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Poolbillard mit Hindernissen

Wenn von den fünfzehn farbigen Poolbillard-Kugeln eine zerstört wird, wie kann man dann noch die Spielregeln einhalten? Am sichersten ist es, zwölf weitere zu zerschlagen.

Karl Nodruff setzte sorgfältig das Queue zu einem komplizierten Stoß an: hart, schräg von oben und mit viel Effet, damit der Anstoßball den Haufen entlanglief, die Bande touchierte und dann...

Hugo Egon Später, der Geschäftsführer der großen Poolbillard-Halle, blickte aus einer hinteren Zuschauerreihe hinab. Alles war bereit für die erste Fernsehübertragung des Wettbewerbs "Ein Loch für Europa" im Spiel-Spaß-Sport-Programm des neuen Senders Pro 777. Nodruffs letzte Trainingsrunde ging dem Ende zu. Bis zum Beginn der Sendung war noch eine halbe Stunde Zeit.

Nodruff holte langsam aus und stieß entschlossen zu. Die weiße Kugel schoß schief davon, traf am Rande eines Seitenlochs die Bande, rotierte wild auf dem grünen Tuch und fuhr dann in die Gruppe der farbigen Kugeln. Durch ein unerforschliches Phänomen der chaotischen Dynamik wurde eine von ihnen nach oben geschleudert, schoß in hohem Bogen über den Spieltisch hinaus und knallte auf den Boden.

"Vorsichtig!" schrie Später. "Diese Kugeln sind Spezialanfertigungen, damit sie glänzen, aber das Scheinwerferlicht nicht reflektieren. Wir haben nur diesen einen Satz, und sie kosten mich ein Vermögen!"

"Tut mir leid", entgegnete Nodruff. "Ist ja nichts passiert."

Der Schiedsrichter bereitete das erste Spiel vor. Auf die entsprechende Markierung des Tisches legte er einen Holzrahmen in Form eines gleichseitigen Dreiecks und begann, die fünfzehn farbigen Spielkugeln dicht gepackt hineinzulegen. Doch dabei zerbröselte plötzlich eine in seiner Hand.

Nach einer Sekunde der Sprachlosigkeit brach eine wilde Diskussion los: Anschuldigungen, Unschuldsbeteuerungen, Beleidigungen. Später befürchtete, Spiel und Sendung absagen zu müssen. Und damit stand sehr viel Geld auf dem Spiel.

Herbert Häcker, Nodruffs Gegner in der ersten Runde, machte schließlich zur Güte den unkonventionellen Vorschlag, mit vierzehn statt fünfzehn Kugeln zu spielen.

"Ist das erlaubt?" fragte Später.

"Wir spielen nach den offiziellen Pro-777-Regeln, nicht wahr? Paragraph 755 b Absatz 2 besagt, daß der Schiedsrichter in Ausnahmefällen Spielvarianten mit weniger Kugeln erlauben kann."

"Was ist das für ein Unfug?"

"Relikt aus alten Zeiten. Früher wurde Poolbillard in finsteren Stadtvierteln gespielt; dort kamen oft Kugeln abhanden, wenn eine Partei, für die es schlecht stand, damit den Spielabbruch erzwingen wollte. Daher die Regel."

"Schon recht", sagte der Schiedsrichter. "Nur: Nach Paragraph 42 c Absatz 9 müssen die Kugeln stramm in das hölzerne Dreieck passen. Wenn eine fehlt, wird das wohl nicht mehr gehen."

"Dann machen wir das Dreieck eben kleiner", schlug Häcker vor.

"Was?"

"Keine Vorschrift sagt, wie groß das Dreieck sein muß, oder?"

"Hm – nein. Es muß natürlich aus abgelagertem malaysischem Tigerholz gefertigt sein, aber wir könnten alte, defekte Dreiecke aus dem Keller ausschlachten. Fragen wir den Schreiner -"

"Es ist nur schade", unterbrach Später, "daß wir nicht wissen, welche Größe das neue Dreieck haben muß, so daß sich genau vierzehn Kugeln dicht hineinpacken lassen."

"Und wenn man bedenkt, daß eine Kugel sich gerade von selbst aufgelöst hat..." begann Nodruff.

"Die haben Sie kaputtgemacht."

"Wenn man bedenkt, daß sie sich von selbst aufgelöst hat", begann Nodruff unbeirrt von neuem, "würde ich an Ihrer Stelle gleich einen ganzen Satz von Dreiecken anfertigen lassen, so daß wir für jede Anzahl von Kugeln, von eins bis vierzehn, ein passendes haben. Nur für den Fall, daß noch weitere Kugeln während des Spiels zerfallen..."

"Guter Vorschlag", lenkte Später ein. "Ich werde mit dem Schreiner reden. Wie groß soll er die Dreiecke machen?"

"Der ist doch ein abgebrochener Mathematikstudent. Das wird er schon herausfinden."

"Na schön."


Man maximiere das Minimum

Hugo Egon Später fand den Schreiner im Keller, wo er einige Queues reparierte, und erklärte ihm das Problem. "Oh. Das ist nicht ganz einfach", erwiderte der. "Man weiß zwar schon einiges über derartige geometrische Probleme. Aber ich bin nicht sicher, ob wir damit auskommen. Passen Sie auf: Es geht darum, eine Anzahl Punkte so in einem gleichseitigen Dreieck zu verteilen, daß der minimale Abstand zwischen ihnen maximal wird." "Was? Wie kann man ein Minimum maximieren?" "Setzen Sie erst einmal in Gedanken die Punkte irgendwie in das Dreieck. Schauen Sie sich alle Entfernungen zwischen je zweien an und von denen die kleinste. Dann versuchen Sie, die Punkte so gegeneinander zu verschieben, daß diese kleinste Entfernung größer wird. Das machen Sie so lange, bis es nicht größer geht. Dann haben Sie den minimalen Abstand maximiert." "Aha. Aber wieso sprechen Sie die ganze Zeit von Punkten? Wir müssen doch Kugeln in das Dreieck packen." "Das läuft auf dasselbe hinaus. Schauen Sie sich die Sache genau von oben an. Dann geht es darum, Kreise in ein gleichseitiges Dreieck zu packen. Die Kreise dürfen nicht über das Dreieck hinausragen; also müssen ihre Mittelpunkte in einem kleineren Dreieck liegen, das innerhalb des ersten liegt und allseits einen Kugelradius kleiner ist" (Bild 1 links). Er fuhr fort: "Dann muß man nur noch darüber nachdenken, wo die Punkte in dem kleineren Dreieck liegen müssen. Die Kugeln dürfen sich nicht überlappen. Also müssen ihre Mittelpunkte wenigstens einen Kugeldurchmesser auseinanderliegen. Das Problem läuft also letztlich darauf hinaus, die Mittelpunkte in dem kleineren Dreieck so zu plazieren, daß ihr gegenseitiger Abstand maximal ist." "Ach so. Aber wenn man es so macht, ist die Seitenlänge des Dreiecks fest und der Kugeldurchmesser variabel. Bei uns haben die Kugeln dagegen eine feste Größe, und wir müssen die Abmessungen des Dreiecks verändern." "Das ist dasselbe, nur aus einer anderen Perspektive. Ich kann das Ergebnis nachträglich immer so vergrößern oder verkleinern, daß der minimale Abstand der Punkte gleich dem Durchmesser einer Kugel ist; daraus ergibt sich die Größe des Dreiecks. Es ist nur leichter, sich ein festes Dreieck zu denken und die Entfernungen herauszufinden." "Wenn Sie meinen. Ich schätze, die erste Aufgabe ist, einen Punkt in das Dreieck zu packen?" "Nun, ähm, das ist – ein Spezialfall. Dann schrumpft nämlich das innere Dreieck zu einem Punkt zusammen. Aber es ist doch klar, daß die größte Kugel, die in ein gleichseitiges Dreieck von der Seitenlänge 1 hineinpaßt, den Radius hat." "Ich glaub's Ihnen", sagte Nodruff, der soeben den Keller gefunden hatte. "Die Leute von Pro 777 werden langsam nervös, Hugo Egon." "Die sollen sich nicht aufregen", sagte Später mit gespielter Zuversicht. "Der Meister hier hat die Sache im Griff." "Ach ja?" fragte Nodruff und machte sich wieder davon.

Plausible Vermutungen

Der Schreiner fuhr unbeirrt fort: "Für bis zu zwölf Punkte und für die offizielle Anzahl fünfzehn ist die beste Packung bekannt – nachweisbar" (Bild 1 rechts). "Für dreizehn und vierzehn Punkte gibt es allerdings nur ziemlich überzeugende Vermutungen über die bestmöglichen Anordnungen, aber eben keine Sicherheit. Dasselbe gilt für siebzehn und neunzehn Punkte" (Bild 2). "Und was kommt heraus?" wollte Später endlich wissen. "Kann man ausrechnen" (Bild 3). "Und wie beweist man das?" fragte Später. "Ich muß nämlich absolut sicher sein. Sonst könnte das Turnier für ungültig erklärt werden, und Pro 777 zahlt nichts für die Übertragungsrechte." "Na ja; am einfachsten ist es, wenn man eine geeignete Zerlegung des Dreiecks findet. Man teilt es in verschiedene Gebiete auf und überlegt sich, wie die Punkte auf die einzelnen Gebiete verteilt sein müssen." "Das ist aber schwierig." "So schlimm ist es gar nicht. Angenommen, Sie teilen das Dreieck in drei gleiche Gebiete auf (Bild 4 a). Wenn n=4 ist, müssen in mindestens eins der Gebiete – den Rand eingeschlossen – zwei Punkte fallen. Daraus folgt, daß der maximale Minimalabstand höchstens so groß sein kann wie der Durchmesser der Gebiete, also . Und um diesen Wert überhaupt zu erreichen, muß man einen Punkt in den Mittelpunkt des Dreiecks legen und den anderen in eine Ecke. Dann aber müssen die beiden übrigen Punkte auch in Eckpunkten des Dreiecks liegen, und wir erhalten die optimale Lösung (Bild 1 rechts, c). Zusätzlich haben wir gezeigt, daß die optimale Anordnung in diesem Falle eindeutig bestimmt ist." Der Schreiner kam richtig in Fahrt. "Für n=7 kann man eine etwas andere Zerlegung verwenden" (Bild 4 b). "Merkwürdigerweise ist die Lösung für n=7 nicht mehr eindeutig, und das ist die erste Zahl, für die das passiert. Und bei zwölf Punkten..." "Schon gut", unterbrach Später. "Ich bin überzeugt davon, daß Sie wissen, wovon Sie reden. Bauen Sie jetzt lieber die Dreiecke." Der Schreiner machte sich an die Arbeit und sägte die Seiten für das 2-Kugel-Dreieck zu. "Geht das nicht vielleicht ein bißchen schneller?" "Gut Ding will Weile haben. – Ach, Herr Später, was machen wir mit den Werten, die nur vermutet werden?" "Ach ja... Zerbrechen Sie sich darüber nicht den Kopf. Hm – welche Zahlen waren das doch gleich?" "Dreizehn und vierzehn sind die einzigen, die in Ihrem Spiel berücksichtigt werden müssen." "Das ist ärgerlich! Wir haben gerade vierzehn Kugeln, und wenn nur noch eine sich verabschiedet, haben wir dreizehn. Ironie des Schicksals!" "Es kommt noch viel ironischer." "Und zwar?" "Der vermutete Wert für n=14 ist der gleiche wie für n=15. Sie müssen aus der üblichen Anordnung nur eine Kugel herausnehmen." "Das heißt..." "...daß Sie für vierzehn Kugeln fast mit Sicherheit dasselbe Dreieck brauchen wie für fünfzehn. Sie können also das nehmen, was Sie schon haben." Später atmete durch. "Wenn also nicht noch mehr Kugeln kaputtgehen und die Vermutung für n=14 stimmt..." "... hätten wir gar nichts tun müssen." Später blickte auf seine Uhr. "Das ist wahrscheinlich die Rettung." "Wieso?" "Weil in dreißig Sekunden die Sendung beginnt." Er sprang auf. Der Schreiner schlug den letzten Nagel ein. "Das 2-Kugel-Dreieck", sagte er stolz und hielt es gegen das Licht, um die Winkel zu überprüfen. Später machte kehrt. "Geben Sie's mir!" "Aber warum?" "Die Dreiecke für drei bis dreizehn Kugeln werden Sie nicht mehr schaffen." "Richtig." "Wenn noch eine Kugel zerbröselt..." "... dann haben Sie ein Problem." "Nein. Ich bin lange genug in diesem Geschäft. Ich schlage dann einfach noch elf weitere zu Pulver." Später hielt triumphierend das 2-Kugel-Dreieck hoch und raste, immer drei Stufen auf einmal, die Kellertreppe hoch. Ehe die Tür ins Schloß fiel, hörte der Schreiner noch die ersten Worte der Ansage.

Literaturhinweise

- Unsolved Problems in Geometry. Von H. T. Croft, K. J. Falconer und R. K. Guy. Springer, Berlin 1991.

– On Partition of an Equilateral Triangle. Von R. L. Graham in: Canadian Journal of Mathematics, Band 19, Seiten 394 bis 409, 1976.

– Densest Packings of Congruent Circles in an Equilateral Triangle. Von Hans Melissen in: American Mathematical Monthly, Band 100, Seiten 916 bis 925, 1993.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 7 / 1995, Seite 12
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH

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