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Mathematik: Süße Gruppentheorie

Eugenia Cheng bei einem Vortrag

Ja, es gibt viele gute Gründe, sich mit Mathematik zu befassen. Immerhin bestimmt sie in erheblichem Ausmaß unser modernes Leben: … an dieser Stelle folgen die üblichen Hinweise auf Optimierungsverfahren, Kryptografie, die Segnungen des Internets und so weiter. Nur interessiert das ganze Zeug den Schüler nicht, der sich den üblichen Hass auf das Schulfach Mathematik zugelegt hat – und die Schülerin eher noch weniger. Da ist es herzerfrischend, eine Lehrerin zu erleben, die diese ganzen vernünftigen Argumente beiseite wischt und durch etwas anderes ersetzt. Zum Beispiel "Mathe ist lecker".

So eine Lehrerin wie Eugenia Cheng von der University of Sheffield müsste man haben! Sie spricht exakt 45 Minuten auf der "Imaginary Conference" IC16 in Berlin, einer Tagung, auf der sich im Windschatten der großen Europäischen Mathematiker-Tagung diejenigen treffen, die Mathematik in die Öffentlichkeit tragen wollen. Den Bräuchen einer Konferenz angepasst, ist ihre Unterrichtsstunde im Wesentlichen das, was die Fachleiter unter "Lehrervortrag" sortieren und allenfalls als Notlösung akzeptieren. Aber was für ein Lehrervortrag! Die ganze Schulstunde braucht sie keinen Spickzettel, wird nur ein ganz klein bisschen ungeduldig, als die Schulklasse – also wir Zuhörer – ihr nicht auf der Stelle einsagt, wie viel 2+4 ist, und bietet Multimedia, aber eben nicht technisch, sondern selbstgemacht. Spielt uns mal eben am Klavier ein Präludium von Bach vor (Wohltemperiertes Klavier, 2. Band, g-moll), bittet einen Menschen aus dem Publikum, mit drei Bällen zu jonglieren, präsentiert uns ihren prachtvollen Zopf und löst ihn alsbald – und dann kommt die Abstraktion, die all dem gemeinsam ist und in der Mathematik tatsächlich "Zopf" heißt: Linien wie die Stimmen im Bach-Präludium, die Wege der Jonglierbälle im Raum und die Haarstränge im Zopf, die sich in vielfältiger Weise überkreuzen. Backen kann man das übrigens auch. Der schwäbische Hefezopf ist der amerikanischen Referentin zwar nicht geläufig, aber ein zopfförmiges Gebäck hat sie trotzdem verfertigt.

Was ist die ernsthafte Mathematik dahinter? Zopfgruppen sind ein Thema der Gruppentheorie, und dazu gibt es jede Menge Beispiele aus den täglichen Leben. "Gruppentheorie im Schlafzimmer" handelt nicht etwa von irgendwelchen Bettgeschichten, sondern von dem Brauch, alle paar Monate die Matratze umzudrehen, damit man sie nicht einseitig durchliegt. Dafür gibt es drei wesentlich verschiedene Möglichkeiten, die haben – wenn man das Nichtstun mitzählt – eine Gruppenstruktur, und die wiederum kann man mit iteriertem Battenberg-Kuchen beschreiben.

Was ist das? Gewöhnlicher Battenberg-Kuchen zeigt beim Anschnitt zwei mal zwei Quadrate in verschiedenen Farbtönen, zu erzielen durch mehr oder weniger Schokolade im Teig. (Überhaupt, Teig! Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, Butter, Eier, Zucker und Mehl zusammenzuschütten und zu verrühren? Welche verschiedenen Abstraktionsniveaus sind zu beachten? Interessiert dich nur das schön homogen zusammengemixte Endprodukt? Oder ekelt es dich, Butter und Eier zu vermantschen, bevor die eher pulverförmigen Zutaten hinzukommen? Kommt es darauf an, ob es hinterher eine Rührschüssel mehr abzuwaschen gibt? Jede Verfahrensweise ist eine Baumstruktur, und alle elementaren Änderungen – Beispiel: das Mehl in die rechte statt in die linke Schüssel, alles andere unverändert – ergeben zusammen eine überraschend komplizierte algebraische Struktur.) Iterierter Battenberg-Kuchen zeigt vier Felder nach Art eines gewöhnlichen Battenberg-Kuchens, aber jedes Feld ist selbst in zwei mal zwei Quadrate unterteilt – man braucht vier Sorten unterschiedlich gefärbten Teig.

Das kann ja sein, dass der gut schmeckt; aber was soll das? Na ja, das Muster ist identisch mit der Multiplikationstabelle der Matratzenwendegruppe. Gelobt sei die Abstraktion. Und vor allem: Es gibt zwei wesentlich verschiedene Gruppen der Ordnung 4, die zyklische Gruppe und die kleinsche Vierergruppe. Und das werden Eugenia Chengs Schüler nie vergessen – seit sie ihnen das mit dem iterierten Battenberg-Kuchen nahegebracht hat.

Der Körper der rationalen Zahlen, zu denen man die Wurzel aus 2 adjungiert? Der also aus allen Zahlen besteht, die man als eine rationale Zahl plus noch eine rationale Zahl mal Wurzel aus 2 schreiben kann? Das ist wie Joghurt mit Brombeermarmelade. Wenn man das umrührt, mischt sich das ganz wundervoll, denn die Wurzel aus 2 mal sich selbst ist ja wieder rational. Aber der Polynomring, der dadurch entsteht, dass man den rationalen Zahlen eine Unbestimmte namens (zum Beispiel) x adjungiert? Das ist wie Joghurt mit Rosenkohl. Wie man auch rührt (addiert und multipliziert): Das mischt sich einfach nicht. Und so schmeckt es auch …

Ob ihr eigentlich zu jedem Gebäck irgendwas aus der Gruppentheorie einfalle? Die Frage aus dem Publikum ist natürlich nicht allgemein zu beantworten; aber irgendwann wurde sie auf die Probe gestellt, indem ein anonymer Spender eine Ladung dieser speziellen Cookies in den Klassenraum einbrachte: zwei gemusterte schwarze Plätzchen mit einer Schicht weißer Creme dazwischen, im Prinzip ungefähr Prinzenrolle, aber schwärzer, kleiner und bappsüß. Die Probe hat Eugenia Cheng bestanden: Wenn man in der Gruppentheorie ein Element a mit einem Element b konjugiert, dann heißt das bab–1. Und dass das letzte Element in dem Produkt nicht b ist, sondern dessen Inverses b–1, das werden die Kinder jetzt nie mehr vergessen. Man muss das zweite schwarze Plätzchen umdrehen ("invertieren"), bevor man es in die weiße Pampe drückt, sonst stimmt es hinterher nicht.

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