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Mathematik: 3D ist nicht genug

Vier Raumdimensionen – dafür ist der menschliche Verstand einfach nicht gemacht. Oder doch?
Dimensions 1 German

Veröffentlicht am: 24.01.2013

Laufzeit: 0:14:10

Sprache: deutsch

Der belgische Ingenieur Jos Leys setzt abstrakte mathematische Erkenntnisse in anschauliche Bilder um.

Jos Leys ist kein Mathematiker – jedenfalls nicht offiziell. Doch der Ingenieur, der nahe dem belgischen Antwerpen lebt, ist Experte für mathematische Visualisierung und zwar ein ganz außerordentlicher. In den letzten Jahren hat er eine beeindruckende Vielfalt an Bildern und Filmen produziert; einen ersten Eindruck gibt seine Website.

Sein Meisterstück lieferte Leys beim International Congress of Mathematicians (ICM) in Madrid 2006 ab. Étienne Ghys von der École normale supérieure in Lyon hatte eine überraschende Verbindung zwischen zwei recht verschiedenen Gebieten der Mathematik entdeckt: sehr regulären Gittern in der Ebene einerseits und dem sehr chaotischen Lorentz-Attraktor andererseits. Die Verbindung wird von einem dritten Objekt hergestellt: Knoten im dreidimensionalen Raum. Leys zeigte spektakuläre Bilder von Trajektorien, die sich an einem einfachen Kleeblattknoten entlangschlängeln, und demonstrierte so die Idee von Ghys' neuer Beweisführung auf neue und beeindruckende Weise.

An diesen Erfolg galt es anzuknüpfen. Das nächste Mal wählten Leys and Ghys allerdings ein – in wörtlichem Sinn – bodenständigeres Thema und machten daraus nicht weniger als einen Zwei-Stunden-Film. Mit einem Blick auf unseren Planeten geht es los. Unten im Bild sehen wir eine stereografische Projektion der Erdoberfläche auf eine zweidimensionale Ebene. Im Folgenden erweist sich diese Art der Projektion dann als eine Art Leitmotiv.

Die Zahl der "Dimensionen", die dem Film seinen Namen geben, reicht zwar nur von zwei bis vier. Doch diese Einschränkung ist angemessen. Schließlich wollen die Autoren alles, über das sie sprechen, auch visualisieren können – und das auf einem zweidimensionalen Bildschirm. Selbst die eigens für den Film erfundene magische Tafel, auf der man in drei Dimensionen zeichnet, funktioniert in 4D nicht mehr. Kein Wunder: Vier Dimensionen – dafür ist der menschliche Verstand einfach nicht gemacht.

Diesen Umstand erklären die Autoren in Kapitel 1 auf die übliche Weise, nämlich anhand zweidimensionaler Kreaturen, die nicht in der Lage sind, sich eine dritte Dimension vorzustellen. Wie erscheint ihnen ein dreidimensionales Objekt, das sich durch ihre "Heimat-Ebene" bewegt oder auch nur einen Schatten darauf wirft? Während in diesem Kapitel noch Hipparchos, der wichtigste Astronom und Geograph des antiken Griechenlands, die Rolle des Erzählers übernommen hat, löst ihn in Kapitel 2 darum der niederländische Künstler M. C. Escher ab. Denn von ihm stammt ein bekanntes Bild, in dem gezeichnete Reptilien die "natürliche Grenze" ihrer zweidimensionalen Heimat überschreiten.

Im dritten und vierten Kapitel ("Die vierte Dimension") sind dann wir selbst die bedauernswerten Tiere, die nicht über ihre beschränkte Welt hinaus denken können und keine Ahnung haben, worum es sich bei dem seltsamen Ding handelt, das plötzlich unter ständigen Verformungen in unserer Welt erscheint und dann wieder verschwindet. Doch tatsächlich: Es ist nichts als ein 4D-Objekt, das sich durch unsere 3D-Welt bewegt. Dieses Mal erzählt der Schweizerische Geometer Ludwig Schläfli die dazugehörige Geschichte. Der echte Schläfli (1814 – 1895) beschrieb die platonischen Körper in höherdimensionalen Räumen und bewies insbesondere, dass im vierdimensionalen Raum genau sechs von ihnen existieren. Im Film führt er jeden von ihnen vor und zeigt sie uns, indem er dreidimensionale Schnitte durch sie legt oder illustriert, wie die vierdimensionale Welt ihre dreidimensionalen Schatten wirft.

Dann wieder geht es um komplexe Zahlen (Kapitel 5 und 6: "Komplexe Zahlen"). Erst einmal hört sich alles wie Schulunterricht an. Doch dieses Mal ist der Erzähler keiner der alten Meister wie Cauchy oder Gauß. Statt ihrer wählten die Autoren Adrien Douady (1935 – 2006), der für seine Beiträge zur komplexen Dynamik bekannt ist. Der zweite Filmabschnitt zum Thema ist dann den Iterationen von z2+c gewidmet. Ganz offensichtlich konnten Leys and Ghys der Versuchung nicht widerstehen, wenigstens ein paar Julia- und Mandelbrot-Mengen zu zeigen.

Schließlich führt uns Heinz Hopf in seine Faserung der 3-Sphäre ein (Kapitel 7 und 8: "Fibration"). Eine gute Gelegenheit, Kreise und Kugeln – ihre stereografischen Projektionen, um genau zu sein – in großer Vielfalt vorzuführen und sie lebhaft im dreidimensionalen Raum herumtanzen zu lassen, wobei sie Tori bilden, ohne einander je in die Quere zu kommen. Ein spektakuläres Finale!

Die Show ist damit zu Ende, doch der Film noch nicht ganz. Wie in einer wissenschaftlichen Publikation folgt nun der Anhang. Bernhard Riemann beweist darin einen Satz aus der sphärischen Geometrie, indem er sich auf Euklids "Elemente" bezieht. Und wieder ist das Ganze grandios ins Bild gesetzt: Die sonst üblichen Skizzen sind farbigen Illustrationen voller Bewegung gewichen.

Als Kunstwerk verdient der Film von Jos Leys and Étienne Ghys uneingeschränktes Lob. Ihr Feuerwerk beeindruckender und schöner Bilder hält den Zuschauer bis zum letzten Moment gefangen. Aurélien Alvarez, damals Student an Ghys’ Institut in Lyon, hat den technischen Teil des Unternehmens gestemmt und dabei ebenfalls einen großartigen Job gemacht. Sieht man das Werk als Lehrfilm, so habe ich ein paar Einwände. Darunter ein paar technische Kleinigkeiten: Die Zahlen auf der magischen Tafel sind schwer lesbar, manchmal hinkt der gesprochene Text den Bildern hinterher. Auch ist die Dynamik holomorpher Abbildungen nicht wirklich Teil des allgemeinen Themas "Dimensionen", aber ich kann den Autoren diesen Exkurs nicht übelnehmen. Gehen wir davon aus, dass der Durchschnittszuschauer ungefähr einmal im Leben bereit ist, sich einen Film über Mathematik anzuschauen: Da kann man sich die Gelegenheit, ihn in die Schönheit von Fraktalen einzuführen, doch nicht entgehen lassen.

Allerdings haben die Autoren an der einen oder anderen Stelle der künstlerischen Wirkung zuliebe den sachlichen Gehalt verunklart. So lassen sie ihre n-dimensionalen Objekte ohne Not noch um ihre eigene Achse rotieren, während sie den (n–1)-dimensionalen Raum durchdringen, was einige Verwirrung verursacht. Die sich bewegenden Schatten des 120- und des 600-Zells sind zwar geeignet, den Betrachter in Trance zu versetzen, nicht aber, ihm die Struktur klarzumachen, weil die "obere" und die "untere" Seite des jeweiligen Körpers nicht auseinanderzuhalten sind. Und es gibt zwar gute Gründe, einen platonischen Körper – beliebiger Dimension – zu einer Kugel aufzublasen, aber schöner wird er nicht davon. In der stereografischen Projektion werden alle seine Kanten zu Kreisbögen, die zuweilen die Form riesengroßer Henkel annehmen – zuweilen hübsch anzusehen, aber dass zum Beispiel die "Seitenflächen" des 120-Zells reguläre Dodekaeder sind, ist kaum noch zu erkennen.

Doch diese Kritikpunkte sollte man nicht zu ernst nehmen. Die Autoren haben ein großes Werk getan – und es der Allgemeinheit geschenkt. Auf www.dimensions-math.org kann man die Filme kostenlos herunterladen, und das in zehn verschiedenen Sprachen, mit Untertiteln in noch einigen Sprachen mehr.

Im Original erschienen in: The American Mathematical Monthly 120, S. 288 – 190, 2013

Nachtrag vom 16.1.2015:

Mittlerweile haben die Autoren ein Folgewerk in gleicher Qualität veröffentlicht: Chaos (Anm. d. Red.: hier geht es zu unserer Rezension). Aber Vorsicht: Die deutsche Version der Website hat Macken: Man kommt erst auf dem Umweg über die englische oder die französische Version zu deutschsprachigen Websites über jedes einzelne Filmkapitel; die erzählen dann auf Deutsch, was abgeht – und haben die englische Version des jeweiligen Filmkapitels eingebettet ...

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