Hintergrundstrahlung kommt aus den frühen Phasen des Universums (der Rekombinationsära), als es noch keine Sterne gab. Der Kosmos war erst knapp 400000 Jahre alt und auch deutlich kleiner.

Die perfekte Version

Das perfekte kosmologische Prinzip besagt, dass das Universum in Raum und Zeit unveränderlich (statisch) sei. Dieser Ansatz führt auf Modell-Universen wie das statische Universum oder das Steady-State-Modell. Beide Modelle weichen deutlich von den dynamischen, d.h. sich zeitlich entwickelnden Friedmann-Modellen ab. Die experimentelle Kosmologie lässt zurzeit nur den Schluss zu, dass wir in einem expandierenden Friedmann-Universum leben, das durch die Wirkung der Dunklen Energie ewig expandieren wird.

Die kovariante Ableitung ist eine der wesentlichen Differentialoperationen, die man auf Tensoren in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) anwendet. Daneben gibt es die partielle Ableitung, absolute Ableitung und die Lie-Ableitung.
Die kovariante Ableitung weist in ihrer Grunddefinition Ähnlichkeiten zum Differenzen- bzw. Differentialquotienten der Analysis einer Veränderlichen auf. Anschaulich kann die kovariante Ableitung als ein Vergleich zweier parallel transportierter Tensoren verstanden werden.
Ihren Namenszusatz kovariant verdankt sie der Tatsache, dass ein Tensor vom Typus (i,j) eine weitere kovariante Stufe erhält und so zum Typus (i, j+1) wird.
Allgemein und etwas salopp gesprochen ist die kovariante Ableitung eines Tensors beliebiger Stufe eine Summe aus dessen partieller Ableitung plus einer Anzahl weiterer Terme, deren Anzahl der Stufenhöhe entspricht, die mit dem Christoffel-Symbol gewichtet sind. Dabei haben diese Terme positives Vorzeichen, wenn sie sich auf einen kontravarianten Index des Tensors beziehen und bei den kovarianten Indizes ein negatives Vorzeichen.
Die kovariante Ableitung eines Tensors 0. Stufe, eines Skalars, geht in seine partielle Ableitung über (kein weiterer Term mit Christoffel-Symbol), die kovarianten Ableitungen von Vektoren (Tensoren 1. Stufe) enthalten neben der partiellen Ableitung einen Term mit Christoffel-Symbol.
Die üblichen Schreibweisen für die kovariante Ableitung sind die mit Nabla-Operator ∇, der als Index die Koordinate hat, nach der abgeleitet wird oder mit Semikolon und angefügtem Ableitungsindex.
Ein gemischter Tensor zweiter Stufe (ein Index kovariant, ein Index kontravariant) wird folgendermaßen kovariant abgeleitet:

Die Gleichungen der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) enthalten vielfach partielle Ableitungen. In der Regel kann man formal den Übergang zur ART vollziehen, indem man die partiellen durch kovariante Ableitungen ersetzt. Anhand der Definition der kovarianten Ableitung (siehe oben) wird klar, warum das so ist: die kovariante Ableitung enthält neben der partiellen Ableitung (erster Term) einen weiteren Term, der von den Christoffel-Symbolen ('Ableitungen der Metrik') abhängt. In der SRT, die auf einer flachen Raumzeit, der Minkowski-Metrik, basiert, verschwinden gerade diese Christoffel-Symbole, denn die Ableitung einer Konstante ist null.

Das Kovarianzprinzip ist eines der wesentlichen Prinzipien, das Albert Einstein zu seiner Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) anregte. Daneben sind das Äquivalenzprinzip, das Machsche Prinzip, das Korrespondenzprinzip und das Prinzip minimaler gravitativer Kopplung zu nennen.

Beobachter, Bezugssystem, Koordinaten

Die Gesetze der Physik werden durch Beobachter beschrieben und durch Beobachtung gefunden. Mit dem Beobachter ist untrennbar sein Bezugssystem verbunden. Dieses kann mit verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben werden. Als einfaches Beispiel möge eine halbkugelförmige Schale dienen, in der eine Metallkugel auf den Boden hinabrollt. Diese Anordnung kann man mit kartesischen Koordinaten (x,y,z) beschreiben, zum Beispiel könnte man auf dem Boden der Schale den Nullpunkt fixieren und die z-Achse entlang der Achse legen, die senkrecht die Ebene des kreisförmigen Randes der Schale schneidet und auch durch den Nullpunkt verläuft. Die Wahl dieses Koordinatensystems wäre allerdings nicht besonders klug, weil es nicht der Symmetrie des Problems angepasst ist. Viel besser geeignet wären Kugelkoordinaten: der Ursprung wäre das Zentrum der Halbkugel. Dann parametrisieren zwei Winkel, Azimut und Poloidalwinkel, einen Punkt auf der Schale und der Radius bliebe immer konstant. Der Vorteil liegt auf der Hand: während bei kartesischen Koordinaten drei variable Koordinaten die Bewegung auf der Schalenfläche beschreiben, reichen bei Kugelkoordinaten zwei Winkel aus, weil der Radius bei der ganzen Bewegung konstant bleibt. Diese Eigenschaft erleichtert die mathematische Beschreibung enorm, weil die Gleichungen deutlich einfacher werden. Analog ist die Volumenberechnung (Dreifachintegral) einer Kugel wesentlich einfacher in Kugelkoordinaten als in kartesischen durchzuführen.

Physik ist unabhängig von Koordinaten

Weil nun die Wahl irgendeines Koordinatensystems unumgänglich ist, um physikalische Gesetze zu beschreiben, dürfen die Gesetze jedoch nicht von dieser Wahl abhängen. An die Gleichungen einer übergeordneten Theorie, wie der ART, muss also die Forderung der Koordinatenunabhängigkeit gestellt werden. Es stellte sich heraus, dass die Tensoren diejenigen mathematischen Gebilde sind, die dieser Forderung gerecht werden. Warum? Dies zeigt sich an den Transformationsgesetzen der Tensoren: Stimmen zwei Tensoren in einem bestimmten Koordinatensystem überein, so bedingen die Transformationsgesetze, dass die Tensoren dann auch in jedem beliebigen anderen Koordinatensystem übereinstimmen! Das Prinzip der allgemeinen Kovarianz lautet daher verkürzt:

Physikalische Gleichungen sind tensoriell.

Ein Kreisbeschleuniger oder Zyklotron ist ein Teilchenbeschleuniger mit kreisförmiger Beschleunigungsstrecke. Diese Beschleunigerarchitektur löste historisch gesehen die Linearbeschleuniger (LINACs) ab.

Vorteil

Es ist wesentlich effizienter die Teilchenstrahlen auf kreisförmigen Bahnen mehrfach durch den Beschleuniger zu führen.

...und Nachteil

Die ständige Richtungsänderung des Teilchenstrahls bringt den Nachteil mit sich, dass Zentrifugalkräfte wirken, die den Strahl aus seiner Sollbahn lenken. Diese Kräfte gleicht man mit Lorentz-Kräften von magnetischen Führungsfeldern aus. Weil die Geschwindigkeiten und entsprechend die Zentrifugalkräfte mit jedem Umlauf wachsen, müssen die Magnetfelder entsprechend stärker werden, um die Teilchenstrahlen auf ihrer Sollbahn zu halten.

Das Lawrence-Zyklotron

Im Lawrence-Zyklotron (1932) bilden zwei D-förmige Metallgehäuse (Duanten) eine Kreisscheibe, die entlang ihres Durchmessers eine Lücke aufweist. Im Mittelpunkt der Kreisscheibe befindet sich die Ionenquelle, aus der Teilchen auf Spiralbahnen die Duanten durchlaufen und schließlich tangential austreten. Gleichsetzen von Lorentz-Kraft und Zentrifugalkraft führt auf eine Bedingung für die Umlauffrequenz, die in Zyklotrons konstant ist.

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© Andreas Müller, August 2007

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