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Kalender-Rechnen


Im Jahre 46 vor Christus war den Rö- mern der Kalender mit den Jahreszeiten merklich außer Takt geraten. Auf den Rat des alexandrinischen Astronomen Sosigenes hin führte Julius Caesar deshalb in jedem vierten Jahr einen zusätzlichen Schalttag ein, wodurch das durchschnittliche Jahr 365 1/4 Tage lang werden sollte. Durch ein Mißverständnis aber zählten die Priester das vierte Jahr des einen Zyklus schon als das erste des nächsten, und so wurde jedes dritte Jahr zu einem Schaltjahr. Erst fünfzig Jahre später wurde dieser Fehler endgültig bereinigt.

Caesars Kalenderreform war nur einer unter vielen Versuchen der verschiedensten Kulturen, die Zählung der Tage mit den astronomischen Gegebenheiten des Jahreslaufs in Einklang zu bringen. Inzwischen gibt es eine bequeme Vergleichsmöglichkeit: Vor ungefähr zehn Jahren beschlossen Nachum Dershowitz und Edward M. Reingold von der Universität von Illinois in Urbana, das Textverarbeitungsprogramm GNU-Emacs, das unter einer Variante des Betriebssystems Unix läuft, mit Kalender- und Tagebuchfunktionen auszustatten. Aus diesem Projekt wurde ein Programmpaket, mit dem man Daten von einem Kalendersystem in ein anderes umwandeln kann. Im System sind 14 Kalender enthalten: der Gregorianische, derjenige der International Organization for Standardization (ISO), der Julianische, der koptische, der äthiopische, der islamische, der persische, der hebräische, der chinesische, der Baha'i-, der Maya-, der französische Revolutions- sowie der alte und der moderne Hindu-Kalender.

Woher kommt die große Variationsbreite? Sämtliche Kalender sind eigentlich zum Scheitern verurteilte Versuche, etwas Irrationales rational zu machen. Wenn man es ganz genau nimmt: etwas praktisch Irrationales. Jedenfalls sind die Verhältnisse, auf die es hier ankommt, nicht als Quotienten kleiner Zahlen auszudrücken. Deswegen gibt es auch keine eindeutig richtige Lösung, sondern nur verschiedene, zum Teil mehrfach abgeänderte Konventionen.

Unserer Zeitzählung liegen drei astronomische Rhythmen zugrunde: Tag, Monat und Jahr. Ein mittlerer Sonnentag – den wir in 24 Stunden einzuteilen pflegen – ist die durchschnittliche Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Höchstständen der Sonne. Die durchschnittliche Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Neumonden ist der mittlere synodische Monat; das sind genau 29,530588853 Tage. Die Zeit, die vergeht, bis die Sonne wieder genau an der gleichen Stelle des Sternenhimmels steht, ist das mittlere tropische Jahr; es dauert 365,242199 Tage. Diese krummen Zahlen sind es, die das Kalendermachen mühsam machen.

Wenn die Mondperiode 29,5 und das Jahr 365,25 Tage lang wären, würde der Mond seine Bewegung alle 59 (2×29,5) Tage exakt wiederholen und die Sonne alle 1461 (4×365,25) Tage. Alle 86199 (59×1461) Tage, das wären 4×59=236 Jahre, würde also das System aus Sonne, Erde und Mond wieder genau die gleiche Konfiguration erreichen. Ein Kalender mit dieser Periode würde mithin ewig im Takt bleiben (abgesehen von extrem langsamen Veränderungen, etwa der Abbremsung der Erdrotation durch gezeitenerzeugte Reibungseffekte). Zum Unglück für die Kalenderrechnung lassen sich jedoch die Verhältnisse zwischen Tages-, Monats- und Jahreslänge nicht mit hinreichender Genauigkeit durch Brüche mit relativ kleinen Zählern und Nennern ausdrücken. Deshalb werden Erd-, Mond- und Sonnenzyklus nie wieder, jedenfalls in historisch absehbarer Zeit, in genau derselben Phase sein wie heute.

In der Praxis orientieren deshalb die meisten Kulturen ihren Kalender an der Sonne und lassen die Mondphasen unberücksichtigt, oder umgekehrt. Mithin sind nur noch zwei Perioden in Einklang zu bringen. Selbst das geht aber nicht ohne kleine Fehler ab, die sich mit der Zeit anhäufen. Daher rührt der ganze Aufwand mit Schaltjahren, variablen Monatslängen und anderem Behelf.

Das einfachste Kalendersystem wäre, Sonne und Mond zu ignorieren und die Tage einfach durchzunumerieren, beginnend mit einem geeigneten, möglichst markanten Zeitpunkt. Die Astronomen halten es so mit ihrem Julianischen Datum: Wenn am 1. Dezember 1997 die Sonne durch den Meridian von Greenwich geht, beginnt der julianische Tag Nummer 2450784. Tag 1 dieser Zählung war der 1. Januar 4713 vor unserer Zeitrechnung, festgelegt von dem französischen, in Genf und Leiden lehrenden Mitbegründer der wissenschaftlichen Chronologie Joseph Justus Scaliger (1540 bis 1609). Seit 1957 gibt es freilich auch ein Modifiziertes Julianisches Datum, ausgehend vom 17. November 1858 null Uhr Weltzeit.

Dershowitz und Reingold nehmen statt dessen den 1. Januar im Jahre 1 des – bei uns gebräuchlichen – Gregorianischen Kalenders. Ihre Zeitrechnung nennen sie mit einem lateinischen Ablativ rata die ("nach berechnetem Tag"), abgekürzt R. D., und beziehen alle 14 Kalender darauf.

Tatsächlich gab es im Gregorianischen Kalender gar kein Jahr 1, denn der wurde erst 1582 von Papst Gregor XIII. eingeführt (Spektrum der Wissenschaft, Juli 1982, Seite 92). Man muß also rückwärts extrapolieren. Tag 1 R. D. war ein Montag, Tag 0 also ein Sonntag. Deswegen ist es bequem, die Wochentage, beginnend mit Sonntag, von 0 bis 6 durchzunumerieren.

Welche Art von Mathematik braucht man zum Kalenderrechnen? Hier zwei kleine Aufgaben zum Angewöhnen:

- Auf welchen Wochentag wird 1000000 R. D. fallen?

- Wie viele ganze tropische Jahre liegen zwischen 0 und 1000000 R. D.?

Für die erste Frage beachte man, daß die Wochentage im Siebenerzyklus wiederkehren. Also muß jede durch 7 teilbare R.-D.-Tageszahl ein Sonntag sein, jede, die beim Teilen durch 7 den Rest 1 läßt, ein Montag, und so weiter. Die Wochentagszahl ist also die R.-D.-Zahl modulo 7. Mit x modulo 7 bezeichnet man allgemein den Rest, der beim Teilen von x durch 7 übrig bleibt. Da nun 1000000=7×142857+1 ist, beträgt der Rest 1, wenn x=1000000 ist. Also ist 1000000 R. D. ein Montag.

Um die zweite Frage zu beantworten, teilt man 1000000 durch 365,242199 und erhält 2737,9093. Daraus schließen wir, daß zwischen dem Tag 0 und dem Tag 1000000 R. D. 2737 ganze tropische Jahre liegen – und mehr als zehn Monate, aber nach denen war nicht gefragt. Man muß also von dem soeben errechneten Quotienten die Ziffern, die hinter dem Komma liegen, weglassen. Für diese Aktion haben die Mathematiker ein eigenes Zeichen, die sogenannte Gauß-Klammer: [x] ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

Wie rechnet man nun ein Gregorianisches Datum, etwa den 24. Dezember 1997, in den R.-D.-Tag um? Erinnern wir uns an Papst Gregors Schaltjahresregel: Alle Jahre mit durch 4 teilbarer Jahreszahl bekommen einen zusätzlichen Schalttag, den 29. Februar, es sei denn, die Jahreszahl ist durch 100 teilbar, aber nicht durch 400. Dershowitz und Reingold zeigen, daß sich aus dieser Regel die Rechenvorschrift ergibt, die im Kasten erläutert ist. Mit der Monatszahl M=12, der Tageszahl T=24 und der Jahreszahl J=1997 erhalten wir a= 728540, b=499-19+4=484, c=336, d=-2 und e=24. Der R.D.-Wert dieses Tages ist also 728540+484+336 -2+24 =729382. Der Wochentag ist 729382 modulo 7=3, also fällt Heiligabend 1997 auf einen Mittwoch.

Für Tage, die in diesem Jahrhundert liegen, vereinfacht sich die Wochentagsberechnung so weit, daß man sie zur Not im Kopf durchführen kann. John S. Young aus Scottsdale (Arizona), Paul A. Delaney aus Laurel (Maryland) und Robert Eisenberg aus Joliet (Illinois) haben mir Varianten des folgenden Verfahrens mitgeteilt: Man nehme die Anzahl der vollen Jahre plus die Anzahl der Schalttage seit 1900 (einschließlich) modulo 7, dazu für jeden bereits abgelaufenen Monat des laufenden Jahres die Anzahl der Tage, die er mehr als 28 hat, modulo 7, plus schließlich die Tageszahl, ebenfalls modulo 7. Das Ergebnis liegt zwischen 0 und 6 und ist die Wochentagsnummer.

Das Prinzip dahinter ist: Wenn man eine große Summe modulo 7 (oder modulo irgend einer anderen Zahl) zu berechnen hat, ist es bequemer, nicht erst alle Summanden zu addieren und dann den Rest zu berechnen, sondern zu jedem Summanden den Rest zu berechnen und dann diese viel kleineren Zahlen zu addieren. Das Prinzip wird für Rechnungen mit großen Zahlen, etwa in der Kryptographie oder bei der Berechnung von PI, häufig angewandt (Spektrum der Wissenschaft, Mai 1995, Seite 50, und Mai 1997, Seite 10).

Eisenberg vermerkte auch, daß jede beliebige Kombination von Wochentag und Tageszahl (Beispiel: Freitag, der 13.) in jedem Jahr mindestens einmal vorkommt. Weiter zeigte er, wie man die Jahre mit der maximalen Anzahl von Freitagen findet, die auf einen 13. fallen. Ein solches Jahr ist 1998.

Peter Baum aus Onset (Massachusetts) hat eine vereinfachte Formel für die Berechnung des R.-D.-Datums gefunden. Die Grundidee ist, das Jahr am 1. März statt am 1. Januar beginnen zu lassen und sich dadurch die Fallunterscheidung mit dem Schalttag (d im Kasten) vom Halse zu schaffen. Einzelheiten teilt er gerne über e-mail mit (pbaum@capecod.net).

Um zu demonstrieren, welche Komplexität das Programm "Calendrical Calculations" mit Leichtigkeit bewältigt, betrachten wir den modernen persischen Kalender. Er wurde 1925 eingeführt, aber seine Zählung beginnt am 19. März des Jahres 622 unserer Zeitrechnung: dem Frühlingspunkt vor dem Beginn des islamischen Kalenders. Das persische Jahr hat 12 Monate. Die ersten sechs sind je 31 Tage lang, die nächsten fünf je 30 Tage; der letzte, der Esfand, hat in normalen Jahren 29 Tage und in Schaltjahren 30.

Das Schaltjahrmuster ist äußerst verwickelt; es folgt einem Zyklus von 2820 Jahren, in denen 683 Schaltjahre liegen. Die 2820 Jahre bestehen aus 21 Unterzyklen zu je 128 und einem mit 132 Jahren. Jeder 128-Jahre-Zeitraum wird weiter zerlegt in 29+33+33+33, der 132-Jahre-Zeitraum in 29+33+33+37 Jahre. In jedem dieser kürzeren Abschnitte sind die Jahre 5, 9, 13, und so weiter in Viererschritten, Schaltjahre.

Der persische Kalender weicht in jedem 2820-Jahres-Zyklus nur um 1,7 Minuten vom scheinbaren Lauf der Sonne ab. Erst nach 2,39 Millionen Jahren wäre also der erste außerplanmäßige Schalttag fällig.

Der alte hinduistische Sonne-Mond-Kalender folgt einem anderen Muster. Der Hauptzyklus ist 1577917500 Tage. Ein Jahr (genauer: das siderische Jahr arya) beträgt 1/4320000 dieser Zahl, das sind 365,258 Tage. Jeder Sonnenmonat ist 1/12 eines Jahres lang. Jeder Mondmonat beträgt 1/53433336 des 1577917500-Tage-Zyklus, also 29,531 Tage. Die Grundidee hinter dem Kalender ist, beide Monatsarten gleichzeitig nebeneinander herlaufen zu lassen. Hin und wieder ist dann zwangsläufig ein Mondmonat in einem Sonnenmonat zur Gänze enthalten; dieser wird dann als Schaltmonat betrachtet, und die Zählung der Mondmonate setzt einmal aus. So bleiben langfristig die Zählungen für Sonnen- und Mondmonate in Übereinstimmung (Bild 2).

Anders als die anderen Kalender beruht der chinesische nicht auf arithmetischen Regeln, sondern auf astronomischen Ereignissen. Die in "Calendrical Calculations" eingebaute Version ist die derzeit gültige von 1645. Die Monate sind Mondmonate, beginnend mit Neumond, und das Jahr enthält 12 oder 13 Monate. Die Zählung der Monate allerdings hängt vom Lauf der Sonne durch die Tierkreiszeichen ab. Das Sonnenjahr wird in 12 Hauptabschnitte unterteilt, die zhongqi, und 12 Nebenabschnitte, die jieqi. Jeder Abschnitt gehört zu einem 15-Grad-Segment auf der Ekliptik, wobei die Hauptabschnitte bei Vielfachen von 30 Grad beginnen und die Nebenabschnitte in den Lücken dazwischen liegen (Bild 1).

Eine Grundregel schreibt vor, daß die Wintersonnenwende immer im 11. Monat des Jahres liegen muß. In Jahren mit 12 ganzen Mondmonaten werden die Monate deshalb 12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 numeriert. In Jahren mit 13 Monaten wird eine dieser Nummern wiederholt, und zwar die des ersten Monats, der keinen Haupt-Sonnenabschnitt enthält. (Da es 13 Mondmonate und nur 12 Haupt-Sonnenabschnitte gibt, muß es wenigstens einen Mondmonat geben, der keinen ganzen Haupt-Sonnenabschnitt enthält.)

Wenn heutige Kalender schon so kompliziert sind: Was wird die Zukunft bringen? All die verschiedenen astronomischen Zyklen verändern langsam ihre Längen aufgrund von Gezeitenwirkungen. Außerdem ist die Präzession der Erdachse und damit die Wanderung des Frühlingspunktes zu berücksichtigen. Schließlich rotiert die Erde etwas langsamer, wenn größere Mengen von Wasser als Wolken in der Atmosphäre statt an der Oberfläche sind. Ein Kalender der Zukunft müßte also auch das Klima berücksichtigen.

Allzu viele Millionen Jahre in die Zukunft zu rechnen ist ohnehin vergebliche Mühe. Denn die Bewegung des Sonnensystems ist chaotisch, und wenn der – für die Kalenderberechnung so lästige – Mond nicht wäre, dann wäre alles noch viel schlimmer (Spektrum der Wissenschaft, September 1993, Seite 48).

Literaturhinweise

- Calendrical Calculations. Von Nachum Dershowitz und Edward M. Reingold. Cambridge University Press, 1997.

– Homepage für dieses Buch im WWW: http://emr.cs.uiuc.edu/home/reingold/calendar-book/index.html

Kasten: Zeitrechnung rata die

Um das R.-D.-Datum des Tages T im Monat M des Jahres J im Gregorianischen Kalender zu finden, addiere man die folgenden fünf Zahlen. Dabei bezeichnet [x] (die Gauß-Klammer) die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist: a=365(J-1) b=[(J-1)/4]-[(J-1)/100]+[(J-1)/400] c=[(367M-362)/12] d=0, falls M< =2; d=-1, falls M>2 und J ein Schaltjahr ist, d=-2 sonst. e=T Die Zahl a ist die Anzahl der Tage außer den Schalttagen in den vergangenen Jahren. b ist die Anzahl der Schalttage in den vergangenen Jahren (einer jedes vierte Jahr, wobei jedes 100. Jahr ausgelassen, aber jedes 400. wieder hinzugefügt wird). c ist ein handlicher Ausdruck für die Anzahl der Tage in den Monaten des Jahres J, die vor M liegen. Diese Formel zählt allerdings den Februar zu 30 Tagen; daher die Korrektur d. Die Zahl e ist die Anzahl der Tage im Monat M. Das sind die einzigen, die bisher nicht gezählt wurden.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 12 / 1997, Seite 10
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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