Läßt du dich auch mal wieder hier blicken?"

Fred Feuerstein, Lehrling bei der Hinkelstein GmbH & Co. KG, war gerade von Ausbesserungsarbeiten an der zykloidisch gepflasterten Schnellstraße (Spektrum der Wissenschaft, März 1994, Seite 10) zurückgekehrt.

"Du kriegst dein Geld nicht, um wochenlang Ferien zu machen", fuhr Otto Steinbeißer, sein Chef, fort.

"Sie zahlen nicht einmal genug für einen Kurzurlaub am Wochenende. Um genau zu sein, Sie bezahlen mich überhaupt nicht!"

"Wenn die Geschäfte schlecht gehen, gibt's kein Geld. Das ist so in dieser Branche."

Im Hof türmten sich Berge von frischgebrochenen und behauenen Steinen, Obelisken, Schieferplatten und Geröll.

"Das sagen Sie jedesmal. Ich dachte, die Rezession wäre vorbei."

"Ach was. Die Talsohle ist gerade mal so eben durchschritten... Waren die Priester zufrieden?"

"Aber Chef! Haben Sie schon mal zufriedene Priester gesehen?"

"Ich meine, haben sie bezahlt?"

"Ja. Nachdem ich ihnen für alle Ewigkeit und darüber hinaus mit dem Fluch der schwarzen Pest gedroht habe."

"Sehr gut. Erstaunlich pünktlich."

"Die Qualität unserer Pflasterung hat sie vom Feilschen abgehalten."

"Möglich." Mittlerweile hatte Steinbeißer bemerkt, daß Fred einen schweren Sack hinter sich hergeschleppt hatte. Ohne groß zu fragen, öffnete er die Verschnürung.

"Steine?! Als ob wir davon nicht genug hätten!"

"Das ist ein Spiel, ein Geschenk für die Mathematik-Hexe." Fred zögerte, aber gab sich dann einen Ruck. "Es hat nur fünfhundert Kupfermünzen gekostet."

"Wieviel haben wir denn von den Priestern bekommen?"

"Ähm... fünfhundert Kupfermünzen. Aber es ist die Sache wert. Ich wette, die Mathematik-Hexe wird begeistert sein."

Steinbeißer wurde jetzt richtig wütend. "Die ganze Arbeit nur für einen großen Haufen Steine?"

"Nein, nein. Ich habe auch die exklusiven Vertriebsrechte für das Teufelsspiel in der ganzen Region."

"Das was?"

"Das Teufelsspiel. Das Ding hier im Sack."

Steinbeißer schlenkerte drohend den Steinmeißel in seiner Hand. "Idiot."

"Sie sollten bedenken", beeilte sich der Lehrling zu erklären, "daß ein Exemplar fünfhundert Kupfermünzen bringt, und es besteht ganz und gar aus Stein."

"Sag das noch mal." Fred tat wie geheißen. "Steine haben wir reichlich", sagte Steinbeißer, und deutlich milder: "Erzähl mir mehr von dem Spiel."

"Ich muß es auch der Mathematik-Hexe erklären. Warum kommen Sie nicht einfach mit?" Und so machten sie sich mit leichtem Schaudern auf den Weg zum Tote-Katzen-Sumpf.


Die Legende vom Großen Urknaller

Als sie ankamen, war die Mathematik-Hexe gerade dabei, Warzenkröten für den Winter einzulegen. Fred überreichte ihr schüchtern sein Geschenk.

"Oh, ein Teufelsspiel!" frohlockte die Hexe, als sie den Sack öffnete. "So eins wollte ich schon immer haben. Eine tolle Idee! Es ist ja hier in der Gegend nicht zu bekommen. Man sollte wirklich versuchen, ein Geschäft damit zu machen. Das Zeug würde weggehen wie eingelegte Warzenkröten."

Sie half Fred, das Spiel auszupacken. Es bestand aus einer großen Platte, die in quadratische Felder unterteilt war, und einer Unzahl flacher, runder, schwarzer Steine. Sie begannen gleich, auf jedes einen Stein zu setzen.

"Eins habt ihr vergessen", meinte Steinbeißer schließlich.

"Nein, ein Feld muß frei bleiben", sagte Fred.

"Warum?"

"Weil ein Zug bei diesem Spiel darin besteht, mit einem Stein über einen benachbarten zu springen und den übersprungenen Stein wegzunehmen. Wenn zu Beginn kein Feld frei ist, kann man überhaupt nicht ziehen. Benachbart heißt dabei vertikal oder horizontal angrenzend, aber nicht diagonal. Und das Ziel des Spiels besteht darin, soviele Steine wie möglich wegzunehmen."

"Es steckt sehr viel mehr dahinter", setzte die Mathematik-Hexe hinzu. "Nach einer alten numerischen Legende ist das Teufelsspiel vor Urzeiten auf einem unendlich großen Brett gespielt worden. Auch dabei war zunächst nur ein Feld unbesetzt, und der Spieler sollte alle Steine entfernen. Selbstverständlich geht das nur in einer unendlichen Anzahl von Zügen. Das Teufelsspiel erzählt eigentlich die Geschichte von der Austreibung der Teufel durch den Großen Urknaller."

"Bitte was?"

"Die Numerer glauben", erläuterte die Mathematik-Hexe geduldig, "daß im mythischen Dunkel jede Ecke des Universums mit Teufeln bevölkert war, welche die Entstehung von Raum, Zeit und Materie verhinderten. Dann kam der Große Urknaller und verbannte die Teufel jenseits der unendlichen Grenzen des Universums, so daß unsere Welt entstehen konnte – und so geschah es. Die Numerer hatten erkannt, daß jedesmal, wenn sich ein Teufel an einem anderen vorbei in ein freies Gebiet der gewöhnlichen Raum-Zeit begab, sich dieser in Strahlung auflöste. Dabei wurde kosmische Energie freigesetzt, die sich in einem zusätzlichen freien Raum-Zeit-Gebiet manifestierte."

"Merkwürdige Beobachtung."

"Ja, nicht wahr? Wir Numerosophen sprechen dabei vom Standard-Modell des Renormierungs-Bannes in der Kantenmechanik. Das Modell beruht darauf, daß alle Teufel die gleichen Kantenzahlen haben – auf die Eigenschaften der Teufel bezogen bedeutet das ein gleiches Ausmaß an Habgier, Unkeuschheit und Ungehorsam. Darum sind auch alle verwendeten Steine schwarz und gehorchen den gleichen Regeln."

"Oh, ich verstehe", sagte Steinbeißer ganz eifrig.

"Böse Teufel?" fragte Fred.

"Ja."

"Bose-Teufel?"

"Nein. Fermi-Teufel. Zwei am gleichen Platz gibt es nicht."

"Und? Ist es möglich?" fragte Fred weiter.

"Ist was möglich?" fragte die Hexe zurück.

"Na, ob es möglich ist, alle Teufel zu verbannen."

"Ich denke doch", tat sich Steinbeißer wichtig und wandte sich fragend an die Expertin: "Oder etwa nicht?"

"Ja, es ist möglich. Die Grundidee liegt in der Regel von der triadischen Vernichtung."

"Die was?"

"Wenn drei Teufel in einer Reihe neben einer zweiten Reihe aus drei Teufeln stehen, kann man die erste Reihe durch eine passende Folge von Zügen verschwinden lassen" (Bild 1). "Das ist sehr nützlich, denn hat man einmal ein Loch in die Phalanx der Teufel gerissen, kann man durch wiederholtes Anwenden dieses Rezeptes weitere Dreiergruppen vernichten.

Der nächste Schritt zum Sieg besteht darin, ein quadratisches Loch der Größe 5×5 zu erzeugen. Man beginnt mit ein paar einfachen Zügen und räumt den verbleibenden Rest mit sechs triadischen Vernichtungen weg" (Bild 2).

Die Mathematik-Hexe fuhr fort: "Dieses Loch kann man jetzt durch triadische Züge entlang dem Rand systematisch vergrößern – zum Beispiel der Reihe nach auf die Formate 7×7, 11×11, 13×13, 17×17 und so weiter. Das heißt, man erhöht die Kantenlänge des Quadrats abwechselnd um zwei und um vier" (Bild 3 oben).

"Warum?"

"Man muß verschiedene Schemata anwenden, je nachdem, ob die Kantenlänge um eins größer oder kleiner ist als ein Vielfaches von drei. Sonst passen die Dreiergruppen nicht. Die Fälle wechseln sich ab: Fünf ist um eins kleiner als ein Vielfaches von drei, sieben eins größer, elf eins kleiner, dreizehn eins größer und so weiter."

"Alles klar."

"Die alte Legende der Numerer sagt noch viel mehr. Eine Gruppe von Ketzern glaubt nämlich, der Große Urknaller sei eines Tages in einen kosmischen Kampf mit dem Großen Zermalmer verwickelt worden und habe aus diesem Grund nur das halbe Universum von den Teufeln befreien können. Wir würden nur deshalb dem Irrglauben anhängen, es sei das ganze Universum, weil wir weit innerhalb des befreiten Gebiets leben. Aber ganz weit draußen sei die Große Mauer. Dahinter beginne ein halb-unendlicher Halbraum voller Teufel, die nur darauf warteten, ihr Reich zurückzuerobern."

"Wie weit draußen?"

"Unvorstellbar. Vielleicht um die tausend Eselsjahre."

"Was ist ein Eselsjahr?"

"Die Entfernung, die ein Esel in einem Jahr zurücklegt."

Sie verstummten, überwältigt von der Unendlichkeit des Kosmos. Freds Frage "Mit oder ohne Möhren?" wurde als belanglos empfunden bei den Größenordnungen, um die es ging.

"Deshalb ist der Himmel schwarz", fuhr die Mathematik-Hexe fort. "Die sichtbaren Sterne sind alle diesseits der Großen Mauer. Dahinter erhebt sich die unendliche Finsternis."

"Klingt vernünftig", meinte Fred.

"Unwiderlegbar", sagte Steinbeißer. "Es wäre nur überzeugender, wenn man die Große Mauer sehen könnte."

"Kann man aber nicht. Sie ist ja schwarz."

"Ach so."

"Die Numerosophen haben herausgefunden, wie der Urknaller wenigstens eine Halbebene entteufelt haben könnte. Es geht fast so wie eben. Er fängt mit einem 5×5-Quadrat an und vergrößert es schrittweise. Nur verwendet er jetzt eine andere Folge von triadischen Zügen, so daß die Mauer aus Teufeln auf einer Seite des 5×5-Quadrates unangetastet bleibt" (Bild 3 unten).

Die Steineklopfer dachten eine Weile über diese Geschichte und ihren Wahrheitsgehalt nach. "Können denn die Teufel noch immer unsere Welt heimsuchen?", fragte Steinbeißer.

"Nein. Es gibt eine numerosophische Entdeckung von großer kosmologischer Bedeutung", entgegnete die Hexe.

"Und die wäre?"

"Sie lautet: Bevölkern die Teufel nur eine Halbebene, so können sie niemals weiter als nur einige Felder weit in die normale Welt eindringen."

"Wieso Halbebene?"

"Die Numerosophen denken immer nur über die Ebene nach. Der ganze dreidimensionale Raum ist ihnen zu schwierig. Also denkt man sich, daß die Teufel eine Halbebene füllen; die Große Mauer ist nichts weiter als die unendliche Reihe von Teufeln, die an der Grenze zur normalen Welt stehen."

"Na ja, aber wenn der Große Zermalmer es in seiner Macht hat, unendlich viele Teufel zu bewegen, wird er doch unendlich weit kommen."

"Eben nicht. Aber fangen wir langsam an, zunächst mit endlich vielen Teufeln. Irgendwo in der Ebene ist eine gedachte Linie, die der Großen Mauer entspricht. Hinter der Mauer darf der Große Zermalmer Teufel auf Plätze seiner Wahl setzen und dann die üblichen Züge machen. Wie groß muß diese Armee sein, damit er einen Teufel null, eins, zwei, drei, vier oder fünf Felder weit ins Diesseits schicken kann?"

"Was heißt null Felder?"

"Nichtstun. Es muß mindestens einen Teufel geben, auch wenn der nirgendwohin gehen kann. Aber das ist im wesentlichen eine Definitionsfrage. Für ein Feld braucht man zwei Teufel, für zwei Felder vier, für drei Felder acht Teufel. Was glaubst du, wie viele man für vier Felder braucht?"

"Klare Sache. Sechzehn."

"Würde man meinen. Aber die richtige Antwort ist zwanzig. Es gibt, abgesehen von Spiegelungen, genau zwei Aufstellungen von zwanzig Teufeln, mit denen es funktioniert" (Bild 4). "Natürlich stellt sich jetzt die Frage, wie es weitergeht. Was meinst du wohl, kommt als nächstes in der Folge 1, 2, 4, 8, 20?"

"Das weiß der Urknaller allein!"

"Ich weiß es auch: unendlich. Selbst mit einer unendlich großen Armee ist es unmöglich, auch nur einen Teufel fünf Felder weit diesseits der Großen Mauer zu plazieren, falls die Armee am Anfang vollständig jenseits der Mauer liegt."


Pagodenfunktionen und ein unlösbares Rätsel

"Reicht es nicht, wenn man für beliebig große, aber endliche Armeen Bescheid weiß?" "Du wirst noch ein richtiger Numerosoph, Fred. Warum meinst du das?" "Nun, wenn ein Teufel fünf Felder weit vorangekommen wäre, hätte er das ja in einer endlichen Anzahl von Zügen geschafft." "Richtig. Also?" "Na ja, für eine endliche Folge von Zügen wird nur ein endlicher Teil der Armee benötigt. Man kann also genausogut mit einer Armee endlicher Größe beginnen." "Hervorragend. Einleuchtend, Herr Steinbeißer, nicht wahr?" "Ach, ich glaube Ihnen sowieso alles." Aber nachdem er eine Weile nachgedacht hatte, fuhr er doch fort: "Ein Problem beschäftigt mich noch. Können Sie mir sagen, wieso Sie so sicher sind, daß man mit keiner Armee fünf Felder weit vordringen kann?" Die Mathematik-Hexe lächelte und meinte nur: "Pagodenfunktionen!" "Was ist das?" "Ein Hilfsmittel, mit dem man Sätze über das Teufelsspiel beweisen kann. Man ordnet jedem Feld des Brettes einen Zahlenwert zu. Der Wert einer Spielstellung ist dann die Summe der Werte derjenigen Felder, auf denen Teufel sitzen. Eine derartige Zuordnung heißt Pagodenfunktion, falls jeder zulässige Zug ihren Wert entweder vermindert oder unverändert läßt." "Woher kommt so eine Funktion?" "Die dürfen Sie sich ausdenken. Welche Werte Sie den Feldern zuweisen, ist zunächst beliebig. Es muß nur die Bedingung erfüllt sein, daß zulässige Züge die Pagodenfunktion verkleinern oder gleich lassen. Unter dieser Einschränkung sucht man sich die Funktion so aus, daß man etwas mit ihr beweisen kann. Ich erkläre es am besten an einem Beispiel. Angenommen, wir haben ein kreuzförmiges Brett, wie es für die Solitairspiele verwendet wird. Fünf Felder in Form eines kleinen Kreuzes in der Mitte sind frei, alle anderen besetzt. Gibt es eine endliche Folge von Zügen, welche die Konstellation umkehrt? Das heißt, am Ende sollen nur noch so viele Steine übrig sein, daß genau die fünf Felder in der Mitte besetzt sind" (Bild 5). Fred und Steinbeißer versuchten ihr Bestes, aber vergebens. "Hübsch, nicht wahr? Damit kann man seine Freunde stundenlang beschäftigen. Es geht nämlich nicht." Die Hexe kritzelte ein Schema in den feuchten Erdboden (Bild 6). "Das ist eine Pagodenfunktion für ein derartiges Brett. Man kann nachprüfen, daß es keinen Zug gibt, der den Wert der Konfiguration vergrößert. Es genügt, sich zu vergewissern, daß für drei Werte in einer Reihe, nennen wir sie a, b und c, immer a+b>c und b+c>a gilt. Wenn nämlich Teufel a Teufel b überspringt und auf dem freien Feld c landet, dann ändert sich der Beitrag dieser drei Felder zur Gesamtsumme von a+b nach c, und alles andere bleibt unverändert. Dasselbe gilt für den Fall, wenn c über b nach a springt. Wegen der Ungleichungen kann also der Gesamtwert bei einem Zug allenfalls gleich bleiben, jedenfalls aber nicht abnehmen. Nun ist aber der Wert der Startkonfiguration gleich vier. Denn jeder Arm des Kreuzes trägt 1+1+1+(-1)+0+(-1) =1 zum Gesamtwert bei, und die besetzten Ecken des inneren Quadrats tragen den Wert 0. Der Gesamtwert der gesuchten Endkonfiguration beträgt andererseits 1+1+1+1+2=6. Das ist größer. Aber es existiert kein Zug, der den Gesamtwert vergrößert, also gibt es auch keine Folge von Zügen, die den Wert von vier auf sechs vergrößert, und das Problem hat somit keine Lösung." "Schlau", mußten beide zugeben. "Vier Numerosophen von unglaublicher Geistesgröße, wahre Giganten unseres Berufsstandes, haben eine Pagodenfunktion für die Armee des Großen Zermalmers gefunden. Ihre Namen sind Elwyn Berlekampsson, Johnhorton Conwaysson, Richard Guysson und Mike Boardmansson. Bei ihrer Lösung kommt erstaunlicherweise der Goldene Schnitt ... ins Spiel. Diese Zahl ist für uns aus vielen Gründen von geheimnisvoller Bedeutung. Sie tritt zum Beispiel bei den Längenverhältnissen im Pentagramm auf. Aber für die Armee des Großen Zermalmers ist die entscheidende Eigenschaft die magische Gleichung ." Die Hexe zeichnete eine Pagodenfunktion für das Problem des Großen Zermalmers (Bild 7). "Die Frage ist, ob ein Teufel fünf Felder weit ins Diesseits geschickt werden kann. Wir ordnen dem Zielfeld den Wert eins zu und den anderen Feldern geeignete Potenzen von . Mit Hilfe der magischen Gleichung kann man zeigen, daß das tatsächlich eine Pagodenfunktion ist. Jede Stellung, bei der auf dem Zielfeld und eventuell auf weiteren Feldern ein Teufel sitzt, hat den Wert eins oder mehr. Andererseits läßt sich der Wert aller Felder jenseits der Großen Mauer algebraisch durch Summation geometrischer Reihen berechnen. Zunächst ist Wegen der magischen Gleichung ist , also ist die obige Summe gleich eins. Daraus folgt nach Multiplikation mit für Der Gesamtwert der ersten Reihe hinter der Großen Mauer ergibt sich zu . Durch Multiplikation mit ergibt sich für den Gesamtwert der zweiten Reihe , für den der dritten und so weiter. Der Gesamtwert aller Felder hinter der Großen Mauer beträgt also Da jedes Feld hinter der Großen Mauer einen von null verschiedenen Wert hat, beträgt schließlich der Gesamtwert jeder endlichen Armee weniger als eins. Der ist durch keine Folge zulässiger Züge auf eins oder mehr zu erhöhen. Das aber müßten wir erreichen, wollten wir einen Teufel fünf Felder über die Große Mauer hinausbringen. Kurz gesagt: Der Große Zermalmer kann höchstens einen winzigen Teil dessen zurückgewinnen, was er einst verloren hat." "Erregend", meinte Fred. "Beruhigend", meinte Steinbeißer. "Aber das Schönste ist die Geschichte mit dem unendlichen Brett. Mir scheint, wir könnten ungeheure Umsätze machen, wenn wir jedes Teufelsspiel nach diesem Modell anfertigten..."

Literaturhinweis

Gewinnen, Band 4. Solitairspiele. Von Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway und Richard K. Guy. Vieweg, Braunschweig 1986.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 3 / 1995, Seite 15
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