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Lexikon der Geographie: Kartennetzentwürfe

Kartennetzentwürfe, kartographische Netzentwürfe, Abbildungen des Gradnetzes der Erde, anderer Himmelskörper oder der scheinbaren Himmelskugel in der Kartenebene (Abbildungsebene). Aus der Wahl eines entsprechenden Kartennetzentwurfs ergibt sich die Art der Abbildung der gekrümmten Oberfläche in der Ebene. Der verschiedentlich noch in der Literatur verwendete Begriff Kartenprojektion ist insofern ungünstig und nicht allgemein zutreffend, weil durchaus nicht alle Netzentwürfe echte Projektionen im Sinne einer geometrischen Perspektive sind. Die ersten Kartennetzentwürfe wurden bereits in der Antike entwickelt, so von Marinos (um 114) und von Ptolemäus (um 150). Dessen Anleitungen zur Konstruktion von Gradnetzen in Kegelprojektion bildeten die Grundlage für neue Kartennetzentwürfe, die jedoch erst seit Beginn des 16. Jh. entstanden. Durch die Herstellung von Seekarten im 16. Jh. und die im 17. Jh. beginnende Atlaskartographie, aber auch durch die topographischen Landesaufnahmen des 18. und 19. Jh. wurde die weitere Entwicklung erheblich gefördert. Die Anwendung geeigneter Netzentwürfe ist sowohl für analoge kartographische Darstellungsformen, vor allem in mittleren und kleinen Maßstäben, als auch für digitale kartographische Modelle, hier insbesondere in Verbindung mit Geo-Informationssystemen (GIS), von grundlegender Bedeutung. Die Abbildung in der Kartenebene erfolgt nach mathematischen Gesetzmäßigkeiten unter Verwendung entsprechender Formeln (Abbildungsgleichungen). Die allgemeinen Abbildungsgleichungen lauten:

m=f1 (φ, λ), α=f2 (φ, λ)
bzw.

x'=f3(φ, λ), y'=f4 (φ, λ),
wobei m und α polare Koordinaten sind, x'und y' rechtwinklige Koordinaten der Abbildungsebene, φ und λ die geographischen Koordinaten beliebiger Oberflächenpunkte. Je nach Zweckmäßigkeit wird mit polaren oder mit rechtwinkligen Koordinaten gerechnet.
Bei Verwendung der Erddimensionen führen die Abbildungsgleichungen zum Abbildungsmaßstab 1:1, sodass für die Kartenkonstruktion noch alle Längenmaße durch die Maßstabszahl mk und alle Flächenmaße durch (mk)2 geteilt werden müssen.
Als Bezugskörper wird den Kartennetzentwürfen für Maßstäbe ≤1:1.000.000 die Erdkugel (Radius R=6370 km), für größere Maßstäbe das Erdellipsoid zugrunde gelegt. Allerdings ist die moderne Rechentechnik heute in der Lage, stets die Parameter des Bezugsellipsoids zu berücksichtigen.
Bei der Abbildung entstehen Verzerrungen und zwar Längenverzerrungen, Flächenverzerrungen und Winkelverzerrungen. Diese sind in Abhängigkeit vom Zweck der jeweiligen Karte zu minimieren. Kartennetzentwürfe, die frei von den genannten einzelnen Verzerrungen sind, werden als längentreu (äquidistant; nur entlang bestimmter Linien erreichbar), flächentreu (äquivalent) oder winkeltreu (konform) bezeichnet. Vermittelnde Netzentwürfe sind weder längen- noch flächen- noch winkeltreu, insgesamt jedoch mit sehr geringen Verzerrungen behaftet. Die Verzerrungen sind mathematisch immer nachweisbar. Graphisch werden sie jedoch erst dann relevant, wenn größere Flächen der Erdoberfläche abgebildet werden. In Karten etwa bis zum Maßstab 1:200.000, für die i.d.R. geodätische Kartennetze Verwendung finden, bleiben alle Verzerrungen in der Größenordnung der Zeichengenauigkeit, d.h. unter 0,2 mm.
Die Abbildungen erfolgen entweder unmittelbar auf Berührungsebenen (azimutale Netzentwürfe) oder auf Zylinder- bzw. Kegeloberflächen, die dann in die Ebene abgewickelt werden können. Mathematisch lassen sich die Azimutal- und die Zylinderentwürfe als Grenzfälle der Kegelentwürfe (Öffnungswinkel 180° bzw. 0°) betrachten.
Die Klassifizierung der Kartennetzentwürfe, d.h., der geographische Kartennetze, erfolgt nach der Art der Abbildungsfläche bzw. Art des Netzbildes (Azimutalentwurf, Kegelentwurf, Zylinderentwurf; Abb. 1) und der Lage der Abbildungsfläche bzw. deren Achse/Lotlinie, welche am Pol, am Äquator oder an einem beliebigen Punkt den Erdkörper berühren kann und man dementsprechend die Abbildungen als polständig (normal), äquatorständig (transversal) oder zwischenständig (schiefachsig, allgemein) bezeichnen kann ( Abb. 2). Weitere Untergliederungen ergeben sich dadurch, dass die jeweilige Abbildungsfläche den Erdkörper berührt, schneidet oder eine berührungsfreie Beziehung haben kann sowie in echte Kartennetzentwürfe und unechte Kartennetzentwürfe, durch den Grad der Realisierung einer geometrischen Abbildung. Echte Netzentwürfe sind alle Abbildungen, die auf geometrischen Beziehungen unter Verwendung von Hilfsflächen beruhen. Die Abbildungskoordinate ist die Funktion von nur einer geographischen Koordinate. Die Verzerrungsbeträge sind allein von der geographischen Breite bzw. Netzbreite abhängig. In allen den Fällen, wo geometrische Deutungen mit Hilfsflächen nicht oder nur zum Teil möglich sind, spricht man von unechten Netzentwürfen. Diese sind vor allem für Erdgesamtdarstellungen (Weltkarten) von Bedeutung.
Beim Azimutalentwurf erfolgt die Abbildung als echte Projektion (Perspektive) oder durch ein anderes geometrisches Verfahren direkt auf die Ebene. Die Meridiane werden als Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, abgebildet, wobei sie die gleichen Winkel einschließen wie die Meridiane auf dem Erdkörper. Die Breitenkreise erscheinen als konzentrische Kreise um diesen Punkt. Die Abbildungsgleichungen lauten:

α=λ, m=f(δ)=f(90°-φ),
wobei α=der Winkel, den zwei Meridiane im Kartenmittelpunkt einschließen und m=der Radius der Kreise ist. Echte Projektionen unter den Azimutalentwürfen sind die gnomonische Projektion (Projektionszentrum im Erdmittelpunkt), stereographische Projektion (Projektionszentrum im Gegenpol), orthographische Projektion (Projektionszentrum im Unendlichen, Projektionsstrahlen parallel zur Erdachse). Bei der gnomonischen Projektion nehmen die Abstände der Breitenkreise und somit die Flächenverzerrungen zum Kartenrand hin schnell zu. Aus geographischer Sicht ist diese Abbildung deshalb wenig geeignet. Als Besonderheit kann gelten, dass die Orthodrome (kürzester Weg zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche) als Gerade abgebildet wird. Die stereographische Projektion war bereits im Altertum bekannt und zeichnet sich durch Winkeltreue aus. Allerdings werden die Flächen zum Rand hin stark vergrößert, sodass dieser Netzentwurf für Zwecke der Atlaskartographie kaum geeignet ist. Für Sternkarten und Wetterkarten wird er verschiedentlich verwendet. Die orthographische Projektion liefert längentreue Breitenkreise, die jedoch nach außen hin stark zusammengedrängt sind. In transversaler Lage wird die Abbildung für Mondkarten und andere astronomische Darstellungen eingesetzt. Für Erdkarten empfiehlt sie sich nicht. Der Darstellung geographischer Sachverhalte auf Karten kommt der flächentreue Azimutalentwurf nach Lambert sehr entgegen, zumal er auch nur geringe Winkelverzerrungen aufweist. Er wird zumeist in normaler, seltener in transversaler Lage verwendet, im letztgenannten Fall für die Abbildung von Erdhälften (Planigloben), verschiedentlich auch für Erdteilkarten. Von den unechten Azimutalentwürfen sind einige Abbildungen in Form von Planigloben und Planisphären von Interesse, z.B. die Planisphären von Aitow und von Hammer. Letztere basiert auf Lamberts flächentreuem Azimutalentwurf, der entsprechend umgeformt wird, wodurch Meridiane und Breitenkreise zu Ellipsen werden, die Flächentreue aber erhalten bleibt.
Die Kegelentwürfe weisen gewisse Ähnlichkeiten mit den Azimutalentwürfen auf: Die Meridianbilder sind radial angeordnete Geraden, wobei die Winkel zwischen ihnen stets kleiner als die entsprechenden Längendifferenzen auf dem Erdkörper sind. Die Breitenkreise werden als konzentrische Kreise abgebildet. Der Abstand der Breitenkreise voneinander ist von der Art der Abbildung abhängig. Echte Kegelentwürfe (Berührungs- oder Schnittkegel) werden fast nur in normaler Lage angewandt. Sie eignen sich sehr gut für die Abbildung von Gebieten mittlerer Breite und betonter Ost-West-Ausdehnung. Perspektivische Kegelabbildungen mit dem Projektionszentrum Erdmittelpunkt sind für die kartographische Praxis ohne Bedeutung, da die Verzerrungen mit zunehmender Entfernung vom Berührungs-Breitenkreis unvertretbar anwachsen. Die allgemeinen Abbildungsgleichungen lauten:

α=nλ,
d.h. dem Längenunterschied λ auf dem Erdkörper entspricht der Winkel α zwischen den Meridianbildern; n ist ein Proportionalitätsfaktor, der vom Öffnungswinkel des Kegels abhängig ist und zwischen 0 und 1 liegen kann. Da, wie erwähnt, die Breitenkreise als konzentrische Kreise abgebildet werden, sind deren Radien m eine Funktion der Polhöhe δ bzw. der Breite φ des jeweiligen Breitenkreises:

m=f(δ).
Ein für die Kartenpraxis gut geeigneter flächentreuer Schnittkegelentwurf ist der von Albers (1805). Soll die Abbildung winkeltreu sein, dann leistet der Kegelentwurf nach Lambert (1772) gute Dienste. Er wird bei Luftfahrtkarten und auch bei Neuausgaben der Internationalen Weltkarte 1:1.000.000 (IWK) angewandt. Auch die amtlichen Übersichtskarten der Bundesrepublik Deutschland in den Maßstäben 1:500.000 und 1:1.000.000 (Grundlagen des Digitalen Landschaftsmodells DLM 1000) verwenden ihn. Bei den unechten Kegelentwürfen werden die Meridiane als gekrümmte Linien abgebildet. Als bekanntester Entwurf dieser Art kann der von Bonne (1752) gelten. Nur der Mittelmeridian wird hier als gerade Linie abgebildet und längentreu unterteilt. Gleichfalls längentreu unterteilt werden auch die als konzentrische Kreise abgebildeten Breitenkreise. Dieser flächentreue Kartennetzentwurf weist in den Randgebieten erhebliche Winkelverzerrungen auf und ist deshalb nur für Kartenausschnitte in der Umgebung des Kartenmittelpunkts geeignet.
Zylinderentwürfe kommen gleichfalls als echte und unechte Entwürfe vor. Durch Projektion gewonnene perspektivische Zylinderabbildungen sind wegen ihrer erheblichen Flächen- und Winkelverzerrungen ohne praktische Bedeutung. Die echten Zylinderentwürfe lassen sich äußerlich am Rechteckgitter der Meridiane und Breitenkreise erkennen. Äquator und Pol werden als gleichlange Linien abgebildet. Die allgemeinen Abbildungsgleichungen für polständige (normale) Lage lauten (rechtwinklige Koordinaten):

x(=f(φ), y(=f(λ) (Berührungszylinder)

y=f(φ0, λ) (Schnittzylinder).
Mit seinen winkeltreuen Eigenschaften hat der Netzentwurf nach Mercator (Mercatorprojektion) für Navigationszwecke große Bedeutung erlangt. Die Loxodrome, eine alle Meridiane unter gleichem Winkel schneidende Linie (Kurve) wird als Gerade abgebildet. Allerdings sind die Flächenverzerrungen schon bei mittleren Breiten beträchtlich und vergrößern sich zu den Polen hin in extremer Weise. Damit kommt dieser Entwurf für thematische Verbreitungskarten nicht in Betracht. Unechte Zylinderentwürfe werden häufig für Erdgesamtdarstellungen in Form von Planisphären verwendet. Im Unterschied zu den echten Zylinderentwürfen verläuft hier nur der Mittelmeridian senkrecht zu den als Parallelen abgebildeten Breitenkreisen; alle übrigen Meridiane sind gekrümmte Linien, die sich in einem Punkt (Pol) oder auf einer Pollinie treffen.
Der von Mollweide (1805) angegebene Entwurf ergibt eine Ellipse, die das Achsenverhältnis 1:2 besitzt. Die Breitenkreiszonen und auch die Gradabteilungen sind flächentreu. Somit eignet sich dieser Entwurf für die Abbildung primär flächengebundener thematischer Erscheinungen, insbesondere physisch-geographischer Art.
Neben den oben behandelten Kartennetzentwürfen haben etwa seit Mitte des 20. Jh. vermittelnde bzw. kombinierte Entwürfe für Erdkarten Bedeutung erlangt. Diese vermitteln im Interesse der Formtreue und eines gefälligen Kartenbildes zwischen Längen-, Flächen- und Winkeltreue. Der Entwurf von Winkel (1913) hat hier die größte praktische Bedeutung. Die Breitenkreise werden als leicht geschwungene Linien, die Meridiane als Ellipsen abgebildet. Die Zahl der in den letzten hundert Jahren vorgeschlagenen und angewendeten Netzentwürfe beträgt ungefähr 500. Mitunter sind schon vorhandene Entwürfe weiter modifiziert worden, was nur selten zu echten Eigenschaftsverbesserungen geführt hat.
Für topographische Karten und andere großmaßstäbige Darstellungen kleiner Gebiete werden die hier beschriebenen Kartennetzentwürfe nicht verwendet, sondern (neben einigen speziellen Entwürfen bzw. Projektionen) vor allem geodätische Kartennetze bzw. Abbildungen, von denen das Gauß-Krüger-System und das UTM die größte Bedeutung erlangt haben. Für die Umrechnung (Transformation) von Daten bzw. Koordinaten gibt es entsprechende Software, die die gebräuchlichsten Kartennetzentwürfe berücksichtigt.

WK

Lit: [1] HAKE, G. u. GRÜNREICH, D. (1994): Kartographie. – Berlin/New York. [2] KUNZ, E. (1990): Kartennetzentwurfslehre. – Karlsruhe. [3] YANG, Q., SNYDER, J.P., TOBLER, W.R. (2000): Map projection transformation. – London.


Kartennetzentwürfe 1: Kartennetzentwürfe 1: Art der Abbildungsfläche und zugehörige Netzbilder: Abbildung auf eine Ebene (a), einen Kegelmantel (b) und auf einen Zylindermantel (c).

Kartennetzentwürfe 2: Kartennetzentwürfe 2: Lage der Abbildungsfläche (K=Kegel, Z=Zylinder und E=Ebene) bzw. deren Achse/Lotlinie: a) polständig (normal), b) äquatorständig (transversal), c) zwischenständig (schiefachsig, allgemein).

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