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Vollkommene Zahlen

Treitz-Rätsel
Eine natürliche Zahl wird vollkommen (oder perfekt) genannt, wenn sie halb genau so groß ist wie die Summe ihrer Teiler (oder so groß wie die Summe ihrer "echten" Teiler, womit dann alle außer der Zahl selbst, aber ebenfalls mitsamt der 1 gemeint sind).

Die einfachsten vollkommenen Zahlen sind 6 = 1 + 2 + 3 und 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Euklid fand ein erstaunlich einfaches Rezept zum Auffinden vollkommener Zahlen:

Sind n und 2n–1 prim, so ist 2n–1·(2n – 1) vollkommen.

Zeigen Sie das bitte, evtl. mit einem grafischen Beweis (mit Flächen als Darstellungen von Produkten).
Stellen Sie das Produkt zweier Zahlen als Rechteck dar.

Die Zeichnung zeigt den Beweis zunächst für n = 5, man kann ihn aber leicht auf kleinere oder größere n verallgemeinern. Die blaue Fläche stellt ein Produkt dar aus einer Primzahl p und einer Potenz von 2, wir nennen sie 2n–1. Die dunkelgelben Rechtecke sind die Potenzen von 2, die hellgelben und die blaue jeweils das p-Fache von ihnen. Alle (hell + dunkel-) gelben sind die "echten" Teiler. Ihre Summe ist gleich der blauen Fläche genau dann, wenn die grüne Fläche gleich der dunkelgelben ist. Wegen der Tatsache, dass 1 + 3 + 7 + ... + 2n–1 = 2n ist, ist das der Fall, wenn die Primzahl p = 2n-1 ist. Damit ist der Beweis, den schon Euklid in anderer Form beschrieben hat, fertig.

Man kann sogar zeigen, dass alle geraden vollkommenen Zahlen in dieser Form darstellbar sind. Ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist nicht bekannt.

Hier noch eine etwas weiter gehende Tabelle vollkommener Zahlen und zugehöriger Mersenne-Primzahlen:

n
(2n–1)(2n–1)
2n-1
2
6
3
3
28
7
5
496
31
7
8128
127
13
33550336
8191
17
8589869056
131071
19
137438691328
524287
31
2305843008139952128
2147483647

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