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Lexikon der Mathematik: offene Menge

Teilmenge O eines topologischen Raumes X, in welcher jeder Punkt ein innerer Punkt ist, also eine Umgebung U enthält, die ganz in O liegt.

Ist der topologische Raum in der Form \((X,\,{\mathcal{O}})\) gegeben, so ist per definitionem O genau dann offen, wenn \(O\in \,{\mathcal{O}}\) gilt. Eine Teilmenge AX heißt abgeschlossen, wenn X \ A offen ist.

In jedem topologischen Raum \((X,\,{\mathcal{O}})\) sind die Mengen ∅ und X offen und abgeschlossen.

In einem mit der diskreten Topologie versehenen Raum X sind alle Teilmengen von X offen und abgeschlossen. In der natürlichen Topologie von ℝ sind halboffene Intervalle weder offen noch abgeschlossen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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