Direkt zum Inhalt

Kühe im Garten


Irrgärten – oder deren abstrakte Äqui- valente – kommen in der Mathematik häufiger vor, als Sie vielleicht denken (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, Juli 1994, Seite 10). Tatsächlich geht es schon bei jeder Suche nach einem Beweis – der Lieblingsbeschäftigung der Mathematiker – darum, einen Weg durch eine Art Irrgarten von Aussagen zu finden, wobei jeder Übergang von einer Aussage zur nächsten eine korrekte logische Schlußfolgerung sein muß (Spektrum der Wissenschaft, August 1997, Seite 32).

Robert Abbott aus Jupiter (Florida) hat einen neuartigen Irrgarten erfunden. Wie die Hecken-Labyrinthe mancher englischer Gärten enthält er Wege und Weggabelungen, die man auf ein Blatt Papier zeichnen kann. Aber zugleich ist er logischer Natur: Die Entscheidung ist nicht, ob man rechts oder links abbiegt, sondern komplizierter – zumindest in ihren Folgen schwerer zu durchschauen.

Schon vor fast 40 Jahren hatte Abbott ein Kartenspiel namens "Eleusis" erfunden. Einer der Spieler denkt sich eine Regel aus, hält sie geheim, und die anderen müssen sie erraten. Martin Gardner hat das Spiel im Juni 1959 und eine Weiterentwicklung im Oktober 1977 im Scientific American besprochen. Schon damals ging es um logische Verwicklungen und das psychologische Aha-Erlebnis.

Abbotts neuer Irrgarten beruht auf der logischen Selbstbezüglichkeit. Aussagen, die etwas über sich selbst aussagen, pflegen Logikern und Philosophen gehörige Kopfschmerzen zu bereiten. Ein bekanntes Beispiel ist das Paradoxon von Epimenides, einem Kreter, der behauptete, alle Kreter seien Lügner (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, März 1981, Seite 6, März 1982, Seite 10, und Februar 1994, Seite 14). In seinem abstrakten Kern läßt es sich auf die folgende paradoxe Behauptung zurückführen:

"Diese Aussage ist falsch."

Ist sie nun falsch oder nicht? In jedem Falle gerät man in einen Widerspruch. Das gleiche Dilemma können Paare von Aussagen erzeugen, die sich aufeinander beziehen, zum Beispiel:

"Der folgende Satz ist wahr."

"Der vorstehende Satz ist falsch."

Selbstbezüglichkeit ist ein wichtiges Forschungsgebiet der Logik. Mich allerdings interessiert vorrangig, daß man sie zur Konstruktion besonders verwirrender Irrgärten nutzen kann, wie Abbott es getan hat (Bild). Nicht nur die Texte in den Kästen sind selbstbezüglich; es ändern sich auch die Regeln in Abhängigkeit von dem Weg, den man nimmt.

Man durchläuft diesen Irrgarten mit zwei Spielfiguren zugleich oder – was auf dasselbe hinausläuft – mit einem Bleistift in jeder Hand. Am Anfang setzt man einen Stift auf Feld 1 und den anderen auf Feld 7. (Die Felder sind absichtlich nicht fortlaufend numeriert.) Es ist nun eine Folge von Zügen so auszuführen, daß wenigstens einer der Bleistifte am Ende auf das Feld "ZIEL" zeigt. Ein Zug besteht darin, daß man eines der beiden gerade besetzten Felder auswählt und die Anweisungen darin befolgt. In der Regel muß man die Frage im Feld beantworten, das Feld demgemäß durch den Ja- oder den Nein-Ausgang verlassen und dem entsprechenden Pfeil folgen. Das ist alles. Keine andere Wahl ist zu treffen, außer in Feld 55.

Nehmen wir beispielsweise an, Sie wählen im ersten Zug Feld 7. Die Antwort auf die zugehörige Frage ("Ist der andere Stift auf einem Feld mit ungerader Nummer?") lautet offenbar "Ja". Also muß der Bleistift von Feld 7 nach Feld 26 wandern.

Trivial und langweilig? Warten Sie's ab. Angenommen, Sie wählen nun Feld 26. "Wenn du den anderen Stift gewählt hättest: Würde er sein Feld durch den Nein-Ausgang verlassen?" Hmmm. Der andere Bleistift zeigt (immer noch) auf Feld 1. Hätten Sie ihn gewählt, wäre die Frage "Zeigt der andere Stift auf ein Feld mit rotem oder grünem Text?" zu beantworten. Feld 7 enthält roten Text; folglich hätte der Stift von Feld 1 den Ja-Ausgang nehmen müssen. Somit lautet die Antwort auf die Frage in Feld 26 "nein", und der Stift von Feld 26 geht nach Feld 55.

Einige Felder funktionieren etwas anders. Feld 61 enthält die Anweisung, beide Stifte zu bewegen, und der Zug ist erst nach beiden Wanderungen vollendet. Feld 55 hat statt des gewöhnlichen Nein-Ausgangs eine Hintertür. Das macht durchaus einen Unterschied, etwa wenn der andere Stift auf Feld 26 zeigt.

Die wirkungsvollsten Felder sind 60 und 65. Das eine ersetzt sämtliche rot geschriebenen Anweisungen durch die einfache Vorschrift "Verlasse das Feld durch den Ja-Ausgang"; ich nenne dies die Sechzigerregel. Das andere setzt die Sechzigerregel wieder außer Kraft. Was ist, wenn ein Stift auf Feld 60 zeigt und der andere auf Feld 65? Jedes Feld befiehlt, den Inhalt des jeweils anderen zu mißachten. Aber aus dieser indirekten Selbstbezüglichkeit ergeben sich keine Probleme, denn Sie müssen ja wählen, welches Feld maßgebend sein soll. Sie müssen in keinem Falle beide gleichzeitig beachten.

Einige Anweisungen scheinen auf den ersten Blick mehrdeutig zu sein. Beispielsweise wird in Feld 5 gefragt, ob der andere Stift auf Text zeigt, der das Wort "rot" oder das Wort "grün" enthält. Wenn der andere Stift auf Feld 1 zeigt, ist die Antwort zweifellos "Ja". Aber was ist, wenn auch der andere Stift auf Feld 5 zeigt, in dessen Text die Wörter "rot" und "grün" in Anführungszeichen stehen? Nach Abbotts Auffassung spielen die Anführungszeichen keine Rolle, die Frage ist also zu bejahen. Ferner ist in Feld 50 gefragt, ob der andere Stift auf Text zeigt, der sich auf Kühe bezieht. Aber das Wort "Kühe" kommt in keinem anderen Feld vor. Wenn also beide Stifte auf Feld 50 zeigen, dann können Sie ins Ziel ziehen – es sei denn, Sie wenden ein, daß der Text von Feld 50 sich nicht auf Kühe als solche bezieht (sondern allenfalls auf Text, der sich auf Kühe bezieht). Aber wenn Sie sich erst auf solche kleinlichen Spitzfindigkeiten einlassen, kommen Sie aus dem Irrgarten nie heraus.

Wahrscheinlich sind Sie jetzt davon überzeugt, daß Sie das Ziel nur erreichen können, wenn Sie beide Stifte zugleich auf Feld 50 bringen. Das wäre richtig, wenn es Feld 60 nicht gäbe. Falls Sie jedoch einen Bleistift nach Feld 50 bringen, während die Sechzigerregel in Kraft ist, sind Sie dem Irrgarten entronnen – einerlei, wohin der andere Bleistift zeigt.

Es gibt sogar noch einen weiteren denkbaren Weg zum Ziel. Können Sie ihn finden?

Die verzwickteste denkbare Situation liegt vor, wenn beide Stifte auf Feld 26 zeigen. Auf dessen Frage gibt es dann keine klare Antwort. Aber Abbott hat seinen Irrgarten listig so eingerichtet, daß diese Situation nur eintreten kann, wenn die Sechzigerregel in Kraft ist. Dann aber ist der Text in Feld 26 ohnehin zu mißachten. Zeigen beide Bleistifte auf Feld 61, kann ebenfalls keine Unklarheit aufkommen.

Und jetzt sollten Sie einfach ohne weitere Hilfe einen Weg suchen. Wenn Sie nicht ziellos herumprobieren wollen, haben Sie mehrere Möglichkeiten: Sie können nach gewissen, für die Lösung wesentlichen Eigenschaften des Irrgartens suchen; beispielsweise muß, damit Sie das Ziel erreichen können, ein Stift auf Feld 50 zeigen, und die Situation muß so sein, daß der Ja-Ausgang zu wählen ist. Ein anderer Trick besteht darin, sich von einer wünschenswerten Stellung aus rückwärts zu arbeiten.

Viel Spaß!

Literaturhinweis

Supermazes. Von Robert Abbott. Prima Publishing, Rocklin (Kalifornien) 1996

Kasten: Hinweise

Haben Sie alles versucht und kommen nicht weiter? Hier sind einige Hilfen: – Um zum Ziel zu gelangen, müssen Sie die Position (50,50) erreichen, in der also beide Bleistifte auf Feld 50 zeigen; dabei darf die Sechzigerregel nicht in Kraft sein. Die beiden anderen im Prinzip denkbaren Strategien lassen sich nicht realisieren. – Um (50,50) zu erreichen, müssen Sie zuerst nach (35,35) gelangen. Dann sind es noch 18 Züge bis zum Ziel. – Um (35,35) zu erreichen, müssen Sie auf (61,75) kommen und Feld 61 für den nächsten Zug auswählen. Dann wandern beide Stifte nach Feld 1. Aus dieser Stellung gelangt man leicht nach (35,35). – Es gibt viele Möglichkeiten, aus der Startposition (1,7) nach (61,75) zu gelangen. Bei allen müssen Sie die Sechzigerregel aktivieren und später durch Feld 65 wieder außer Kraft setzen. Hat das immer noch nicht geholfen? Hier ist eine Lösung. Bei jedem der aufgeführten Paare kennzeichnet die rote Zahl das Feld, das für den nächsten Zug zu wählen ist. Ein Stern zeigt an, daß die Sechzigerregel in Kraft ist. (1,7), (1,26), (2,26), (15,26), (26,40), (26,60), (55,60), (25,55)*, (7,55)*, (26,55)*, (55,61)*, (15,61)*, (40,61)*, (61,65)*, (61,75), (1,1), (1,9), (1,35), (9,35), (35,35), (35,40), (35,60), (25,35)*, (7,35)*, (26,35)*, (35,61)*, (1,35)*, (9,35)*, (2,35)*, (15,35)*, (5,35)*, (5,40)*, (25,40)*, (25,65)*, (25,75), (50,75), (50,50), Ziel.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 9 / 1997, Seite 12
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

Lesermeinung

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Leserzuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Leserzuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmer sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Lesermeinungen können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!