Direkt zum Inhalt

Zwölf Münzen

Treitz-Rätsel
Von zwölf Münzen haben elf das gleiche Gewicht und nur eine ein abweichendes. Mit nur drei Wägungen mit einer zeigerlosen Waage soll ermittelt werden, welche die "falsche" Münze ist und ob sie zu leicht oder zu schwer ist. Geht das überhaupt? Falls es wider Erwarten tatsächlich gehen sollte: Wie macht man es? Die Waage kann jeweils eins von drei möglichen Ergebnissen zeigen: links, rechts oder "neutral" (im Gleichgewicht).
Wie viele Möglichkeiten liefern 3 Wägungen? Wie viele können bei den Münzen auftreten? Planen Sie daraus, wann Sie welche Münzen auf welche Waagschale legen wollen.

Geben wir zunächst den Münzen Namen von A bis L. Die gesuchte Antwort besteht in dem Namen der falschen Münze und dem Vorzeichen der Abweichung (+ oder –), es gibt also 24 Möglichkeiten (4,58 bit). Drei Wägungen liefern 27 Möglichkeiten (4,74 bit), es muss also nicht unmöglich sein.

1.
links
neutral
rechts
2.
links
neutral
rechts
links
neutral
rechts
links
neutral
rechts
3.
A
+
B
C
+
D
E
+
F
G
+
H
I
+
J
K
+
L
M
+
.
.
M
L
+
K
J
+
I
H
+
G
F
+
E
D
+
C
B
+
A

In dieser Tabelle sind erst einmal die 24 Antwortmöglichkeiten auf die 27 möglichen Wägeergebnisse verteilt, und zwar mit abwechselnden Vorzeichen, damit beide Waagschalen gleich viele Münzen bekommen, und mit der Spiegelungs-Eigenschaft: Wenn eine beliebige Münze X zu schwer ist, dann zeigt die Waage jedesmal das Spiegelbild der Anzeige, die sich ergibt, wenn X zu leicht ist.

Das Feld in der Mitte ist überzählig, weil 27 ungerade ist. Mehr noch: Es sieht so aus, als könnte man sogar eine dreizehnte Münze M mittesten. Nun müssen wir aber die Tabelle in eine Anweisung umsetzen, auf welche Waagschale man bei den drei Wägungen welche Münzen legen muss. Bei der ersten Wägung wären links die Münzen A, C, E, G, und I, rechts aber B, D, F und H aufzulegen. Für die zweite Wägung wären es links A, C, H und K, rechts B, G, I, J und L, für die dritte links A, F, G, L und M, rechts C, D, I und J. Das kann aber nicht stimmen, denn es müssen natürlich auf beiden Wagschalen gleich viele Münzen liegen.

Es ist also jedesmal auf einer Seite eine Münze zu viel. Bei näherem Hinsehen stellt sich heraus: Das Problem lässt sich einfach dadurch lösen, dass man G weglässt. Es gibt dann drei Wägungen mit je 4 Münzen auf jeder Seite, und aus allen dreien findet man in der Tabelle (die ein Verzweigungsbaum ist) eindeutig die Münze und das Vorzeichen ihrer Gewichtsabweichung. Dass die Münzen inzwischen A, B, C, D, E, F, H, I, J, K, L, M heißen, schadet nicht; wer den Lösungsweg nicht (mehr) diskutieren will, ist frei, sie umzubenennen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

Partnerinhalte