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Echte Knoten

Mit einer neuen "Knotentheorie" kommen die Mathematiker den Schlingen aus echten Seemannstauen schon näher als mit abstrakten topologischen Kurven.


Die Knotentheorie wuchs im letzten Jahrhundert zu einem wichtigen mathematischen Forschungsgebiet heran. Knoten verkörpern eine der großen Fragen der Topologie: Welche Möglichkeiten gibt es, eine geometrische Form in eine andere einzubetten? Im Falle von Knoten sind die beiden Formen ein Kreis – den man sich als ein ringförmig geschlossenes Stück Schnur oder Gummiband vorstellen darf – und der gesamte dreidimensionale Raum. Bekanntlich schert sich ein Topologe nicht darum, ob eine solche Form vergrößert, verkleinert, verbogen oder sonstwie verzerrt wird. Nur stetig müssen diese Deformationen sein; Zerschneiden und Zusammenkleben sind nicht erlaubt. Für den Topologen ist ein Knoten ein Kreis, der im dreidimensionalen Raum derart eingebettet ist, dass er nicht entwirrt werden kann, indem man den umgebenden Raum stetig deformiert.

Mit Knoten im landläufigen Sinne hat das nicht viel zu tun. In der Wirklichkeit haben Schnüre Enden, und wenn man versucht, einen Knoten zu entwirren, dann deformiert man die Schnur und nicht den sie umgebenden Raum. Entsprechend gibt die mathematische Knotentheorie zwar Auskunft über die "Knotigkeit" eines Knotens – zum Beispiel darüber, wie mühsam es ist, ihn aufzudröseln –, aber weniger über Probleme praktischer Bedeutung: Wie verlängert man eine Schnur durch Anknoten einer zweiten Schnur, ohne dass der Knoten aufgeht? Hier kommt es entscheidend auf die Reibung der Stränge gegen-einander und damit auf die Materialeigenschaften an, und ein anderes Vorgehen ist erforderlich.

Einige Mathematiker haben in der Tat die Anfangsgründe einer Theorie für "echte" Knoten entwickelt, allen voran Roger E. Miles von der australischen National University in Canberra mit seinem unorthodoxen Buch "Symmetric Bends". "Bend" ist das englische Wort für einen Knoten, der zwei Seile verbindet. Miles will diese Verbindungsknoten systematisch nach geometrischen Kriterien klassifizieren, um so insbesondere neue Knoten mit bestimmten Eigenschaften wie großer Haltbarkeit zu finden.

Wie in der klassischen Knotentheorie pflegt man auch die Verbindungsknoten durch "Diagramme" darzustellen, Abbildungen des plattgedrückten Knotens, und aus diesen Diagrammen, vor allem aus dem Muster der Überkreuzungen, möglichst viel herauszulesen. Die Frage, ob zwei Diagramme zum selben Knoten gehören, ist das Grundproblem der herkömmlichen Knotentheorie (Spektrum der Wissenschaft 1/1991, S. 66).

Elementare Verbindungsknoten

Der einfachste und bekannteste Verbindungsknoten ist der Reff- oder Kreuzknoten. In den Diagrammen ist das eine Seil orange, das andere blau dargestellt. Jedes Seil hat eine "freies" Ende – das kurze Ende, das vom Knoten absteht – und ein "stehendes" Ende, das den Hauptteil des Seiles bildet und hier als verblassende Linie gezeichnet ist. Das Diagramm des Knotens zeigt zwei Arten von Überkreuzungen: blau über orange und orange über blau. In komplizierteren Knoten gibt es auch Kreuzungen vom Typ "blau über blau" oder "orange über orange".

Der Kreuzknoten wird oft mit dem Altweiberknoten verwechselt. Wenn man das freie Ende jedes Seils mit dem stehenden zu einer geschlossenen Schleife verbindet, erhält man in beiden Fällen ei-nen Knoten – genauer: eine Verkettung – im Sinne der klassischen Knotentheorie. (Diese arbeitet ohnehin nur mit geschlossenen Kurven.) Diese geschlossenen Knoten haben keine nahen Verwandten, aber es gibt zwei weitere Verbindungsknoten, die dem Kreuz- und dem Altweiberverbindungsknoten sehr ähneln. Sie unterscheiden sich nur darin, welches das freie und welches das stehende Ende ist: der Nippesknoten und der Diebesknoten.

Die vier genannten elementaren Verbindungsknoten sind diejenigen mit den einfachsten Diagrammen, also mit den wenigsten Kreuzungen. Die Reibung, welche die Seilstücke am Rutschen hindert, entsteht im Wesentlichen an den Überkreuzungen; man würde erwarten, dass ein Knoten umso besser hält, je mehr Überkreuzungen er hat. Aber das ist nicht immer der Fall; es kommt auch auf deren Reihenfolge an. Die vier elementaren Knoten sind allesamt höchst unsicher. Sie lösen sich leicht, wenn an den Enden gezogen oder sonst irgendwie manipuliert wird.

Die elementaren Verbindungsknoten haben noch eine wichtige Eigenschaft: Sie sind symmetrisch. Wenn man den Kreuzknoten um 180 Grad um eine Achse dreht, die im Bild von links unten nach rechts oben verläuft, so erscheint der gleiche Knoten wieder, nur mit vertauschten Farben. Das Gleiche gilt für den Altweiberknoten. Der Nippesknoten hat eine Drehsymmetrie. Er bleibt bis auf die Farben unverändert, wenn man ihn um 180 Grad in der Papierebene dreht. Und der Diebesknoten ist in drei Dimensionen punktsymmetrisch: Wenn man jeden Punkt am Mittelpunkt des Diagramms spiegelt, also den Punkt mit den Koordinaten (x, y, z) in den Punkt mit den Koordinaten (-x, -y, -z) abbildet, dann sieht der Knoten bis auf die Farbvertauschung wieder genauso aus wie zuvor. Am einleuchtendsten sind diese Symmetrien an selbst gebundenen Knoten aus echter Schnur.

Auf der Grundlage der drei beschriebenen Symmetrien diagonale Umwendung, Halbdrehung und Punktspiegelung hat Miles einen Formalismus zum Studium symmetrischer Verbindungsknoten entwickelt, mit dem man auch neue Knoten erfinden kann. So lässt sich als Verallgemeinerung des Diebesknotens eine ganze Familie neuer Knoten erzeugen (Bild oben, rechts). Außerdem kann man auf Verbindungsknoten im dreidimensionalen Raum drei weitere Symmetrieoperationen anwenden:

- Spiegelung: Im zweidimensionalen Knotendiagramm läuft das darauf hi-naus, dass man alle Überkreuzungen umdreht.

- Farbvertauschung: Orange wird blau und umgekehrt.

- Seilverkehrung: Das freie Ende jedes Seils wird zum stehenden und umgekehrt.

Der schönste unter den symmetrischen Verbindungsknoten ist der doppelte Achtknoten oder flämische Knoten. Die ersten vier Darstellungen im Bild links zeigen den Knoten selbst, sein Spiegelbild, seine Seilverkehrung und die Seilverkehrung des Spiegelbildes. Alle vier sind punktsymmetrisch. Die fünfte Darstellung zeigt einen Verbindungsknoten mit einer anderen Symmetrie: Er ist drehsymmetrisch. Dennoch sind alle diese fünf topologisch äquivalent. Das heißt, jeder lässt sich in jeden anderen durch einfache Manipulation an den Seilen verwandeln. Am einfachsten sieht man das, indem man den fünften Knoten, den Miles "Chamäleonknoten" nennt, in die anderen vier transformiert. Ich gönne Ihnen den Spaß, selbst herauszufinden, wie das geht.

Miles’ Buch enthält einen Katalog von sechzig symmetrischen Verbindungsknoten. Aber gibt es darunter so etwas wie einen optimalen Knoten, mit dem man zwei Seile verbinden sollte? Miles sagt: "Eigentlich nicht." Denn Widerstand gegen Aufgehen oder Entwirren sind nicht die einzigen Kriterien für einen guten Knoten. Ein Knoten soll auch leicht zu binden und zu lösen sein, man soll die freien Enden ohne große Schwierigkeiten kürzer oder länger machen können, und außerdem soll er noch schön aussehen. Am Ende seines Buches lädt Miles seine Leser ein, ihm ihre eigenen Entdeckungen mitzuteilen. Vielleicht nimmt er sie dann in eine neue Auflage seines Buches auf. (Seine Adresse ist RMB 345, Queanbeyan NSW 2620, Australien.) Miles schreibt: "Der Erfinder eines neuen Knotens hat das Vorrecht, ihm einen Namen zu geben! Das ist wie bei der Entdeckung einer neuen Nova oder eines neuen Kometen."

Literaturhinweise


Outdoor-Handbuch Knoten. Von Cliff Jacobson. Conrad Stein, Kiel 2000.

Das Ashley-Buch der Knoten. Von Clifford W. Ashley. Delius Klasing, Bielefeld 1999.

Das BLV Knoten-Handbuch. Von Des Pawson. BLV, München 1988.

Physikalische Spielereien mit Knoten. Von Jearl Walker. Experiment des Monats, Spektrum der Wissenschaft 10/1983, S. 140.

Symmetric Bends. Von Roger E. Miles. World Scientific, 1995.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 7 / 2002, Seite 114
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
7 / 2002

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 7 / 2002

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