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Serie Mathematik (Teil I)

"Wer die Zetafunktion kennt, kennt die Welt"

Es gibt eine einzige Funktion, die alle Eigenschaften der Primzahlen in sich zusammenfasst. Wer sie kennt, kann weit reichende Aussagen treffen. Die aber hängen von einer Behauptung ab, die seit 150 Jahren jedem Beweisversuch trotzt.
Zetafunktion
Bernhard Riemann vollbrachte in seinem kurzen Leben eine Fülle der erstaunlichsten mathematischen Leistungen. Er beeindruckte Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855), schon zu Lebzeiten die unangefochtene Autorität der Mathematik, mit völlig neuen topologischen Methoden in der komplexen Analysis und der heute nach ihm benannten riemannschen Geometrie. Hinzu kamen herausragende Arbeiten zur Differenzialgeometrie, zu den in den Naturwissenschaften so wichtigen Differenzialgleichungen, Abhandlungen über mathematische Physik, eine theoretische Fundierung des Integrationsbegriffs und vieles mehr.

Nur ein einziger Artikel aus der Feder Riemanns befasst sich mit der Zahlentheorie: "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe". Gleichwohl legt er von der Genialität seines Verfassers ein beeindruckendes Zeugnis ab. Seiner Zeit weit voraus, enthält er viele Vermutungen, die erst einige Jahrzehnte später bewiesen wurden; über eine weitere schrieb Riemann lapidar:

"Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indessen die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien."

Der Beweis, den Riemann "vorläufig bei Seite gelassen" hatte, fehlt bis heute…
September 2008

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft September 2008

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In der Abbildung auf S. 87 ist leider die grün eingezeichnete kritische Gerade im Produktionsprozess verlorengegangen. Abhilfe mit Hausmitteln: Zeichnen Sie die Parallele zu der vertikalen Achse, die durch den ersten Skalenstrich rechts von der Null auf der horizontalen Achse geht (entsprechend dem Realteil 1/2). Das ist die kritische Gerade: Sie trifft die kleinen blauen Teiche alle in der Mitte.