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Der Pavillon-Grundriss

Treitz-Rätsel

Ein Museum für moderne Kunst hat einen kleinen Pavillon mit einem unregelmäßigen Sechseck als Grundriss. In ihm befinden sich 3 Quadrate (mit anders gefärbtem Bodenbelag) mit den Flächen 18 m2, 20 m2 und 26 m2.

Die Gesamtfläche kann man leicht (mit einer Skizze) im Kopf berechnen, wenn man beachtet, dass die genannten Zahlen jeweils die Summen aus zwei Quadratzahlen sind.

Mit den Aufteilungen 18 = 32 + 32, 20 = 42 + 22 und 26 = 52 + 12 findet man, dass alle Quadratecken in ein 1-Meter-Raster passen.

Am einfachsten bestimmt man nun (fast durch Abzählen der Rasterquadrate und ihrer Bruchteile) die Flächen, die zwar zum ganz großen Quadrat, aber nicht zum Grundriss des Pavillons gehören. Es ergibt dann für den Pavillon 144 – 44 = 100 Quadratmeter.

Übrigens gibt es in Bottrop ein dem Künstler und Bauhausmeister Josef Albers gewidmetes Museum, das in seinem Grundriss die Lieblingsfigur von Albers aufgreift und darum "Das Quadrat" heißt.

Leserin Laura bemerkt, dass alle vier Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben. Das sieht man mit Hilfe des Kreuzprodukts aus der Linearen Algebra: \(a \times b\) ist ein Vektor, der zu \(a\) und \(b\) rechtwinklig ist und dessen Länge gleich der Fläche des von \(a\) und \(b\) aufgespannten Parallelogramms ist. Oder in Formeln: \(|a \times b| = |a| \cdot |b| \cdot \sin\gamma\), wobei \(\gamma\) der Winkel zwischen \(a\) und \(b\) ist. Das Dreieck hat die halbe Fläche des Parallelogramms ... voilà!

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