Direkt zum Inhalt

23 Münzen im Quadrat

23 Kreise und ein Quadrat

In diesem Rätsel sollen Sie nicht 24, sondern 23 Kreise in ein möglichst kleines Quadrat packen. Finden Sie die optimale Lösung?

Die Lösung ist von wunderbarer Symmetrie.

Das ist die optimale Lösung:

Auf den ersten Blick sieht das eher etwas unordentlich aus, aber sehen Sie sich die Polygone zwischen den Mittelpunkten an.

\(23\) ist nämlich (auch) \(= 1 + 6 + 12 + 4\). Wir finden nicht nur um die Mitte je ein reguläres Sechseck, Zwölfeck und (ganz außen:) ein Quadrat, sondern auch noch in den Ecken die Quadrate mit den Kreis-Nummern \(1-11-21-14\), \(1-14-22-17\), \(1-17-23-8\) und \(1-8-20-11\). Zwischen dem Sechseck und dem Zwölfeck findet sich ein Kranz aus sechs gleichseitigen Dreiecken und sechs Quadraten.

Außer den beiden gleichseitigen Dreiecken mit den Nummern \(4-11-21\) und \(7-17-23\) finden sich noch zwölf weitere dieser Größe, allesamt mit der 1 als einer Ecke. Außer den Rechtecken, die sich aus den genannten Quadraten zusammensetzen, finden wir auch noch die zum Rahmen parallel ausgerichteten Rechtecke \(13-15-(6)-19-9-(3)\) (deren Seiten durch die eingeklammerten Punkte gehen) und \(12-(4)-16-18-(7)-10\). Die ganze Figur ist (nur) zweizählig punktsymmetrisch zur Mitte und ist daher nur eine von zwei gleichwertigen – und zueinander spiegelbildlichen – optimalen Lösungen des Problems.

  • Quellen
K. J. Nurmela, P. R. J. Östergård: More Optimal Packings of Equal Circles in a Square. Discrete Comput Geom 22:439–457 (1999)

Partnervideos