Hemmes mathematische Rätsel: Der Kreis im Würfel
Den größten Kreis zu finden, den man in ein Quadrat der Seitenlänge 1 zeichnen kann, ist eine lächerlich einfache Aufgabe. Man sieht auf den ersten Blick, dass er den Radius 1⁄2 haben muss.
Deutlich schwieriger wird das Problem, wenn man von der zweiten in die dritte Dimension geht. Welchen Radius hat der größte Kreis, den man vollständig in Inneren eines Würfels der Kantenlänge 1 unterbringen kann? Wer diese Frage als erster stellte und wer sie zuerst beantwortete, ist nicht überliefert. Sie ist aber sicherlich schon mehrere Jahrhunderte alt.
Wem dieses Problem zu einfach ist, der kann ja einmal versuchen, herauszubekommen, welchen Radius der größte Kreis hat, den man vollständig in einen vierdimensionalen Würfel der Kantenlänge 1 legen kann.
Schneidet man einen Würfel der Kantenlänge 1 so durch, wie es die Abbildung zeigt, werden sechs der zwölf Kanten halbiert. Die Schnittfläche ist ein regelmäßiges Sechseck, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt des Würfels zusammenfällt. Die Sechseckkanten schneiden von den Würfelflächen rechtwinklige Dreiecke ab, die die Seitenlängen 1⁄2, 1⁄2 und a haben. Mit dem Satz des Pythagoras kann man die Länge der Sechseckkanten zu a = 1⁄2√2 berechnen.
Der Inkreis dieses Sechsecks ist der größte Kreis, den man in einem Würfel unterbringen kann. Das Sechseck setzt sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge a zusammen. Die Höhe r dieser Dreiecke ist der Radius des Inkreises. Sie kann man dem Satz des Pythagoras bestimmt werden und beträgt r = 1⁄2a√3. Setzt man in diese Gleichung den zuvor bestimmten Ausdruck für a ein, wird daraus r = 1⁄4√6 ≈ 0,612.
Übrigens hat der größte Kreis, den man vollständig in einen n-dimensionalen Einheitswürfel stecken kann, den Radius r = √(n/8), wobei n = 2, 3, 4, 5, … ist.
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