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Stern aus 60 gleichseitigen Dreiecken

656 Faltbarer Sternpolyeder

Bauen Sie bitte ein Sternpolyeder aus 60 gleichseitigen Dreiecken, indem Sie die Flächen eines regulären Dodekaeders durch je 5 Pyramidenseitenwände nach innen ersetzen. Verwenden Sie dazu für Flächen, die in ein und derselben Ebene liegen oder zueinander parallel sind, jeweils die gleiche Farbe. Wie viele Farben sind das?

Betrachten Sie dabei auch eine bestimmte Sorte von Diagonalen im Dodekaeder.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

So wie dieses Polyeder konstruiert ist, hat es 60 gleichseitige Dreiecke, 90 gleich lange Kanten (davon 30 zugleich solche des Dodekaeders) und 20 + 12 = 32 Ecken, nämlich die 20 Ecken (außen) des Dodekaeders und innen 12 eines kleinen Ikosaeders.

Es handelt sich um ein nichtkonvexes Deltaeder (Polyeder aus gleichseitigen Dreiecken), und zwar von der eher regelmäßigen Art. Der britische Mathematiker und Pädagoge Martyn Cundy (1913–2005) hat 1952 gezeigt, dass es genau 17 nichtkonvexe Deltaeder mit zwei Arten von Ecken gibt.

Welche unter den 60 Flächen sind nun parallel oder gar komplanar (in einer gemeinsamen Ebene liegend)?

Je 3 Kanten des Dodekaeders und 3 Flächendiagonalen bilden zusammen ein ebenes, gleichwinkliges, aber nicht gleichseitiges Sechseck, das durch Raumdiagonalen des Dodekaeders in mehrere Teile zerlegt wird: 3 gleichseitige Dreiecke mit der Kantenlänge des Dodekaeders, 3 Trapeze und ein zentrales gleichseitiges Dreieck, das eine Fläche des kleinen inneren Ikosaeders ist.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Damit liegen je drei der Flächen des Deltaeders und eine des Ikosaeders in einer gemeinsamen Ebene, parallel dazu wiederholt sich dieses alles auf der Rückseite. Man kann daher das Deltaeder auch als eine "Versternung" ("Stellation") des Ikosaeders auffassen: Jede Fläche des Ikosaeders wird in ihrer Ebene erweitert. Damit ist es eine der 59 Stellationen des Ikosaeders aus dem Buch von Coxeter et al., und zwar die mit der Nummer 26 und der Bezeichnung "ef1g1". So gesehen sind die drei komplanaren Dreiecke des Deltaeders eine einzige Fläche, die ihresgleichen druchdringt. Baut man das Polyeder aus Karton mit 10 verschiedenen Farben, jeweils 3 komplanare und die 3 zu ihnen parallelen Flächen mit der gleichen Farbe, so wird dieses Polyeder zu einem ausgesprochen schönen Gegenstand.

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  • Quellen

Martyn Cundy: Deltahedra. Mathematical Gazette 36, 163 (1952)

H. S. M. Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather and J. F. Petrie: The Fifty-Nine Icosahedra. Third, revised edition. Tarquin Publications, 2011

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