Mirzakhanis mathematisches Wirken begann mit einer Fragestellung, die sich aus dem berühmten Vierfarbenproblem herleiten lässt: Ist es möglich, mit nur vier Farben alle Länder einer beliebigen Landkarte so einzufärben, dass nirgends zwei gleichfarbige Länder ein Stück gemeinsame Grenze haben? Dabei ist unter "einem Stück Grenze" mehr als nur ein Punkt zu verstehen.

Der erste Schritt zur Lösung des Problems besteht in einer Umformulierung. Man ersetzt jedes Land durch einen einzigen Punkt (einen "Knoten") und verbindet zwei Knoten durch eine Linie (eine "Kante") genau dann, wenn die beiden Länder aneinandergrenzen. Damit hat man die Landkarte in einen so genannten Graphen verwandelt.

Graphentheorie ist ein sehr ergiebiges Teilgebiet der Mathematik, weil einerseits ihre Gegenstände sehr abstrakt sind und damit eine Fülle von Aussagen erlauben: Kanten und Knoten haben zunächst überhaupt keine Eigenschaften, außer dass die einen die anderen miteinander verbinden. Andererseits ist es bei vielen Anwendungen sinnvoll, von den Eigenschaften der Gegenstände (zum Beispiel ganzer Länder) abzusehen und sich nur auf deren Verbindungen zu konzentrieren. ...