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Meiner Meinung nach optimiert Herr Basu die falsche Funktion. Er versucht, so wie ich das sehe, implizit die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, dass Spieler A mehr Geld als Spieler B ausgezahlt bekommt.
Die eigentliche Fragestellung ist doch aber die Maximierung des Gewinnes. Die Funktion die maximiert werden soll lautet eigentlich:
GewinnA = minimum( a, b ) + w
wobei a und b die von Spieler A bzw. B gewählten Werte sind und w eine kleine Störung (von der Größenordnung 1 Euro) ist. (Die Funktion "minimum" nimmt den Wert der kleineren der beiden Größen a und b an. )
Nachdem Spieler A nur den Wert a optimieren kann, wird er offensichtlich den höchstmöglichen (=100) wählen. Erst in einem zweiten Schritt wird er sich über den Einfluss der kleinen Störung w Gedanken machen.
Für mich ganz und gar nicht überraschend schaut die Sachlage dann natürlich vollkommen anders aus, wenn w keine kleine Störung mehr ist, sondern in der Größenordnung von a und b liegt.
Wir können nun die beiden Extrema von w betrachten. Das eine Extrem ist w=0; hier werden beide Spieler offensichtlich den höchstmöglichen Wert 100 wählen. Wenn andererseits der Spieler mit dem kleineren Wert alles bekommt, werden, vermute ich, beide Spieler Richtung Nash-Gleichgewicht a=b=2 tendieren.
Im Gegensatz zum Autor des Artikels würde ich die Entscheidungen "der Leute" in dieser Art von Spiel sehr wohl als rational einstufen.
Ich stimme mit Ihrem vorletzten Absatz nicht überein:
Es ist gerade die im Originalartikal angewandte Methode der Schlussfolgerung, die ausschließlich auf dem Prinzip der "kleinen Schritte" aufbaut: 99 - der andere auf 98 - ich auf 97 usw. bis zur 2. Eine einseitige "radikale Änderung" nach unten führt immer zu einer geringeren Auszahlung; von einem vollen Überblick über die Zielfunktion kann also nicht die Rede sein.
Dabei stellt sich die Frage: Was ist überhaupt die Zielfunktion?
Die Zielfunktion ist der Gewinn. Diese soll optimiert werden. Das geschieht nicht in erster Linie durch Unterbieten des Mitspielers! Sind Bonus und Malus klein, so ist es egal, wer die höhere und wer die niedrigere Zahl nennt, solange beide eine hohe Zahl nennen.
Und der von Ihnen angesprochene Grundsatz der Spieletheorie könnte als Argument FÜR meinen Ansatz gesehen werden: Mein Mitspieler denkt genau wie ich. Wenn ich eine hohe Zahl nenne, wird er das auch tun!
Da aber keiner genau weiß, was der andere antworten wird, müssen beide Vermutungen darüber anstellen, welche Zahl der andere wahrscheinlich nennen wird.
Wenn beide nach dem Grundsatz der Spieltheorie handeln und das gleiche tun, folgt daraus ein Algorithmus, den ich hiermit zur Ermittlung der optimalen Strategie vorschlage:
1. Nimm für jede Zahl x eine (beliebige) Wahrscheinlichkeit p(x) an, mit der der Mitspieler diese Zahl wählen wird. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle x soll 1 sein.
2. Ermittle mit dieser Verteilung für jede Zahl y die mittlere Auszahlung a(y). (Das ist die Auszahlung, die man im Mittel in sehr vielen Spielen bekommen wird, wenn man immer die Zahl y nennt und sich der Partner an die angenommene Verteilung hält.)
Sie berechnet sich wie folgt:
wobei Summe x>y bedeutet: Summe von x=y+1 bis 100 (allgemein xmax). Entsprechend läuft Summex<y von 2 (allgemein xmin) bis y–1.
3. Erzeuge eine neue Verteilung: p(x) = a(x)/Summe(a)
4. Wiederhole 2. und 3. bis Konvergenz erreicht ist.
Ich habe diesen Algorithmus in einem einfachen Programm implementiert. Er scheint für alle Startverteilungen zu konvergieren.
Das Maximum der Auszahlung und der Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt bei x = 96 und x= 97. Es sei denn, man gibt als Startwert p(2)=1 vor, dann beobachtet man keine Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Dieser Algorithmus gibt auch die beobachteten Ergebnisse qualitativ wieder: Ist der Bonus/Malus groß, so liegt das Maximum bei der kleinstmöglichen Zahl.
Wesentlich interessanter ist aber folgende Feststellung:
Es gibt nicht „die“ optimale Zahl (für jede Zahl gibt es eine bessere). Aber es gibt für jede Zahl eine optimale Wahrscheinlichkeit, diese zu wählen, sodass man (und der Mitspieler, der durch die gleiche Überlegung auf dieselbe Verteilung kommt) den Gewinn insgesamt optimiert.
Stellungnahme der Redaktion
Ich bleibe dabei, dass im Rahmen der klassischen Spieltheorie große Sprünge möglich und sinnvoll sind. Ich sage zunächst 97; dann kommt mir wer weiß woher die Erkenntnis, dass mein Partner 6 sagen will. Daraufhin wechsle ich natürlich auf der Stelle zu 5 (und verbessere meine Auszahlung gewaltig: von 4 auf 7).
Der von Ihnen vorgeschlagene Algorithmus dürfte schwierig zu begründen sein (ich glaube nicht, dass er die erwartete Auszahlung maximiert, bin mir aber unsicher), aber trotzdem eine interessante Idee!
Das Urlauberdilemma mag als Gedankenspielerei ganz lustig sein, ist aber in den Schlussfolgerungen aus den Vorgaben ziemlich blödsinnig. Diese Schlussfolgerungen vernachlässigen nämlich völlig die Tatsache, dass jeder von einer Versicherung zumindest seinen Verlust ersetzt haben möchte. Die Auswahl 2 Euro ist also die denkbar schlechteste Möglichkeit für beide, und das wird wohl auch für Herrn Basu einsichtig sein.
Nimmt man nämlich den Fall, die Vase habe auf dem Trödelmarkt wirklich 5 Euro gekostet, so ist die Auswahl 2 Euro ein sicherer Verlust von 3 Euro mindestens für beide bzw. von einem Euro für einen und 5 Euro für den anderen. Eine solche Entscheidung wäre höchst irrational. Da man nur raten kann, was der andere macht, ist hier die einzige Möglichkeit, mit einiger Sicherheit wenigstens einen Euro Gewinn zu machen, die Auswahl 4 Euro. Geht man aber davon aus, daß der andere genauso denkt, resultiert für beide ein Verlust von einem Euro.
Geht man darüber hinaus von einer gewissen Gier des anderen aus, ist die Auswahl 5 Euro optimal. Das sichert einen bescheidenen Gewinn von 2 Euro und bestraft den Gierigen mit einem ebenso großen Verlust. Auf diese Weise bekommt der Versicherungsvertreter ehrliche Angaben, ist also doch nicht so dumm.
Die hier vorgestellte Idee einer "Crowd Farm" ist zwar auf den ersten Blick ein möglicher Schritt näher zur Lösung unseres Klimaproblems. Jedoch muss man beachten, dass die Herstellung der einzelnen Bodensegmente sowie deren Einbindung in das Stromnetzwerk, Wartungen und mögliche Reparaturen dermaßen hohe Energiebeträge verschlingen werden, dass es selbst bei jahrelanger intensiver Nutzung nicht zu einer positive Beeinflussung unseres Klimahaushaltes kommen wird. Zu beachten ist auch, dass sich solche Systeme, falls überhaupt effizient genug herstellbar, nur an Orten mit hoher öffentlicher Zirkulation einzusetzen lohnen; ein Vorortsbahnhof wäre denkbar ungeeignet. Selbst bei einem weltweiten kooperativen Einsatz der Technologie würde es vermutlich Jahrzehnte bis zur rentablen Nutzung dauern - allein der Transport der Platten sowie die Umrüstung der jeweiligen öffentlichen Einrichtungen würde wieder weitaus mehr Energie verbrauchen als letztendlich eingespart werden könnte. Zusammenfassend, so denke ich, wird diese Idee nicht über ihren Status als Vision hinwegkommen, wenn gerade mal 120 Joule pro Schritt und Bodenplatte an Energie erzeugt werden während deren Herstellung das x-fache erfordert hat.
Ein sehr interessanter Artikel zur Freude von Hund und Herrchen, da man sich nun besser versteht. Aber was ist mit Hund und Katz? Können Hunde wirklich vor Aufregung ihr Schwanzwedeln vergessen, wie von Herrn Vallortigara vermutet?
Meiner Meinung und meinen Beobachtungen nach nicht. Die Ursache sehe ich darin, dass sich der Hund auf sein Gegenüber konzentriert. Da die Katze "eigentlich" in das Beuteschema von Bello & Co gehört, ist der Hund angespannt. Somit resultiert die Aufregung aus einer konzentrierten Anspannung heraus.
Damit möchte ich den Hund allerdings nicht als Raubtier bezeichnen. Mit "eigentlich" beziehe ich mich auf die historische Abstammung vom Wolf . Der Zusammenhang von "Katze" und "Beute" ist noch rudimentär vorhanden und spielt die entscheidente Rolle zur Aufklärung des "fehlenden" Schwanzwedelns.
Der Hund fixiert die Katze, beobachtet sie und wägt ihre Reaktion ab. Dazu hält er seinen Körper angespannt. Deshalb wedelt er kaum oder gar nicht mit dem Schwanz. Als Haustier aufgewachsen, greift der Hund jedoch die Katze nicht an.
Obwohl sich die Begründung logisch anhört, hat sich ein Denkfehler eingeschlichen:
Es gibt nur einen einzigen Fall, in dem ich mein Ergebnis verbessere, indem ich eine niedrigere Zahl nenne. Nämlich dann, wenn mein Gegenüber um 1 höher liegt als ich oder ich genau um 1 höher liege als er. Liegt er weiter über meiner Zahl, könnte ich meinen Gewinn steigern, indem ich höhere Zahlen nenne. Liegt er darunter, ist es egal, in welche Richtung ich abweiche, das Resultat wird in fast jedem Fall dasselbe sein.
Darin besteht auch der große Unterschied zum Gefangenendilemma: Hier kann ich nur 1 darüber oder darunter liegen, was die Dramatik wesentlich erhöht.
Da ich aber nicht weiß, was mein Gegenüber antworten wird, kann ich daraus auch nicht ableiten, welche Zahl ich nennen soll.
Andererseits will ich meinen Gewinn maximieren. Dazu ist die 2 eine der schlechtest möglichen Antworten.
Wenn ich viel Geld bekommen will, muss ich eine möglichst hohe Zahl nennen! Und mein Gegenüber denkt ähnlich!
Es stellt sich ein wenig anders dar, wenn der Vertrauensbonus und die Strafe groß sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit einer niedrigen genannnten Zahl einen hohen Gewinn zu erzielen (und entsprechend die Wahrscheinlichkeit, trotz hoher Zahl wenig oder nichts zu bekommen), sehr viel größer. Es lohnt sich in diesem Fall wesentlich mehr, die niedrigere Zahl zu haben.
Stellungnahme der Redaktion
Herr Rupp bringt, ohne es explizit zu machen, einen neuen Gedanken in die Diskussion ein: Anstelle beliebiger Änderungen der eigenen Strategie denke man nur über kleine Änderungen nach.
Vom Standpunkt der klassischen Analysis ist das eine nahe liegende Idee. Ich suche das Maximum einer Zielfunktion f(x), nämlich meiner Auszahlung, die von einer Variablen x abhängt, über die ich bestimmen kann, nämlich meiner eigenen Ansage. Das Nachdenken darüber, dass sie noch von einer anderen Variablen abhängt, über die ich nicht bestimmen kann, nämlich der Ansage meines Partners, verschiebe ich auf später. Ich beschränke mich darauf, über kleine Änderungen nachzudenken, weil ich meine Zielfunktion nur in der unmittelbaren Umgebung meines gegenwärtigen Standpunkts einigermaßen überschauen kann.
Wie finde ich das Maximum meiner Zielfunktion? Ein mögliches Verfahren ist das, was in anderem Zusammenhang als "Gradientenverfahren" geläufig ist. Ich habe eine vorläufige Vorstellung x von meiner Ansage und variiere x ein wenig (das heißt um genau einen Euro) in einer Richtung, in der f(x) ansteigt. Das wiederhole ich so lange, bis f(x) sich nicht mehr zum Besseren ändert. In unserem Fall läuft das darauf hinaus, x zu erhöhen, wenn mein Partner mit seiner Ansage deutlich höher liegt als ich, nichts zu tun, wenn er deutlich niedriger liegt, und nur in den beiden („Ausnahme“-)Fällen „der Partner liegt gleichauf“ und „der Partner liegt eins unter mir“ x zu erniedrigen. So gesehen scheint es einleuchtend, x zu erhöhen.
Diese Analyse verkennt zweierlei. Erstens ist die Beschränkung auf kleine Änderungen von der Sache her nicht geboten: Wir haben den vollen Überblick über unsere Zielfunktion und sind fähig, in einem einzigen Denkschritt unsere Ansage radikal zu ändern. Zweitens missachtet sie den klassischen Grundsatz der Spieltheorie: Mein Partner denkt genau wie ich (genauso rational oder eben genauso irrational). Also ist der Fall, dass er auf die gleiche oder eine sehr ähnliche Zahl kommt wie ich, nicht die Ausnahme, sondern die Regel.
Aber denken wir vielleicht (auch wenn unser Denken nicht von der klassischen Optimierung beeinflusst ist) von Natur aus eher in kleinen Schritten? Das ist eine interessante Frage.
Ich bin völlig einverstanden mit dem Hinweis, dass antiwissenschaftliche Weltanschauungen auf dem "Charme einfacher Weltbilder" beruhen, die in jeder menschlichen Ontogenese angelegt sind. Die Priorität für die wissenschaftliche Begründung dieser Einsicht liegt jedoch ganz klar bei Jean Piaget.
Nichts gegen Havard University, aber wir sollten doch die großen Forschergestalten aus "Old-Europe" nicht verleugnen.
Als ich im Juli-Heft die Überschrift las „Quantenradierer selbst gemacht“ war ich sehr gespannt wie man ein anschauliches Experiment der Quantenphysik anhand von einfach zu beschaffenden Komponenten durchführen kann. Alle benötigten Komponenten standen mir zur Verfügung. Beim Weiterlesen musste ich jedoch feststellen, dass das Experiment auch nur auf Basis der klassischen Wellentheorie erklärt werden kann. In Anbetracht dessen, dass die Exotik der Quantenphysik mit diesem Experiment veranschaulicht werden soll, aber diese gerade eben nicht eindeutig nachvollziehbar auftritt, war bei mir die Enttäuschung groß.
Ein Experiment zur Veranschaulichung von Effekten der Quantenphysik welches gleichermaßen, und vor allem verständlicher, durch die Wellentheorie erklärt werden kann, dient in meinen Augen weder dem Verständnis Quantenphysik, noch hebt es die Abgrenzung der Quantenphysik von der klassischen Physik hervor.
Unter solchen Umständen wirken die gegebenen Erklärungen zu den einzelnen Teilexperimenten wie phantastisches Geschwätz.
Aus meiner Sicht wäre es deutlich besser, wenn auch bei einem Anschauungsexperiment der Maßstab der Wissenschaftlichkeit angelegt werden würde. Die Abgrenzung der Quantenphysik zur klassischen Physik sollte eindeutig zu Tage treten. Hier liegt meines Erachtens die größte Bedeutung eines Anschauungsexperiments zum Verständnis von Quanteneffekten.
In einem Spiel wie dem Urlauberdilemma fällt es Menschen allgemein sehr schwer, sich die vorgegebene Zielfunktion zu Eigen zu machen. Die persönliche Bewertung, evtl. sogar Gewinnerwartung, beeinflusst die Wichtung der "Züge".
Der nach der Theorie sich ergebende Gewinn liegt weit unter dem höchsten möglichen persönlichen Gewinn, der bei 102 Euro läge. In realen Situationen nimmt ein Spieler es in Kauf, dem Gegenüber zu "helfen", wenn er so den eigenen Nutzen maximieren kann. Erst ein möglicher und als extrem bewerteter Verlust verschiebt diese oft unbewusste Haltung zugunsten der vorgegebenen Zielfunktion. (Es scheint keine Rolle zu spielen, ob dieser Gewinn tatsächlich realisiert werden kann.)
Die Resultate sind damit ähnlich denen des Ultimatum-Spiels, allerdings sind die zugrunde liegenden Intentionen verschieden. Beim Ultimatum-Spiel wird eine positive (kooperative) Grundhaltung des Gegenüber angenommen, in diesem Falle genügt es, wenn man seinen Mitspieler für opportunistisch hält, das heißt annimmt, dass dieser ebenfalls seinen persönlichen Gewinn maximieren möchte. Das Spiel kann also nur funktionieren, wenn beide Parteien eine vergleichbare Bewertung vornehmen. Wenn das nicht der Fall ist, wenn also beide Spieler verschiedene Vorstellungen von der Zielfunktion haben, müssten auch ihre Strategien weit auseinander liegen.
Interessant sind Vergleiche des Spielverhaltens von Erwachsenen und Kindern. Kinder bewerten Gewinne oft nach für Erwachsene überraschenden Kriterien, und es fällt ihnen leicht, diese zunächst vielleicht unbewussten Strategien zu erklären, während Erwachsene sich schwerer darin tun, ihre Abweichungen von der Zielvorgabe zu erklären oder zu erkennen.
Dieser hübsche Artikel von Rachel Hillmer und Paul Kwiat gibt mir Anlass zu einigen Anmerkungen :
1. Die beschriebenen Effekte lassen sich leicht im Wellenbild durch Wirkung der nacheinander geschalteten Polarisatoren erklären.
2. Der Versuch einer Erklärung im Korpuskel-(Photonen-)bild führt aber zu erheblichen Schwierigkeiten.
3. Der Satz auf Seite 70 :" Obwohl Sie Billionen Photonen betrachten, interferiert jedes einzelne nur mit selbst" ist falsch.
Ein Photon kann nicht interferieren, nur seine zugeordnete Welle. Nun gehört aber zu einem einzelnen Photon keine monochromatische Welle, sondern ein breites Spektrum von Wellen. Dieses liefert aber an einem Hindernis keine Interferenzbilder, weil die einzelnen Frequenzen sich überlagern.
In der Tat, wenn man ein einzelnes Photon durch die Versuchsanordnung schicken würde, dann würde es irgendwo auf dem Schirm registriert werden, ohne dass man feststellen kann, ob es rechts oder links am Draht vorbeigelaufen ist (quantenmechanische Unschärfe). Erst mit einigen 100 bis 1000 Photonen zeigt sich das beschriebene Interferenzbild, das durch eine gemeinsame Welle beschrieben wird.
Wir stellen also fest : In der Quantenmechanik gilt ganz grob: Eine Welle entspricht vielen Korpuskeln, einem Korpuskel eine Vielzahl von Wellen. Eine genauere Kenntnis ist uns versagt.
ich fühle mich genötigt, auf den Leserbrief von Herrn Paul Kalbhen, in SdW 8/07, zum Turiner Grabtuch zu antworten, da ich zu diesem Thema selbst unlängst umfangreiche Recherchen angestellt habe:
Wenn man schon der Wissenschaft "Irrtümer durch Fehlmessungen" vorwerfen zu müssen meint, sollte man zunächst die Fakten, die in der einschlägigen Fachliteratur zu finden, sind etwas sorgfältiger recherchieren.
Bei der Radiokarbondatierung des Turiner Grabtuchs handelt es sich nämlich mitnichten um eine "Fehlmessung", schon gar nicht verursacht durch die von Herrn Kalbhen vermuteten Verunreinigungen. Selbstverständlich wurden die Stoffproben vor der Datierung gereinigt, wie in der Veröffentlichung von Damon et al. (Nature Bd. 337, 1989) auf S. 612 f. nachzulesen ist. Ungereinigte Proben zu datieren wäre eine Stümperei, die sich ganz sicher nicht die Wissenschaftler dreier (!) Datierungslabors (Oxford, Zürich, Tucson) gleichzeitig zuschulden hätten kommen lassen. Im Buch "Relic, Icon or Hoax?" von Harry E. Gove ist zudem auf S. 265 das in Tucson/Arizona datierte Stoffstück abgebildet - jeder kann sich von der Sauberkeit überzeugen. Außerdem dürfte es wohl kaum ein Zufall sein, dass das Datierungsergebnis zeitlich mit dem ersten Auftauchen des Tuchs in Lirey um 1350 zusammenfällt (Ian Wilsons Spekulationen über eine Geschichte des Tuchs bis zurück ins 4. nachchristliche Jahrhundert sind ohne jeden Beleg).
Zum Abbild auf dem Tuch sei gesagt, dass es sich - entgegen Herrn Kalbhens Ansicht - mitnichten um einen "nicht erklärbaren "Negativabdruck"" handelt. Abgesehen davon, dass das Bild kein Negativ im photographischen Sinne ist, wie häufig behauptet wird, ist es bereits rund 10 Jahre vor der Radiocarbondatierung als Gemälde identifziert worden: Es besteht aus damals üblichen Eisenocker- und Zinnober-Farbpigmenten in einem Eiweiß-Bindemittel. Details zu den diesbezüglichen mikroanalytischen Untersuchungen sind ausführlich von Walter C. McCrone in Accounts of Chemical Research, Bd. 23, 1990, S. 77 ff. beschrieben.
Mit dem Turiner Grabtuch verhält es sich also nicht anders als mit (vermutlich) allen Reliquien: Es handelt sich nachweislich um eine Fälschung, was jedoch Gläubige nicht daran hindert, ungeachtet der Fakten an der Echtheit festzuhalten.
Hallo,
auch ich hatte letztes Jahr das Riesen-Glück, an der Deutschen Schülerakademie im Kurs "Geometrie - unheimlich und wunderbar" teilzunehmen. Und auch wir mussten eine Präsentation für die Teilnehmer der anderen Kurse bei der Rotation vorbereiten. Da Geometrie immer sehr anschaulich ist, hatten wir eigentlich kaum Probleme, den Stoff sachgerecht, aber auch spannend zu vermitteln, und ich war sehr positiv überrascht, wie sehr sich auch Chemiker oder Physiker und auch die Literaten für die Mathematik begeistern können. Sie haben uns sogar einmal auf einen kleinen Fehler aufmerksam gemacht.
Des Weiteren war es eine tolle Erfahrung, zu sehen, was die anderen Kurse so auf die Beine gestellt haben. Dies war zuweilen sehr beeindruckend und spannend.
Ich wünsche Ihnen, lieber Herr Pöppe, viel Spaß für die zweite Halbzeit. Genießen Sie die Zeit. Es wird eine sehr schöne, lehrreiche und freundliche Zeit werden.
Ich bin Sonntag erst vom 2. Nachtreffen der Schülerakademie-Gruppe Grovesmühle heimgekehrt, und wir alle vermissen sehr das Akademie-Feeling.
Ich bin gespannt auf ihre Artikel im "Spektrum" über die Akademie und hoffe, dass wir dann etwas mehr vom Stoff erfahren. Somit viele Grüße
Ihr treuer Fan (:-D)
Florian Modler
Bei der Softwareentwicklung geht es nicht darum, ein kleines Programm mit, sagen wir, 1000 Zeilen zu schreiben. Das kann so ziemlich jeder. In der Realität kann man solche Miniprogramme aber nicht verkaufen. 10000 Zeilen dürften das absolute Minimum für kommerzielle oder Open-Source-Software sein. Und diese 10000 Zeilen so hinzubekommen, dass man selber oder ein anderer sie nach einem Jahr noch kapiert, ist eine Kunst, die die meisten "Amateure" und leider auch viele Profis nicht beherrschen. Daher zeugt die Vorstellung, professionelle Softwareentwickler - dazu zählen selbstverständlich auch Open-Source-Entwickler - durch Laien zu ersetzen, von großem Unwissen und noch größerer Hybris. Softwareentwicklung zu lernen ist nun einmal genauso langwierig und schwierig wie ein akademisches Studium.
Schöner Artikel über die Schmerzforschung.
Ich hoffe ich rate richtig, wenn mit TTX-resistenten Na-Kanälen tetradotoxin-resistent gemeint ist. Vielleicht auch eine Binsenweisheit, und jeder weiss, was damit gemeint ist.
Ihr Fugu
Stellungnahme der Redaktion
Fugu ist der Kugelfisch, der das Gift Tetradotoxin in bestimmten Organen in hoher Konzentration enthält.
Ich kann diese ganze Problematik nicht nachvollziehen. Ich bin der Auffassung, dass eine vollständige Trennung von Staat (Schulen) und Religion (Privatbereich) längst überfällig ist.
Dann gäbe es das Problem in den Schulen gar nicht, außer es geht darum das Wissen über Religionsinhalte zu vermitteln. Und da muss deutlich gemacht werden, dass die Schöpfungsmythen aller Religionen als gleichwertig zu betrachten sind.
Ich wünsche mir, dass in der Schule Kosmologie unterrichtet wird und die Evolutions-Lehre ist ein Teil davon. Dass dabei gelehrt wird, dass es keine ultimativen Wahrheiten gibt, gehört selbstverständlich dazu!
Okay, ich kann als Atheist natürlich leicht solche Forderungen stellen. Ich weiß, dass viele Menschen damit ihre Probleme haben...
falsche Zielfunktion?
31.07.2007, P. SpeckmayerDie eigentliche Fragestellung ist doch aber die Maximierung des Gewinnes. Die Funktion die maximiert werden soll lautet eigentlich:
GewinnA = minimum( a, b ) + w
wobei a und b die von Spieler A bzw. B gewählten Werte sind und w eine kleine Störung (von der Größenordnung 1 Euro) ist. (Die Funktion "minimum" nimmt den Wert der kleineren der beiden Größen a und b an. )
Nachdem Spieler A nur den Wert a optimieren kann, wird er offensichtlich den höchstmöglichen (=100) wählen. Erst in einem zweiten Schritt wird er sich über den Einfluss der kleinen Störung w Gedanken machen.
Für mich ganz und gar nicht überraschend schaut die Sachlage dann natürlich vollkommen anders aus, wenn w keine kleine Störung mehr ist, sondern in der Größenordnung von a und b liegt.
Wir können nun die beiden Extrema von w betrachten. Das eine Extrem ist w=0; hier werden beide Spieler offensichtlich den höchstmöglichen Wert 100 wählen. Wenn andererseits der Spieler mit dem kleineren Wert alles bekommt, werden, vermute ich, beide Spieler Richtung Nash-Gleichgewicht a=b=2 tendieren.
Im Gegensatz zum Autor des Artikels würde ich die Entscheidungen "der Leute" in dieser Art von Spiel sehr wohl als rational einstufen.
Zur Antwort auf meinen Leserbrief Klassischer Denkfehler
31.07.2007, M. Rupp, KarlsruheEs ist gerade die im Originalartikal angewandte Methode der Schlussfolgerung, die ausschließlich auf dem Prinzip der "kleinen Schritte" aufbaut: 99 - der andere auf 98 - ich auf 97 usw. bis zur 2. Eine einseitige "radikale Änderung" nach unten führt immer zu einer geringeren Auszahlung; von einem vollen Überblick über die Zielfunktion kann also nicht die Rede sein.
Dabei stellt sich die Frage: Was ist überhaupt die Zielfunktion?
Die Zielfunktion ist der Gewinn. Diese soll optimiert werden. Das geschieht nicht in erster Linie durch Unterbieten des Mitspielers! Sind Bonus und Malus klein, so ist es egal, wer die höhere und wer die niedrigere Zahl nennt, solange beide eine hohe Zahl nennen.
Und der von Ihnen angesprochene Grundsatz der Spieletheorie könnte als Argument FÜR meinen Ansatz gesehen werden: Mein Mitspieler denkt genau wie ich. Wenn ich eine hohe Zahl nenne, wird er das auch tun!
Da aber keiner genau weiß, was der andere antworten wird, müssen beide Vermutungen darüber anstellen, welche Zahl der andere wahrscheinlich nennen wird.
Wenn beide nach dem Grundsatz der Spieltheorie handeln und das gleiche tun, folgt daraus ein Algorithmus, den ich hiermit zur Ermittlung der optimalen Strategie vorschlage:
1. Nimm für jede Zahl x eine (beliebige) Wahrscheinlichkeit p(x) an, mit der der Mitspieler diese Zahl wählen wird. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle x soll 1 sein.
2. Ermittle mit dieser Verteilung für jede Zahl y die mittlere Auszahlung a(y). (Das ist die Auszahlung, die man im Mittel in sehr vielen Spielen bekommen wird, wenn man immer die Zahl y nennt und sich der Partner an die angenommene Verteilung hält.)
Sie berechnet sich wie folgt:
a(y) = p(y)*y + Summe x>y (p(x)*(y+2)) + Summex<y (p(x)*(x–2)),
wobei Summe x>y bedeutet: Summe von x=y+1 bis 100 (allgemein xmax). Entsprechend läuft Summex<y von 2 (allgemein xmin) bis y–1.
3. Erzeuge eine neue Verteilung: p(x) = a(x)/Summe(a)
4. Wiederhole 2. und 3. bis Konvergenz erreicht ist.
Ich habe diesen Algorithmus in einem einfachen Programm implementiert. Er scheint für alle Startverteilungen zu konvergieren.
Das Maximum der Auszahlung und der Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt bei x = 96 und x= 97. Es sei denn, man gibt als Startwert p(2)=1 vor, dann beobachtet man keine Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Dieser Algorithmus gibt auch die beobachteten Ergebnisse qualitativ wieder: Ist der Bonus/Malus groß, so liegt das Maximum bei der kleinstmöglichen Zahl.
Wesentlich interessanter ist aber folgende Feststellung:
Es gibt nicht „die“ optimale Zahl (für jede Zahl gibt es eine bessere). Aber es gibt für jede Zahl eine optimale Wahrscheinlichkeit, diese zu wählen, sodass man (und der Mitspieler, der durch die gleiche Überlegung auf dieselbe Verteilung kommt) den Gewinn insgesamt optimiert.
Ich bleibe dabei, dass im Rahmen der klassischen Spieltheorie große Sprünge möglich und sinnvoll sind. Ich sage zunächst 97; dann kommt mir wer weiß woher die Erkenntnis, dass mein Partner 6 sagen will. Daraufhin wechsle ich natürlich auf der Stelle zu 5 (und verbessere meine Auszahlung gewaltig: von 4 auf 7).
Der von Ihnen vorgeschlagene Algorithmus dürfte schwierig zu begründen sein (ich glaube nicht, dass er die erwartete Auszahlung maximiert, bin mir aber unsicher), aber trotzdem eine interessante Idee!
Christoph Pöppe, Redaktion
In den Schlussfolgerungen ziemlich blödsinnig
31.07.2007, Fritz KronbergNimmt man nämlich den Fall, die Vase habe auf dem Trödelmarkt wirklich 5 Euro gekostet, so ist die Auswahl 2 Euro ein sicherer Verlust von 3 Euro mindestens für beide bzw. von einem Euro für einen und 5 Euro für den anderen. Eine solche Entscheidung wäre höchst irrational. Da man nur raten kann, was der andere macht, ist hier die einzige Möglichkeit, mit einiger Sicherheit wenigstens einen Euro Gewinn zu machen, die Auswahl 4 Euro. Geht man aber davon aus, daß der andere genauso denkt, resultiert für beide ein Verlust von einem Euro.
Geht man darüber hinaus von einer gewissen Gier des anderen aus, ist die Auswahl 5 Euro optimal. Das sichert einen bescheidenen Gewinn von 2 Euro und bestraft den Gierigen mit einem ebenso großen Verlust. Auf diese Weise bekommt der Versicherungsvertreter ehrliche Angaben, ist also doch nicht so dumm.
Mangelnde Effizienz
30.07.2007, Tobias Schateikis, Stolberg (Rhld.)Vergessen zu Wedeln?
30.07.2007, Corinna Wolfsteller, Frankfurt (Oder)Meiner Meinung und meinen Beobachtungen nach nicht. Die Ursache sehe ich darin, dass sich der Hund auf sein Gegenüber konzentriert. Da die Katze "eigentlich" in das Beuteschema von Bello & Co gehört, ist der Hund angespannt. Somit resultiert die Aufregung aus einer konzentrierten Anspannung heraus.
Damit möchte ich den Hund allerdings nicht als Raubtier bezeichnen. Mit "eigentlich" beziehe ich mich auf die historische Abstammung vom Wolf . Der Zusammenhang von "Katze" und "Beute" ist noch rudimentär vorhanden und spielt die entscheidente Rolle zur Aufklärung des "fehlenden" Schwanzwedelns.
Der Hund fixiert die Katze, beobachtet sie und wägt ihre Reaktion ab. Dazu hält er seinen Körper angespannt. Deshalb wedelt er kaum oder gar nicht mit dem Schwanz. Als Haustier aufgewachsen, greift der Hund jedoch die Katze nicht an.
Klassischer Denkfehler
29.07.2007, M. Rupp, KarlsruheEs gibt nur einen einzigen Fall, in dem ich mein Ergebnis verbessere, indem ich eine niedrigere Zahl nenne. Nämlich dann, wenn mein Gegenüber um 1 höher liegt als ich oder ich genau um 1 höher liege als er. Liegt er weiter über meiner Zahl, könnte ich meinen Gewinn steigern, indem ich höhere Zahlen nenne. Liegt er darunter, ist es egal, in welche Richtung ich abweiche, das Resultat wird in fast jedem Fall dasselbe sein.
Darin besteht auch der große Unterschied zum Gefangenendilemma: Hier kann ich nur 1 darüber oder darunter liegen, was die Dramatik wesentlich erhöht.
Da ich aber nicht weiß, was mein Gegenüber antworten wird, kann ich daraus auch nicht ableiten, welche Zahl ich nennen soll.
Andererseits will ich meinen Gewinn maximieren. Dazu ist die 2 eine der schlechtest möglichen Antworten.
Wenn ich viel Geld bekommen will, muss ich eine möglichst hohe Zahl nennen! Und mein Gegenüber denkt ähnlich!
Es stellt sich ein wenig anders dar, wenn der Vertrauensbonus und die Strafe groß sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit einer niedrigen genannnten Zahl einen hohen Gewinn zu erzielen (und entsprechend die Wahrscheinlichkeit, trotz hoher Zahl wenig oder nichts zu bekommen), sehr viel größer. Es lohnt sich in diesem Fall wesentlich mehr, die niedrigere Zahl zu haben.
Herr Rupp bringt, ohne es explizit zu machen, einen neuen Gedanken in die Diskussion ein: Anstelle beliebiger Änderungen der eigenen Strategie denke man nur über kleine Änderungen nach.
Vom Standpunkt der klassischen Analysis ist das eine nahe liegende Idee. Ich suche das Maximum einer Zielfunktion f(x), nämlich meiner Auszahlung, die von einer Variablen x abhängt, über die ich bestimmen kann, nämlich meiner eigenen Ansage. Das Nachdenken darüber, dass sie noch von einer anderen Variablen abhängt, über die ich nicht bestimmen kann, nämlich der Ansage meines Partners, verschiebe ich auf später. Ich beschränke mich darauf, über kleine Änderungen nachzudenken, weil ich meine Zielfunktion nur in der unmittelbaren Umgebung meines gegenwärtigen Standpunkts einigermaßen überschauen kann.
Wie finde ich das Maximum meiner Zielfunktion? Ein mögliches Verfahren ist das, was in anderem Zusammenhang als "Gradientenverfahren" geläufig ist. Ich habe eine vorläufige Vorstellung x von meiner Ansage und variiere x ein wenig (das heißt um genau einen Euro) in einer Richtung, in der f(x) ansteigt. Das wiederhole ich so lange, bis f(x) sich nicht mehr zum Besseren ändert. In unserem Fall läuft das darauf hinaus, x zu erhöhen, wenn mein Partner mit seiner Ansage deutlich höher liegt als ich, nichts zu tun, wenn er deutlich niedriger liegt, und nur in den beiden („Ausnahme“-)Fällen „der Partner liegt gleichauf“ und „der Partner liegt eins unter mir“ x zu erniedrigen. So gesehen scheint es einleuchtend, x zu erhöhen.
Diese Analyse verkennt zweierlei. Erstens ist die Beschränkung auf kleine Änderungen von der Sache her nicht geboten: Wir haben den vollen Überblick über unsere Zielfunktion und sind fähig, in einem einzigen Denkschritt unsere Ansage radikal zu ändern. Zweitens missachtet sie den klassischen Grundsatz der Spieltheorie: Mein Partner denkt genau wie ich (genauso rational oder eben genauso irrational). Also ist der Fall, dass er auf die gleiche oder eine sehr ähnliche Zahl kommt wie ich, nicht die Ausnahme, sondern die Regel.
Aber denken wir vielleicht (auch wenn unser Denken nicht von der klassischen Optimierung beeinflusst ist) von Natur aus eher in kleinen Schritten? Das ist eine interessante Frage.
Christoph Pöppe, Redaktion
Der Charme des alten Europas
29.07.2007, Dr. Armin Tippe, SchwabhausenNichts gegen Havard University, aber wir sollten doch die großen Forschergestalten aus "Old-Europe" nicht verleugnen.
Enttäuschung
29.07.2007, Dr. Tobias Braun, HannoverEin Experiment zur Veranschaulichung von Effekten der Quantenphysik welches gleichermaßen, und vor allem verständlicher, durch die Wellentheorie erklärt werden kann, dient in meinen Augen weder dem Verständnis Quantenphysik, noch hebt es die Abgrenzung der Quantenphysik von der klassischen Physik hervor.
Unter solchen Umständen wirken die gegebenen Erklärungen zu den einzelnen Teilexperimenten wie phantastisches Geschwätz.
Aus meiner Sicht wäre es deutlich besser, wenn auch bei einem Anschauungsexperiment der Maßstab der Wissenschaftlichkeit angelegt werden würde. Die Abgrenzung der Quantenphysik zur klassischen Physik sollte eindeutig zu Tage treten. Hier liegt meines Erachtens die größte Bedeutung eines Anschauungsexperiments zum Verständnis von Quanteneffekten.
Es fehlt die Bewertung des eigenen Gewinns
28.07.2007, Axel Kranz, AachenDer nach der Theorie sich ergebende Gewinn liegt weit unter dem höchsten möglichen persönlichen Gewinn, der bei 102 Euro läge. In realen Situationen nimmt ein Spieler es in Kauf, dem Gegenüber zu "helfen", wenn er so den eigenen Nutzen maximieren kann. Erst ein möglicher und als extrem bewerteter Verlust verschiebt diese oft unbewusste Haltung zugunsten der vorgegebenen Zielfunktion. (Es scheint keine Rolle zu spielen, ob dieser Gewinn tatsächlich realisiert werden kann.)
Die Resultate sind damit ähnlich denen des Ultimatum-Spiels, allerdings sind die zugrunde liegenden Intentionen verschieden. Beim Ultimatum-Spiel wird eine positive (kooperative) Grundhaltung des Gegenüber angenommen, in diesem Falle genügt es, wenn man seinen Mitspieler für opportunistisch hält, das heißt annimmt, dass dieser ebenfalls seinen persönlichen Gewinn maximieren möchte. Das Spiel kann also nur funktionieren, wenn beide Parteien eine vergleichbare Bewertung vornehmen. Wenn das nicht der Fall ist, wenn also beide Spieler verschiedene Vorstellungen von der Zielfunktion haben, müssten auch ihre Strategien weit auseinander liegen.
Interessant sind Vergleiche des Spielverhaltens von Erwachsenen und Kindern. Kinder bewerten Gewinne oft nach für Erwachsene überraschenden Kriterien, und es fällt ihnen leicht, diese zunächst vielleicht unbewussten Strategien zu erklären, während Erwachsene sich schwerer darin tun, ihre Abweichungen von der Zielvorgabe zu erklären oder zu erkennen.
Eine Welle entspricht vielen Korpuskeln
27.07.2007, Dr. Reinhard Fiebig, Großenbrode1. Die beschriebenen Effekte lassen sich leicht im Wellenbild durch Wirkung der nacheinander geschalteten Polarisatoren erklären.
2. Der Versuch einer Erklärung im Korpuskel-(Photonen-)bild führt aber zu erheblichen Schwierigkeiten.
3. Der Satz auf Seite 70 :" Obwohl Sie Billionen Photonen betrachten, interferiert jedes einzelne nur mit selbst" ist falsch.
Ein Photon kann nicht interferieren, nur seine zugeordnete Welle. Nun gehört aber zu einem einzelnen Photon keine monochromatische Welle, sondern ein breites Spektrum von Wellen. Dieses liefert aber an einem Hindernis keine Interferenzbilder, weil die einzelnen Frequenzen sich überlagern.
In der Tat, wenn man ein einzelnes Photon durch die Versuchsanordnung schicken würde, dann würde es irgendwo auf dem Schirm registriert werden, ohne dass man feststellen kann, ob es rechts oder links am Draht vorbeigelaufen ist (quantenmechanische Unschärfe). Erst mit einigen 100 bis 1000 Photonen zeigt sich das beschriebene Interferenzbild, das durch eine gemeinsame Welle beschrieben wird.
Wir stellen also fest : In der Quantenmechanik gilt ganz grob: Eine Welle entspricht vielen Korpuskeln, einem Korpuskel eine Vielzahl von Wellen. Eine genauere Kenntnis ist uns versagt.
Turiner Grabtuch
26.07.2007, Dr. Jürgen Clade, Würzburgich fühle mich genötigt, auf den Leserbrief von Herrn Paul Kalbhen, in SdW 8/07, zum Turiner Grabtuch zu antworten, da ich zu diesem Thema selbst unlängst umfangreiche Recherchen angestellt habe:
Wenn man schon der Wissenschaft "Irrtümer durch Fehlmessungen" vorwerfen zu müssen meint, sollte man zunächst die Fakten, die in der einschlägigen Fachliteratur zu finden, sind etwas sorgfältiger recherchieren.
Bei der Radiokarbondatierung des Turiner Grabtuchs handelt es sich nämlich mitnichten um eine "Fehlmessung", schon gar nicht verursacht durch die von Herrn Kalbhen vermuteten Verunreinigungen. Selbstverständlich wurden die Stoffproben vor der Datierung gereinigt, wie in der Veröffentlichung von Damon et al. (Nature Bd. 337, 1989) auf S. 612 f. nachzulesen ist. Ungereinigte Proben zu datieren wäre eine Stümperei, die sich ganz sicher nicht die Wissenschaftler dreier (!) Datierungslabors (Oxford, Zürich, Tucson) gleichzeitig zuschulden hätten kommen lassen. Im Buch "Relic, Icon or Hoax?" von Harry E. Gove ist zudem auf S. 265 das in Tucson/Arizona datierte Stoffstück abgebildet - jeder kann sich von der Sauberkeit überzeugen. Außerdem dürfte es wohl kaum ein Zufall sein, dass das Datierungsergebnis zeitlich mit dem ersten Auftauchen des Tuchs in Lirey um 1350 zusammenfällt (Ian Wilsons Spekulationen über eine Geschichte des Tuchs bis zurück ins 4. nachchristliche Jahrhundert sind ohne jeden Beleg).
Zum Abbild auf dem Tuch sei gesagt, dass es sich - entgegen Herrn Kalbhens Ansicht - mitnichten um einen "nicht erklärbaren "Negativabdruck"" handelt. Abgesehen davon, dass das Bild kein Negativ im photographischen Sinne ist, wie häufig behauptet wird, ist es bereits rund 10 Jahre vor der Radiocarbondatierung als Gemälde identifziert worden: Es besteht aus damals üblichen Eisenocker- und Zinnober-Farbpigmenten in einem Eiweiß-Bindemittel. Details zu den diesbezüglichen mikroanalytischen Untersuchungen sind ausführlich von Walter C. McCrone in Accounts of Chemical Research, Bd. 23, 1990, S. 77 ff. beschrieben.
Mit dem Turiner Grabtuch verhält es sich also nicht anders als mit (vermutlich) allen Reliquien: Es handelt sich nachweislich um eine Fälschung, was jedoch Gläubige nicht daran hindert, ungeachtet der Fakten an der Echtheit festzuhalten.
Ja, die Rotation auf der Schülerakademie ...
26.07.2007, Florian Modler, Sarstedtauch ich hatte letztes Jahr das Riesen-Glück, an der Deutschen Schülerakademie im Kurs "Geometrie - unheimlich und wunderbar" teilzunehmen. Und auch wir mussten eine Präsentation für die Teilnehmer der anderen Kurse bei der Rotation vorbereiten. Da Geometrie immer sehr anschaulich ist, hatten wir eigentlich kaum Probleme, den Stoff sachgerecht, aber auch spannend zu vermitteln, und ich war sehr positiv überrascht, wie sehr sich auch Chemiker oder Physiker und auch die Literaten für die Mathematik begeistern können. Sie haben uns sogar einmal auf einen kleinen Fehler aufmerksam gemacht.
Des Weiteren war es eine tolle Erfahrung, zu sehen, was die anderen Kurse so auf die Beine gestellt haben. Dies war zuweilen sehr beeindruckend und spannend.
Ich wünsche Ihnen, lieber Herr Pöppe, viel Spaß für die zweite Halbzeit. Genießen Sie die Zeit. Es wird eine sehr schöne, lehrreiche und freundliche Zeit werden.
Ich bin Sonntag erst vom 2. Nachtreffen der Schülerakademie-Gruppe Grovesmühle heimgekehrt, und wir alle vermissen sehr das Akademie-Feeling.
Ich bin gespannt auf ihre Artikel im "Spektrum" über die Akademie und hoffe, dass wir dann etwas mehr vom Stoff erfahren. Somit viele Grüße
Ihr treuer Fan (:-D)
Florian Modler
Zum Leserbrief Besitzstandswahrung: Softwareentwicklung ist schwieriger, als viele denken
26.07.2007, Thomas Leichner, MünchenGift des Kugelfisches
24.07.2007, Uwe Lingk, PutbusIch hoffe ich rate richtig, wenn mit TTX-resistenten Na-Kanälen tetradotoxin-resistent gemeint ist. Vielleicht auch eine Binsenweisheit, und jeder weiss, was damit gemeint ist.
Ihr Fugu
Fugu ist der Kugelfisch, der das Gift Tetradotoxin in bestimmten Organen in hoher Konzentration enthält.
Staat und Religion trennen!
23.07.2007, Thomas SchaererDann gäbe es das Problem in den Schulen gar nicht, außer es geht darum das Wissen über Religionsinhalte zu vermitteln. Und da muss deutlich gemacht werden, dass die Schöpfungsmythen aller Religionen als gleichwertig zu betrachten sind.
Ich wünsche mir, dass in der Schule Kosmologie unterrichtet wird und die Evolutions-Lehre ist ein Teil davon. Dass dabei gelehrt wird, dass es keine ultimativen Wahrheiten gibt, gehört selbstverständlich dazu!
Okay, ich kann als Atheist natürlich leicht solche Forderungen stellen. Ich weiß, dass viele Menschen damit ihre Probleme haben...
Gruss
Th. Schaerer