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Ganz schön spitz

Treitz-Rätsel

Kurt Kniffel bietet an, dass er ein beliebig spitzes und dabei exakt rechtwinkliges Dreieck mit drei ganzzahligen Seitenlängen "zu Fuß" (mit Bleistift und Papier, ohne Rechner) ausrechnen kann. Damit wir nicht so viel schreiben müssen, begnügen wir uns mit einem Längenverhältnis der Katheten von rund 1:1000, das ist schon ziemlich spitz.

Kurt gibt auch einen Trick preis: Wie man leicht nachrechnet, gilt für zwei beliebige Zahlen \(p\) und \(q\) die Gleichung \((p\cdot q)^2 + ((p^2 – q^2)/2)^2 = ((p^2 + q^2)/2)^2\;.\)

Wenn \(p\) und \(q\) ganze Zahlen sind und ihre Summe gerade, sind auch

  • \(a = p\cdot q,\)
  • \(b = (p^2 – q^2)/2\) und
  • \(c = (p^2 + q^2)/2\)

ganzzahlig und liefern wegen \(a^2 + b^2 = c^2\) (bitte nachrechnen) ein rechtwinkliges Dreieck. Kurt wählt \(p = 2001\) und \(q = 1\) und bekommt

  • \(a = 2001\)
  • \(b = 2002000\) und
  • \(c = 2002001\),

was man ebenfalls ohne große Mühe nachrechnen kann, obwohl es ja eigentlich gar nicht mehr nötig ist:

  • \(a^2 = 4004001\),
  • \(b^2 = 4008004000000\) und
  • \(c^2 = 4008008004001.\)

Das Dreieck ist also ziemlich genau 1000-mal so lang wie breit, und die längere Kathete ist um fast genau ein Zweimillionstel kürzer als die Hypotenuse.

Wenn jemand von Kurt noch spitzere pythagoreische Dreiecke (das heißt rechtwinklige mit ganzzahligen Seitenlängen) verlangt, fügt er einfach noch ein paar Nullen ein, zum Beispiel p = 20001 oder 20000000000001, die Rechnung wird nicht schwerer, nur das Schreiben (und Zählen) der vielen, vielen Nullen.

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