Die Allgemeine Relativitätstheorie, kurz ART (engl. General Relativity, GR), ist eine Theorie der Gravitation, die die klassische Theorie des englischen Physikers und Mathematikers Isaac Newton (1643 - 1727) ablöste. Die ART bietet völlig neue Einsichten in die Natur der Schwerkraft und muss deshalb als revolutionär eingestuft werden: Quantentheorie und Relativitätstheorie sind die bedeutendsten physikalischen Theorien des 20. Jahrhunderts, und ihre Bedeutung ist bis heute für die moderne Physik zentral!

Neudefinition elementarer Begriffe & Grundaussagen der ART

Beide Theorien haben das naturwissenschaftliche Weltbild entscheidend modifiziert und geprägt: unsere Vorstellungen von Raum, Zeit, Materie und Energie wurden neu definiert. Die wesentliche Aussage der ART ist, dass jede Form von Energie (auch Materie) die Raumzeit krümmt. Die Raumzeit ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, die sich aus den drei Raumdimensionen (Länge, Breite, Höhe) und der Zeitdimension zusammensetzt. Dieses geometrische Gebilde wird durch die Metrik bzw. das Linienelement eindeutig festgelegt. Seine morphologischen Eigenschaften werden durch Energie und Materie verändert. Die Raumzeit ist vierdimensional; vereinfachend kann man sie sich in zwei Dimensionen wie eine dünne, dehnbare Haut vorstellen, die durch darauf befindliche Massen Dellen bekommt ('Gummimatten-Modell'). Ohne Massen hat die Haut keine Dellen, sie ist eben. Solche Raumzeiten heißen flach. Ein Testkörper, der nun auf eine durch Massen eingedellte Haut gelegt wird, muss unweigerlich der Krümmung folgen. Deshalb bewegt sich der Testkörper in einer gekrümmten Raumzeit oder anders gesagt: er fällt im freien Fall. Die Bewegungslinien heißen Geodäten und sind verschiedenen, je nachdem, ob der Testkörper eine Ruhemasse hat (Materie) oder nicht (Licht). Diese geometrische Interpretation der Gravitation löste somit den Kraftbegriff Newtons ab.

Albert Einstein - Pop-Ikone der Physik

Die Relativitätstheorie geht auf den deutschstämmigen Physiker Albert Einstein (1879 - 1955) zurück. Er entwickelte zunächst die Spezielle Relativitätstheorie (SRT), die er 1905 veröffentlichte. Dies ist eine Theorie der gegeneinander gleichförmig geradlinig bewegten Bezugssysteme (Inertialsysteme), die bereits das Kontinuum von Raum und Zeit offen legte (siehe z.B. Lorentz-Transformation). Die zentralen Aspekte der SRT sind die Äquivalenz von Masse und Energie (E = mc2) und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c in allen Inertialsystemen. Einstein postulierte diese Konstanz und folgerte erstaunliche Effekte auf Raum und Zeit, wie die Längen-Kontraktion und Zeitdilatation, die tatsächlich experimentell bestätigt werden konnten.
In den darauf folgenden Jahren, von 1907 bis 1915, verallgemeinerte Einstein die Gleichförmigkeit der Bewegung auf Beschleunigungen. Dieser Ansatz mündete in eine neue Theorie der Gravitation, der Allgemeinen Relativitätstheorie, die er 1916 veröffentlichte. Allgemein ist sie in dem Sinne, weil die Relativbewegungen zwischen den Bezugsystemen verallgemeinert wurden und beliebig sein können. Die SRT hingegen gilt nur für ganz bestimmte Relativbewegungen, nämlich gleichförmig geradlinige; in diesem Sinne ist sie speziell.
Eine wesentliche Basis der Relativitätstheorie ist das Relativitätsprinzip. Danach sind alle zueinander gleichförmig geradlinig bewegten Bezugssysteme völlig gleichberechtigt. Identische physikalische Experimente, die man in relativ zueinander gleichförmig bewegten Systemen durchführt, liefern gleiche Ergebnisse. Insbesondere sind relativ in Ruhe befindliche Systeme ununterscheidbar von gleichförmig geradlinig bewegten Systemen. Das Relativitätsprinzip wurde in der ART auf beschleunigte Systeme verallgemeinert. Dann heißt es Äquivalenzprinzip und besagt, dass es prinzipiell nicht möglich ist, träge von schwerer Masse zu unterscheiden. Das bedeutet, dass man nicht entscheiden kann, ob eine Masse durch eine konstante Kraft beschleunigt wird oder in einem Gravitationsfeld frei fällt. Außerdem gilt nach dem Prinzip der allgemeinen Relativität, dass alle Beobachter gleichberechtigt sind.

Anspruchsvolle Mathematik der ART

Mathematisch bedient sich die ART den Tensoren, die die bündige Vektorschreibweise Newtons ablöste und weiter verallgemeinerte. Sie sind auf geometrischen Gebilden, den Mannigfaltigkeiten, definiert und können physikalisch interpretiert werden (siehe dazu die Tensoren im Glossar). Die Tensoren sind eingebettet in den Formalismus der Differentialgeometrie. Nach dem Prinzip der allgemeinen Kovarianz sollten alle Gleichungen der Physik tensorielle Form haben. Neben diesen Prinzipien leiteten Einstein auch das Korrespondenzprinzip, das Machsche Prinzip und das Prinzip der minimalen gravitativen Kopplung. Die Allgemeine Relativitätstheorie wird zu recht Albert Einstein zugesprochen, aber man muss vielen anderen Physikern und Mathematikern zugute halten, das ihr Denken Einstein nachhaltig beeinflusste. Die Tensoren als zwingende Objekte der ART, die erst einen koordinatenunabhängigen Zugang möglich machten, waren bereits von den Mathematikern gefunden worden. Philosophische Aspekte von Bewegung und Trägheit, die in die ART mündeten, wurden bereits vom österreichischen Physiker Ernst Mach (1838 - 1916) vorweggenommen. Insofern war die Zeit auch reif für eine Allgemeine Relativitätstheorie.

Die Feldgleichung der Gravitation

Die wichtigsten Tensoren der ART sind der Einstein-Tensor, der die Information über die gekrümmte Raumzeit enthält, und der Energie-Impuls-Tensor, der die physikalische Information über die Energieformen (wie auch Materie) enthält. Beide Tensoren werden in den fundamentalen Einsteinschen Feldgleichungen der ART miteinander verknüpft. Der physikalische Gehalt dieser Verknüpfung ist, dass einerseits jede Energie die Metrik krümmt und andererseits die Metrik dasjenige geometrische Gebilde festlegt, auf dem die Energie lokalisiert ist. Lakonisch formuliert: 'Die Geometrie sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll, und die Materie diktiert der Geometrie wie sie sich zu krümmen hat.'.

Die Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie in tensorieller Form

Die Feldgleichungen haben tensoriell eine sehr einfache Gestalt, wie die Gleichung oben zeigt (hier ohne Λ-Term). Die kompakte Notation ist auch gerechtfertigt, weil sie das Wesen der Symbiose aus gekrümmter Raumzeit und Energie enthüllt. Doch die so scheinbare, mathematische Einfachheit täuscht: die Feldgleichungen der ART sind an sich 16 Gleichungen, von denen sechs aufgrund der Symmetrie der Tensoren nicht betrachtet werden müssen. Einstein-Tensor und Energie-Impuls-Tensor sind Tensoren zweiter Stufe. Jeden von ihnen kann man als 4 × 4 - Matrix darstellen. Die Tensorsymmetrie reduziert die daraus resultierenden 4 × 4 = 16 Gleichungen auf nur 10 Gleichungen. Die verbleibenden zehn Gleichungen sind miteinander gekoppelt. Zudem sind die Gleichungen partielle Differentialgleichungen, die auch noch nicht-linear sind. Die Nichtlinearität der Gleichungen ist ein Ausdruck der oben dargelegten rückseitigen Wechselbeziehung von Raumzeit und Energie. Die Kopplungskonstante der Einsteinschen Feldgleichungen (siehe Gleichung oben, Zahlenwert von 8π) kann man aus einem Korrespondenzprinzip ableiten: im Grenzfall schwacher Gravitationsfelder und kleiner Geschwindigkeiten gegenüber der Vakuumlichtgeschwindigkeit c muss die ART in die Newtonsche Theorie übergehen. Die Kopplungskonstante folgt dann aus einem Vergleich von Einsteinschen Feldgleichungen und Poisson-Gleichung. Für den Gleichungstypus, wie ihn die Feldgleichungen der ART zeigt, bietet die Mathematik keinerlei Patentrezepte, um die allgemeine Lösung zu notieren. Die Gleichungen werden deshalb vereinfacht und man betrachtet verschiedene Sektoren der Feldgleichungen. Mal setzt man den Energie-Impuls-Tensor null und betrachtet nur Vakuumlösungen, mal setzt man bestimmte Symmetrien der Lösungen (Kugel- oder Achsensymmetrie) voraus, mal betrachtet man nur Raumzeiten konstanter Krümmung - aber auch dann findet man nur spezielle Lösungen. Die Allgemeine Relativitätstheorie birgt sicher noch viele gekrümmte Mannigfaltigkeiten, die in der Natur vorkommen, die aber bis heute niemand kennt.
Die Einsteinschen Feldgleichungen sind also ein kompliziertes System aus zehn partiellen, nichtlinearen, gekoppelten Differentialgleichungen. Um so erstaunlicher war es, dass bereits ein Jahr nach der Publikation der ART, im Jahr 1916, der deutsche Astrophysiker Karl Schwarzschild eine erste Lösung fand. Die nach ihm benannte (äußere) Schwarzschild-Metrik löst die Vakuumfeldgleichungen. Sie beschreibt kugelsymmetrische Raumzeiten von relativistischen Sternen und insbesondere nicht rotierende, elektrisch ungeladene Schwarze Löcher.

Konsequenzen der ART

  • Relativität von Zeit und Länge, wie schon von der Speziellen Relativitätstheorie antizipiert. Der Ablauf der Zeit hängt ganz allgemein in der Relativitätstheorie vom Bezugssystem ab. Insbesondere folgt in der ART eine Dehnung der Zeit bei Anwesenheit von Gravitationsfeldern. Zeit verrinnt langsamer in der Nähe von Massen, also stärkeren Gravitationsfeldern. Diese Dehnung der Zeit heißt gravitative Zeitdilatation.
  • Energieverlust von Strahlung im Gravitationsfeld. Die Strahlung muss Arbeit gegen das Gravitationsfeld verrichten und verliert deshalb Strahlungsenergie. Weil rote Strahlung energieärmer als blaue ist und die Ursache des Energieverlusts die Gravitation ist, heißt dieser Effekt gravitative Rotverschiebung oder Gravitationsrotverschiebung. Dies entspricht vom Effekt her prinzipiell der gravitativen Zeitdilatation, wenn man von der Frequenz- in die Zeitdarstellung geht.
  • Ablenkung von Strahlung im Gravitationsfeld. Dieses Phänomen heißt Gravitationslinseneffekt bzw. Gravitationsaberration (engl. gravitational lensing).
  • relativistische Verallgemeinerung der Binetschen Gleichung. Die ART liefert den korrekten und beobachteten Zahlenwert für die Periheldrehung des innersten Planeten Merkur. Periheldrehung bezeichnet die Drehung der Apsidenlinie, also der Verbindungslinie von sonnennächsten Punkt (Perihel) mit dem sonnenfernsten Punkt (Aphel) der Merkurbahn, im Raum. Die Ellipse der Merkurbahn ist also nicht geschlossen, sondern dreht sich im Raum, so dass eine Rosettenform der Bahnbewegung rotiert. Die Ursache dieses Phänomens ist die gravitative Wechselwirkung des Merkurs mit der schweren Sonne. Die Periheldrehung gibt es auch in der Newtonschen Gravitationsphysik, aber nur die ART erklärt den exakten, gemessenen Betrag. Die Periheldrehung ist nur bei Merkur von Belang, weil er der Sonne am nächsten steht und damit der beste Indikator für relativistische Gravitation ist.
  • Emission von Gravitationswellen von beschleunigten Massen. Auf diese Weise breiten sich Veränderungen des Gravitationsfeldes/von Krümmungen in der Raumzeit mit Lichtgeschwindigkeit aus. Gravitationswellen wurden bisher nicht direkt beobachtet.

Vielfache experimentelle Bestätigungen

Alle diese Phänomene wurden experimentell verifiziert und gelten als glänzende Bestätigungen der ART. Erste experimentelle Erfolge konnte die ART bereits 1919 bei einer Sonnenfinsternis in Afrika erzielen, weil sie richtig die Lichtablenkung an der Sonne prognostizierte. Ebenfalls konnte die Periheldrehung des Merkur korrekt berechnet werden. Die beobachtete Diskrepanz von etwa 43 Bogensekunden pro Jahrhundert für die Verschiebung der elliptischen Planetenbahn wurde durch die ART bestens erklärt. 1993 wurde die indirekte Bestätigung der Emission von Gravitationswellen bei dem Binärpulsar PSR 1913+16 mit dem Nobelpreis prämiert: Hulse und Taylor konnten experimentell nachweisen, dass sich die Pulsare sukzessiv annähern, weil das Doppelsternsystem Rotationsenergie durch die Abstrahlung von Gravitationswellen verliert.

Einsteins Kosmos

Kosmologisch hat die ART eine Relevanz, weil sie als erste physikalische Theorie des Weltalls anzusehen ist. Die Welt ist danach vierdimensional und lokal im Allgemeinen nicht Euklidisch. Ob das Universum global Euklidisch oder nicht ist, hängt davon ab, welches Friedmann-Weltmodell vorliegt. Diese Frage ist nach wie vor Gegenstand der modernen Kosmologie. So muss der genaue Energiegehalt des Universums gemessen werden (siehe auch Missing-Mass Problem). Aktuell wird ein unendliches, offenes, expandierendes und flaches Universum indiziert und favorisiert (Messungen von Ballonexperimenten und des Mikrowellen-Satelliten WMAP). Dessen Dynamik wird von der Dunklen Energie dominiert, die neben baryonischer Materie und Dunkler Materie die gewichtigste Energieform stellt. Mathematisch beschreibt man dieses vierdimensionale Universum global mit der Robertson-Walker-Metrik. Der Materieinhalt wird mit einer relativistischen, idealen Flüssigkeit beschrieben. Die Dunkle Energie wird im kosmologischen Lambda-Term in den Feldgleichungen realisiert. Es wird in der modernen Kosmologie in Erwägung gezogen, dass die kosmologische Konstante nicht konstant ist, sondern zeitlich variieren kann. Diese Modelle heißen Quintessenzen. Die Lambda-Kosmologie und die Suche nach einer Weltformel gehörten zu Einsteins letzten Arbeiten. Einstein rechtfertigte sein Lambda damit, dass es ein seinerzeit favorisiertes Statisches Universum ermögliche. Als jedoch das expandierende Universum beobachtet wurde (Hubble-Effekt), zog Einstein sein Lambda zurück und bezeichnete es als 'die größte Eselei seines Lebens'. Moderne kosmologische Modelle benötigen ihn, weil er ein wichtiger Parameter ist, um Beobachtungen erklären zu können. Anschaulich wird das Lambda-Glied so interpretiert, dass bereits das Quantenvakuum eine Energie zur Verfügung stellt (Vakuumpolarisationen), die die Raumzeit krümmt. Diese Interpretation ist jedoch noch nicht gefestigt und wird im Rahmen der Quintessenz untersucht.

Extreme der Gravitation: kompakte Sterne

Die ART liefert eine mathematische Beschreibung für Schwarze Löcher, die in diesem Zusammenhang eine Lösung der Vakuum-Feldgleichungen bzw. Einstein-Maxwell Feldgleichungen darstellen. Die Gravitationsfelder dieser Kompakten Objekte sind so stark, dass die Newtonsche Theorie versagt. Andere Kompakte Objekte, wie Neutronensterne, Magnetare, Quarksterne und Gravasterne sind ebenfalls nur mit der ART korrekt zu beschreiben. Die relativistischen Korrekturen bei Weißen Zwergen sind hingegen marginal: Hier verwenden Astrophysiker häufig noch die Newtonsche Theorie, um die die Strukturgleichungen (Lane-Emden-Gleichung) des kompakten Sterns abzuleiten. Aber die Stabilität des Weißen Zwergs ist nur relativistisch erklärbar. Nun ist relativistisch aber im Sinne der speziell relativistischen Quantenmechanik (und nicht der Allgemeinen Relativitätstheorie) zu verstehen. Denn: der Spin der Elektronen, einer wesentlichen Teilchenspezies im Innern Weißer Zwerge (neben Kohlenstoff), sorgt für den stabilisierenden Entartungsdruck.

Über die Grenzen von Einsteins größtem Wurf

Die ART ist eine klassische Theorie, klassisch nun im Sinne von nicht quantisiert zu verstehen, weil Quanteneigenschaften, wie Orts-Impuls-Unschärfe oder das Quantenvakuum nicht eingehen. Es gibt Bereiche der Natur bzw. der Physik, wo auch die ART versagt. Man kann den Parameterraum, wo dies geschieht mit starken Gravitationsfeldern in Verbindung mit sehr kleinen, atomaren und subatomaren Raumskalen umreißen. Das führt auf die Planck-Skala.
Auch das Auftreten von Singularitäten könnte als Indiz gewertet werden, dass die Theorie modifiziert oder durch eine übergeordnete Theorie, einer Quantengravitation, ersetzt werden muss. Gemäß der Singularitätentheoreme von Hawking und Penrose sind Singularitäten etwas 'Natürliches' und unabhängig von der ART. Das Beispiel der Gravasterne zeigt jedoch, dass man zumindest die Singularität des Schwarzschild-Loches durch eine reguläre Alternative ersetzen kann. Regularität ist für viele Physiker außerordentlich attraktiv. In diesem Sinne ist die Singularitäten-Frage noch nicht geklärt und muss durch experimentelle und theoretische Forschung weiter erörtert werden. Dies könnte so ausgestaltet sein, dass es Astronomen gelänge, Singularitäten oder Gravasterne tatsächlich zu bestätigen oder dass Theoretikern die Formulierung einer robusten Quantengravitation glückt. Lange Zeit wurden die Stringtheorien als einziger Weg zur Quantengravitation angesehen. Die aktuelle Forschung hat in Form der Loop-Quantengravitation eine weitere Alternative gefunden. Die Loop-Quantengravitation kann als direkte Weiterentwicklung der Allgemeinen Relativitätstheorie angesehen werden, die den Konzepten der Quantenmechanik versucht gerecht zu werden. In der Beschreibung der Natur hat sich bisher weder die Stringtheorie, noch die Loop-Quantengravitation bewährt. Die Entwicklung von Bewährungsproben hat bereits begonnen und wird sicherlich in den nächsten Jahren verstärkt verfolgt werden.

Kein Platz für Zweifler

Eines ist jedoch klar: Behauptungen, wie 'Die Relativitätstheorie ist falsch!' oder 'Einstein irrte!' sind von der Hand zu weisen, unseriös und absolut anachronistisch. Die ART wurde durch viele Experimente bestens verifiziert und ist eine (im Popperschen Sinne der Wissenschaftstheorie) bewährte Theorie. Wie bei der Newtonschen Theorie bzw. generell bei physikalischen Theorien, gibt es auch bei der ART einen Gültigkeitsrahmen, der bei bestimmten Parametern (starke Felder, kleine Raumskalen) in ein Versagen der Theorie mündet. Das Versagen wird durch divergierende Größen, wie Krümmung oder Dichte, und womöglich schon durch das Auftreten von Singularitäten signalisiert. Jede der ART übergeordnete Theorie muss aber die Allgemeine Relativität als Grenzfall enthalten, ebenso wie die ART die Newtonsche Theorie enthält. Deshalb wird auch nach dem Auffinden einer robusten Quantengravitation die ART ihre Daseinsberechtigung behalten!

Lesehinweis zur Vertiefung

Außerhalb des Lexikons finden Sie einen ausführlichen Artikel zu wichtigen Objekten der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Astrophysik: Schwarze Löcher - Das dunkelste Geheimnis der Gravitation.