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Zahlenzauber: Wie man einen Schokoladendieb entlarvt ... und andere mathematische Zaubertricks

Zahlen und Räume werden zu einer faszinierenden Welt des Zauberns, Flunkerns und Lachens. Denn, auch wenn man es kaum glaubt: Mathematik ist reif für die Bühne und bezaubernd schön.
ZahlenLaden...

Und immer wieder die Sieben

Für eine Zauberin oder einen Zauberer

Material:

  • ein Briefumschlag mit einem Zettel darin, auf dem „7“ steht
  • ein Zauberstab

Nötige Fähigkeiten:

  • Merken einer Reihe von Operationen

Manfred sitzt im Zug und langweilt sich. Der blonde Zehnjährige ist schon seit drei Stunden allein unterwegs. Seine Comics hat er inzwischen alle zweimal durchgelesen, dabei muss er noch fast eine halbe Stunde weiterfahren. Glücklicherweise sind gerade eben drei andere Kinder mit ihrer Mutter eingestiegen, vielleicht kann er sich ja mit denen unterhalten.

Die Kinder, zwei ältere Jungen und ein kleines Mädchen, unterhalten sich über die Zirkusvorstellung, die sie offenbar am Abend zuvor besucht haben. Besonders beeindruckend, erläutert der Älteste seinen Geschwistern, fand er den Hypnotiseur. Dieser hatte mehrere Zuschauer so gekonnt hypnotisiert, dass sie allen seinen Anweisungen Folge leisteten. Dabei haben sie sich zum Teil ganz schön blamiert: Sie sind auf dem Bauch durch die Manege gerobbt, haben wie Hähne gekräht und sich wie Hunde vom Hypnotiseur an den Ohren kraulen lassen.

Manfred hört der Erzählung des Jungen gespannt zu. Er geht für sein Leben gern in den Zirkus. »Wenn ich erwachsen bin, werde ich auch mit einem Zirkus durch die Welt ziehen«, mischt er sich in das Gespräch der anderen Kinder ein. »Ich kann nämlich ganz gut zaubern. Einer meiner Zaubertricks funktioniert auch mit Hypnose.« Erstaunt schauen die anderen Kinder Manfred an.»Dann zeig’ uns doch mal, was du kannst!«, fordert der Älteste ihn auf. Manfred steht auf, holt seinen Rucksack unter dem Sitz hervor, wühlt darin herum und fördert einen blauen Zauberstab und einen Briefumschlag zu Tage.

»Mein sehr verehrtes Publikum«, beginnt er seine Vorstellung, »ich werde Ihnen allen meinen Willen aufzwingen. Mein Wille steht verborgen auf einem Zettel in diesem Umschlag. Abrakadabra Septima Magica, die Show kann beginnen!« Er tippt mit dem Zauberstab auf den Briefumschlag, den er auf seinen Sitz gelegt hat. Zaubern tut er am liebsten im Stehen, auch wenn es im 6er-Abteil ziemlich eng ist.

»Denkt euch jeder eine Zahl«, weist er die Kinder an und malt mit dem Zauberstab eine Schleife in die Luft. »Verdoppelt sie und addiert dann 14 dazu.« Wieder bewegt er den Zauberstab auf mystischen Pfaden durch das enge Abteil. Die Kinder rechnen fleißig. Die Jungen können das schon gut alleine, bei ihrer kleinen Schwester hilft die Mutter ein wenig mit. »Nehmt nun die Hälfte des Ergebnisses ...« Manfred wartet ein bisschen, bis alle drei Kinder so weit sind, »und zieht eure gedachte Zahl wieder ab. Obwohl jeder von euch vermutlich eine andere Zahl ausgesucht hat, konnte ich mit meinen Zauberkräften euren Willen und euer Denken lenken: Das Ergebnis ist bei euch allen dasselbe, nämlich dieses!«

Er öffnet den Briefumschlag und zieht ein Stück Papier daraus hervor. Auf dem Papier steht »7«. Die Kinder und ihre Mutter schauen ihn erstaunt an. Tatsächlich haben sie alle die Sieben als Ergebnis ihrer Rechnung erhalten. Sie klatschen begeistert. Da schallt es plötzlich aus dem Lautsprecher: »Meine Damen und Herren, in Kürze erreichen wir Bielefeld Hauptbahnhof. In Bielefeld endet dieser Zug. Bitte alle aussteigen.« Manfred packt seinen Zauberstab und den Umschlag ein, verabschiedet sich von den anderen Kindern und steigt aus dem Zug aus. Mit einer kleinen Zaubereinlage macht das Zugfahren doch gleich viel mehr Spaß!

Haben Sie auch mitgerechnet? Vielleicht haben Sie den Trick ja gleich durchschaut?

Das Verfahren ist gar nicht kompliziert, wenn man es genauer untersucht. Versetzen wir uns in die Lage des jungen Zauberers. Aus seiner Perspektive stellt sich die Sache folgendermaßen dar: Jeder Zuschauer denkt sich eine Zahl Z; diese Zahl Z verdoppelt der Zuschauer, d.h. er berechnet 2·Z. Dann addiert er 14 hinzu und erhält 2·Z+14. Anschließend halbiert er der Anweisung des Zauberers folgend die Zahl 2·Z+14 und erhält (2·Z+14):2=(2·Z):2+14:2=Z+7, wobei wir in den Umformungen das Distributivgesetz zum Auflösen von Klammern verwendet haben, das für die, die es nicht kennen, weiter unten erklärt wird.

Zuletzt zieht der Zuschauer seine gedachte Zahl Z vom Ergebnis Z+7 wieder ab und erhält (Z+7)–Z=7. Egal, welche Zahl Z er sich also am Anfang ausgesucht hat, am Ende der Rechnung steht stets die 7.

Wenn Sie verstanden haben, wie der Trick funktioniert, können Sie nach demselben Prinzip beliebig viele ähnliche Tricks erstellen. Dazu führen Sie, ausgehend von einer frei gewählten Zahl Z, beliebige Rechenschritte durch, die dafür sorgen, dass sich am Ende alle Vielfachen der Zahl Z gegenseitig aufheben, genau wie in der obigen Rechnung (2·Z+14):2–Z=7. Beachten Sie dabei die üblichen Rechengesetze, die im nächsten Abschnitt erklärt werden.

Wichtig ist bei der Erstellung neuer Tricks zusätzlich, dass Sie die unbekannte Zahl nicht unterwegs durch irgendeine andere Zahl teilen, sonst kommen eventuell Bruchzahlen heraus. (Für größere Kinder ist das natürlich kein Hinderungsgrund.)Bitte teilen Sie auch nirgends durch die gedachte Zahl – oder stellen Sie sicher, dass sich niemand die Zahl Null aussucht.

Mathematischer Hintergrund

Das Distributivgesetz beschreibt eine von Mathematikern entdeckte Gesetzmäßigkeit, nämlich dass sich Terme (Ausdrücke) der Form a·(b+c) oder b·(a–c) oder (a+b):c usw. anders ausdrücken lassen. Dabei sind a, b und c einfach Symbole für irgendwelche Zahlen. Gemeinsam ist allen diesen Termen, dass sie aus einer Summe bestehen (b+c, a–c bzw. a+b), die durch eine Klammer zusammengehalten und dann mit einer anderen Zahl multipliziert oder durch eine andere Zahl dividiert wird. Dabei wird übrigens auch der Ausdruck a–c=a+(–c) als Summe angesehen; z.B. wird also auch 7–5=7+(–5) als Summe von 7 und –5 bezeichnet.

Das Distributivgesetz besagt nun, dass die oben stehenden Terme a·(b+c) oder b·(a–c) oder (a+b):c auch so geschrieben werden können:

a·(b+c)=a·b+a·c
b·(a–c)=b·a–b·c=b·a+(–b·c)
(a+b):c=a:c+b:c

Z.B. rechnet man mit Hilfe des Distributivgesetzes: 7·(3+8)=7·3+7·8=21+56=77, was ebenso wie die direkte Rechnung (erst addieren, dann multiplizieren, wie es die Klammern vorschreiben) 7·(3+8)=7·11=77 ergibt. Genauso ergibt (6+4):2=6:2+4:2=3+2=5 nach der Distributivregel berechnet dasselbe Ergebnis wie die direkte Rechnung (erst addieren, dann dividieren, wie es die Klammern vorschreiben). Diese lautet nämlich (6+4):2=10:2=5. Rechnen Sie doch einfach noch ein paar Beispiele aus, wenn Ihnen das Distributivgesetz spanisch vorkommt, das hilft beim Verständnis!

Achten Sie darauf, dass »Rechnungen« der Art 9·2+4=9·(2+4)=9·6=54 genauso wie 7·(3+5)=7·3+5=21+5=26 falsch sind, da sie die Rechenregel »Punkt vor Strich« (im ersten Beispiel) und die Rechenregeln für Klammern (im zweiten Beispiel) verletzen. Diese Regeln, bei denen es sich eigentlich eher um Konventionen handelt, die das schriftliche Festhalten von Rechnungen einheitlich gestalten sollen, haben die Mathematiker schon vor vielen Jahrhunderten aufgestellt. Lassen Sie mich beide Regeln kurz erläutern:

Die Rechenregel »Punkt vor Strich« besagt, dass der Ausdruck 3·5+4 als »addiere 4 zum Produkt von 3 und 5« und nicht als »Multipliziere 3 mit der Summe von 5 und 4« interpretiert werden soll. Diese Festlegung ist zwar willkürlich, hat sich aber schon vor langer Zeit durchgesetzt. Machen Sie sich den Unterschied zwischen diesen beiden Rechenanweisungen am besten an ein paar Beispielen klar, wenn er Ihnen nicht geläufig ist.

Klammern wurden von Mathematikern eingeführt, damit sich Anweisungen wie »Multipliziere 3 mit der Summe von 5 und 4« ebenfalls in Zahlen und Symbolen ausdrücken lassen. Statt »Multipliziere 3 mit der Summe von 5 und 4« schreibt man mit Hilfe von Klammern dann prägnant 3·(5+4).

Klammern fassen also Summen von Zahlen so stark zu einer Gruppe zusammen, dass man (wendet man nicht gerade das Distributivgesetz an) immer zuerst die Summe in der Klammer ausrechnen muss und dann erst alle weiteren Rechenschritte durchführen darf. Damit dienen Klammern auch der Abkürzung von Termen wie 2·5+3·5+ 4·5+5·5, den man ohne die Hilfe von Klammern wegen der »Punkt-vor-Strich«-Regel summandenweise, also über den Zwischenschritt 10+15+20+25=70 ausrechnen müsste. Mit Hilfe der Klammern (und des Distributivgesetzes) rechnet man schneller und kürzer 2·5+3·5+4·5+5·5=(2+3+4+5)·5=14·5=70.

Tipps zum Nachzaubern

Es ist nicht unbedingt nötig, dass das zaubernde Kind schon mit Variablen – also mit einer »gedachten Zahl« – rechnen kann. Es stärkt aber das Vertrauen des Kindes in den Trick und in seine rein mathematische Funktionsweise, wenn es zumindest begreift, dass »die gedachte Zahl sich weghebt«. Üben Sie den Zaubertrick mit vielen verschiedenen gedachten Zahlen, das gibt Sicherheit und führt zu einem tieferen Verständnis. Statt mit Variablen oder gedachten Zahlen können Sie dem Kind den Effekt auch mit Hilfe von anderen Platzhaltern erklären, beispielsweise so:

Der Zuschauer denkt sich eine Anzahl Puppen, die das Kind nicht kennt. Diese Puppen liegen in einer Kiste versteckt, die zugesperrt ist. Jetzt verdoppelt er die Anzahl der Puppen, d. h. er stellt eine zweite Kiste daneben, die genauso viele Puppen enthält. Dann legt er 14 Puppen einzeln neben die Kisten. Als nächstes halbiert er die Anzahl aller Puppen: Dabei nimmt er eine der Kisten weg (in beiden Kisten sind ja gleich viele Puppen), außerdem nimmt er 7 von den 14 sichtbaren Puppen weg. Es bleiben also eine Kiste und sieben Puppen übrig. Als letztes nimmt er genauso viele Puppen weg, wie er am Anfang in die Kiste gesteckt hat, am besten gleich die ganze Kiste, nicht wahr? Übrig bleiben die sieben sichtbaren Puppen.

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