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Sehr geehrte Damen und Herren,

die Leserbriefe zeigen, dass ich offenbar nicht der einzige bin, dem nicht ganz klar geworden ist, was denn genau das Ziel der beiden Urlauber ist, bzw. sein soll. Im Grunde kann man das Spiel auch als Optimierungsproblem formulieren, das jeder Spieler für sich lösen muss. Und dann stellt man schnell fest, dass es mindestens vier mögliche Optimierungsziele gibt. Meiner Meinung nach gerät Herr Basu, wie er schreibt, "philosophisch in sumpfiges Gelände", weil er von den 4 möglichen Optimierungszielen mindestens zwei schlicht ignoriert.

Folgende Optimierungsziele sind denkbar:

1) Das optimale Ergebnis ist erreicht, wenn ich zumindest nicht weniger Gewinn erziele als der Mitspieler, egal auf welchem Niveau. Wenn dies das Ziel ist, sollte ich tatsächlich die 2 wählen, denn bei jeder anderen Wahl wird in Abhängigkeit von der Wahl des anderen Spielers das Ziel ggf. nicht erreicht.

2) Ich kann mein mögliches Minimum optimieren. Auch hier muss ich die 2 wählen, da mir dann dieses Mindestergebnis sicher ist, während jede andere Wahl dazu führen könnte, dass ich komplett leer ausgehe.

3) Ich kann mein mögliches Maximum optimieren. In dem Fall muss ich die 99 wählen, denn das Ergebnis könnte für mich dann bei 101 liegen, und besser geht es nicht.

4) Schließlich kann ich meinen Erwartungswert optimieren. Dazu muss ich jede mögliche Wahl des Spielpartners mit einer Wahrscheinlichkeit belegen. Dann kann ich zu jeder meiner Möglichkeiten den Erwartungswert berechnen und die danach höchste Wahl treffen.

Die Wahl des Optimierungszieles wird immer stark von der Situation und den aktuellen Zielen des Spielers abhängen. (1) wähle ich, wenn ich dem anderen beweisen will, dass ich besser bin als er. (2) werde ich wählen, wenn ich eine sichere Strategie benötige, um wenigstens einen minimalen Gewinn zu erzielen. (3) ist die Alles-oder-nichts-Wahl für Zocker, und schließlich ist (4) ein Mittelding zwischen (2) und (3). Dabei kann Risikogewichtung zusätzlich zur Wahrscheinlichkeitsverteilung hinzugenommen werden. Man könnte sagen, dass (4) von den meisten Menschen gewählt wird. Allerdings werden sowohl Verteilung als auch Risikogewichtung dabei intuitiv geschätzt, vermengt und vermutlich kaum je sauber durchgerechnet.

Rational ist beim Urlauberdilemma nicht, wie Herr Basu behauptet, sich an Optimierungsziel (1) (oder (2)?) zu orientieren. Rational ist, sich diese vier Optimierungsziele klar zu machen und dann bewusst eines auszuwählen. Im Wirtschaftsleben werden selbst die rationalsten Entscheider in der Regel Schwierigkeiten haben, die für (4) notwendige Verteilung zu erheben oder auch nur zu schätzen. In Verbindung mit ihrer situationsabhängigen Risikogewichtung ergeben sich also selbst beim Versuch, sich rational zu verhalten, Entscheidungen, die u.U. irrational erscheinen. Dass man auf die Nase fällt, wenn man versucht, dieses System mit einem Trivialmodell nach (1) oder auch (2) zu erklären, verwundert mich nicht.

Als Ökonom wundere ich mich manchmal, warum manches in der Ökonomie als so schwierig dargestellt wird. Nach dem, was ich weiß, hat die Ökonomie die Antwort auf drei Fragen zu geben.

1. Wo stehe ich?
2. Wo will ich hin?
3. Welche Entscheidungen kann ich treffen, die den Weg von 1 nach 2 beinflussen?

Der Rest ist der Einsatz der entsprechenden Werkzeuge, wobei die Werkzeuge eben nie Selbstzweck sein dürfen. Im "Urlauberdilemma" kann man die Fragen ganz einfach beantworten.

1. Ich habe eine zerbrochene Vase und kein Geld.
2. Ich will so viel Geld wie möglich.
3. Die einzige Entscheidung, die ich treffen kann, ist die Höhe der Zahl.

Ich kann die Regeln nicht beinflussen, ich kann die Entscheidung des anderen nicht beeinflussen, ich weiß ja noch nicht einmal, ob der andere seine Zahl auswürfelt. Wie maximiere ich also meine Erfolgschance? Doch sicherlich nicht durch die Nennung einer niedrigen Zahl, denn die Summe, die ich bekomme, ist maximal die von mir genannte Zahl plus 2 und minimal die von der anderen Partei genannte minus 2.

Da aber nun die von der anderen Partei genannte Zahl mir nicht bekannt ist, kann ich nur die von mir zu nennende Zahl beeinflussen, und da der Ertrag maximal die eigene Zahl plus 2 ist, ist es nicht sehr logisch (bei diesem geringen Bonus/Malus) eine Zahl unter 100 zu nennen (den Sonderfall 99 mal ausgenommen). Ich habe eine (!) Variable, die mir den Erfolg maximieren kann, also maximiere (!) ich diese Variable. Eine kurze Exceldatei zeigt auch: Je höher die Summe ist, die ich nenne, desto höher ist der zu erwartende Wert, den ich erreichen kann unter der Annahme einer zufälligen Zahl der anderen Seite (hier mit den Ausnahmefällen 97-99).

Gehe ich nun davon aus, dass dort jemand sitzt, der würfelt oder nicht lange nachdenkt, ist 100 eine gute Wahl. Gehe ich davon aus, dass dort jemand sitzt, der intuitiv denkt, ist 100 auch eine gute Zahl; und gehe ich davon aus, dass jemand dort genauso denkt wie ich, dann ist 100 immer noch eine gute Zahl.

Es ist dann auch nicht schwierig zu erklären, warum bei einem erhöhten Bonus/Malus-Betrag die Entscheidung plötzlich umkippt. Wenn dieser, wie im Beispiel, plötzlich mehr als die Hälfte der Differenz zwischen Minimal- und Maximalbetrag ausmacht, dann ist die Wahrscheinlichkeit einfach größer, im unteren Bereich mehr Geld zu bekommen.

Warum denn so kompliziert, wenn es so einfach geht?

Das Urlauberdilemma ist nur dann eins, wenn die Gewinnmaximierung darin besteht, dass der eine etwas mehr als der andere bekommt, unabhängig vom Gesamtgewinn. Kaum einer, nicht mal die Spieltheoretiker, wird aber 2 wählen, sondern 100 oder 99, da er dann statt 2 oder 3 Euro 99 oder 100 Euro bekommt. Wofür bekam Nash einen Nobelpreis? Auch für die Wirtschaftswissenschaftler gilt, wenn sie denn Wissenschaftler sein wollen, dass eine Theorie falsch ist, wenn sie die Realität nicht wiedergibt. Wie sagt der Autor richtig, (ihre Vorgehensweise führt in ein) "sumpfiges Gelände".

Zum Leserbrief von Paul Kalbhen in der Spektrum-Ausgabe August 2007, "Irrtümer durch Fehlmessungen":

Herr Kalbhen hat sich mit seinem Leserbrief im religiösen Eifer offensichtlich zu weit aus dem Fenster gelehnt.

Wie auf der Home-Page der ETH Zürich
"http://archiv.ethlife.ethz.ch/e/articles/sciencelife/turin.html"
zu lesen ist, wurden die Proben mit den dort beschriebenen Methoden aufs sorgfältigste gereinigt.

" From the first, three smaller samples were prepared that were subsequently cleaned in different ways in order to investigate possible impurities."

Der Wissenschaftler Dr. Walter McCrone wird auf "
http://www.skepdic.com/shroud.html"
zitiert, wonach eine Kontamination die zweifache (2x) Masse des zu untersuchenden Gewebes haben müsste, um auf einen solchen "Fehler" zu kommen.

"According to microchemist Dr. Walter McCrone,

The suggestion that the 1532 Chambery fire changed the date of the cloth is ludicrous. Samples for C-dating are routinely and completely burned to CO2 as part of a well-tested purification procedure. The suggestions that modern biological contaminants were sufficient to modernize the date are also ridiculous. A weight of 20th century carbon equaling nearly two times the weight of the Shroud carbon itself would be required to change a 1st century date to the 14th century (see Carbon 14 graph). Besides this, the linen cloth samples were very carefully cleaned before analysis at each of the C-dating laboratories."

Und hätte nicht Papst Clement VII A.D.1389 das TG für sich haben wollen, wenn es echt gewesen wäre?
http://www.csicop.org/articles/shroud/index2.html

"The Turin cloth first appeared in north-central France in the mid-fourteenth century. At that time the local bishop uncovered an artist who confessed he had “cunningly painted” the image. Subsequently, in 1389, Pope Clement VII officially declared the shroud to be only a painted “representation.”

Genau in dem Sinne, den Herr Pöppe in seiner Antwort auf meinen ersten Leserbrief "Irrationale Spieltheoretiker" als rational im Sinne der Spieltheorie definiert, ist mein in diesem Leserbrief beschriebenes Verhalten rational und das Verhalten der Spieltheoretiker, welches zum Nash-Gleichgewicht führt, irrational.

Das Problem ist hier nicht der Begriff der Rationalität, sondern der Algorithmus, der diese Rationalität abbilden soll. Hier versagt die Spieltheorie vollständig. Das wollte der Autor mit seinem Artikel ja auch aufzeigen. Er zieht hier nur völlig falsche Schlüsse, weil er den Begriff der Rationalität selbst als gefährdet ansieht und nicht nur dessen algorithmische Abbildung.
(Zitat: "Die Tatsache, dass das Nash-Gleichgewicht [als Versuchsergebnis] nicht vorkommt, zeigt wiederum, dass der Mensch nicht rational entscheidet - oder vielmehr, dass die übliche Vorstellung von rationalem Verhalten revisionsbedürftig ist.")

Dass dies wirklich so ist und der Autor nicht nur mit der Mehrdeutigkeit des Begriffes der Rationalität spielt, wie Herr Pöppe in seiner Antwort unterstellt, zeigt die Passage, in der der Autor seine eigenen Gedanken in einem Urlauber-Dilemma beschreibt. (Zitat: "Zum Kuckuck mit der Spieltheorie. Ich spiele einfach eine hohe Zahl, sagen wir 95") Hier zeigt sich, dass er völlig den Faden verloren hat und in seiner Hilflosigkeit völlig irrational handeln würde. Die ansonsten für die Mehrheit der Menschen offensichtliche (im Sinne der Spieltheorie) rationale Lösung ist er nicht mehr in der Lage zu erkennen.

In dieser Ratlosigkeit kommt es dann unter anderem zur unfassbaren und empörenden Unterstellung, dass sich viele Menschen aus Dummheit einfach für die optimale Lösung entscheiden. Ich kann da nur sagen, wer mit dem Finger auf andere zeigt, bei dem zeigen vier Finger auf einen selbst. (Zitat: "... die naheliegende[!] Theorie von der Trägheit des Geistes. Viele Spieler seien schlichtweg nicht fähig oder willens, die gedanklichen Schritte hin zum Nash-Gleichgewicht zu vollziehen, weswegen ihre Entscheidung unweigerlich irrational ausfalle") Na, darüber sollte die Menschheit wirklich froh sein!!! (Falls diese Worte nicht vom Autor selbst stammen, sondern von Herrn Rubinstein, dessen Untersuchungsergebnisse der Autor an dieser Stelle analysiert, hat der Autor dennoch versäumt dies entsprechend kenntlich zu machen und sich dann davon zu distanzieren)

Aber auch hier zeigt sich erneut deutlich die Unfähigkeit, zwischen Rationalität und deren algorithmischen Abbildung zu unterscheiden. Für einen Wissenschaftler ein wirklich blamabler Fehler. Anscheinend ist davon aber nicht nur der Autor, sondern die ganze Zunft der Spieltheoretiker betroffen.

Ich denke, ich habe in meinem ersten Leserbrief aufzeigen können, dass es eine halbwegs saubere algorithmische Lösung des Problems gibt, die der Prämisse der Rationalität aus der Spieltheorie exakt entspricht und zum Optimum (100,100) führt. Ich bin kein Mathematiker, sondern Informatiker. Mir reicht das als Beweis, dass es hier nicht um eine Krise des Rationalitätsbegriffes der Spieltheorie selbst geht, sondern lediglich um ein algorithmisches. Die Suche nach dem Nash-Gleichgewicht als Lösungsstrategie ist offensichtlich (und wahrscheinlich auch grundsätzlich) ein falscher Ansatz und muss durch eine andere Ermittlung der Gewinnmaximierung ersetzt werden. Das ist alles.

Sämtliche Folgerungen, die der Autor aus dieser vermeintlichen Krise zieht, haben also keine Grundlage und sind daher wertlos. Viel bleibt dann jedoch nicht mehr vom Artikel übrig.

Wieso wird als Bewertungsfunktion eigentlich ein singulärer Funktionswert genommen und nicht z .B. der Erwartungswert (das "Integral" über die möglichen Antworten bei gewählter Wahl eines Wertes)? Ich würde dann jene Zahl als beste bewerten, die die maximale erwartete Auszahlung bringt. Und das genau ist es meiner Meinung nach, was Menschen machen. Sie versuchen, den Erwartungswert zu maximieren.
Nur: Sie können es niemals "wirklich".
In meinem Sinn wäre die Strategie der Wahl beim ursprünglichen Urlauberdilemma mit den Parametern (2, 100, 2) gleich 96 und bei dem Problem mit (180, 300, 5) gleich 290. Und Menschen tippen meist knapp daneben.

Ein Beispiel zu dem Vorgehen:
Ich wähle 100. Der Partner kann die Werte 2, 3, 4, …,99, 100 wählen, was für mich die Auszahlungen 0, 1, 2, …97, 100 ergibt. Wenn ich jeder Wahl des Partners die gleiche Wahrscheinlichkeit zuweise (die dann 1/99 ist), ergibt sich für meine Auszahlung der Erwartungswert
(1/99 )* (0+1+2+...+97+100) = 49,0202

Nun maximiere ich das über alle möglichen Wahlen meines eigenes Wertes und bekomme:
Die beste Wahl ist 96 mit der erwarteten Auszahlung 49,0808.

Interessant ist das Ergebnis beim Dilemma mit den Parametern 180, 300, 5:
beste Wahl 290, erwartete Auszahlung 235,413.

Ich habe ein Computerprogramm in C geschrieben, mit dessen Hilfe man die Erwartungsfunktion berechnen kann. Es kann unter
http://members.hostprofis.at/semo/Spektrum/UrlauberDil.cpp
heruntergeladen werden.

Als Folge spieltheoretischer Überlegungen zum so genannten Urlauberdilemma glaubt der Autor ein "ungelöstes Problem" menschlichen Verhaltens entdeckt zu haben, das er als "die Idee eines Verhaltens, das aus rationaler Ablehnung rationalen Verhaltens entsteht" umschreibt. Gemeint ist die statistisch gesicherte Beobachtung, dass sich Menschen bei Entscheidungen mehrheitlich nicht nach einer von der Spieltheorie angenommenen Logik verhalten, die von Theorie und Autor willkürlich als "rational" bezeichnet wird.
Diese "rationale Logik" beruht auf der Annahme, dass beide Spieler ihre jeweilige Entscheidung ausschließlich davon abhängig machen, ob der Vorteil, den sie selbst erzielen können, denjenigen des anderen übertrifft. Unter dieser Annahme ist das Nash-Gleichgewicht die logische Folge. Allerdings ist ein solches, durch Neid motiviertes Verhalten eher emotional als rational zu bezeichnen.
Rational verhält sich dagegen ein Spieler, wenn er Verluste vermeidet und mögliche Gewinne optimiert. Im Falle des Urlauberdilemmas folgt daher zunächst für beide Spieler, nicht unter den Einsatz von 5 Euro zu gehen. Für alle höheren Bewertungen (> 7 Euro, da ein Malus von 2 Euro besteht) können dann beide nur noch Gewinne (wenn auch leicht unterschiedliche) einstreichen, die bei 100 Euro optimiert werden. Bei rationalem Verhalten werden beide Spieler also stets den höchsten Betrag notieren. Ein "ungelöstes Problem" ist nicht zu erkennen.
Beim Gefangenendilemma ist der Konflikt insofern anders gelagert, als "Gewinne" hier nicht gemeinsam, sondern nur über "Verluste" zu Lasten des anderen Komplizen gemacht werden können.

Das Nash-Gleichgewicht ist hier nicht ausschlaggebend.
Wenn man stattdessen ausrechnet, wie der Erwartungswert der Auszahlung ist, wenn die Wahl des Mitreisenden nicht geraten werden kann (also eine Gleichverteilung), ergibt sich ein Maximum in den hohen 90er Werten, d. h. diese Wahl ist optimal. Wenn Annahmen über die Handlungen des Mitreisenden zugrundegelegt werden, verschiebt sich dieses Maximum natürlich, aber sicherlich nicht zu niedrigeren Werten.
Interessanterweise ist die Lage des Maximums von der Höhe der Bonuszahlung abhängig, was die Ergebnisse der Universität von Virginia immerhin teilweise erklärt.
Die Probanden maximieren also ihre Gewinnerwartung und verhalten sich durchaus rational im Sinne der Spieltheorie.

Es klingt hier schon mehrfach in der Diskussion an. Der prozentuale Gewinn der Auszahlung bei nicht kooperativem Verhalten ist in jedem Fall geringer als der prozentuale Verlust.
Im speziellen Fall kommt noch die Motivation dazu, dass ich mich durch die "unfairen" Regeln "erst recht" am "cleveren" Sachbearbeiter als Vertreter der Versicherung "rächen" will. Wenn ich 100 wähle und mein Mitspieler ähnlich durch die Bedingungen beleidigt ist, wird er auch 100 wählen, weil wir beide gegen die Versicherung spielen.
Sobald ich von der 100 abweiche, bin ich meinem Mitspieler gegenüber gehässig. Wieviel ist mir also mein soziales Ansehen wert – 2 Euro?

Im Falle des Urlauberdilemmas wird sicher kein Mensch auf die Idee kommen, eine Preisangabe für die Vasen zu machen, die vorhersehbar dazu führt, dass er den kleinsten möglichen Schadensersatzbetrag bekommt. Im Gegenteil, es werden immer beide einen hohen Betrag angeben, weil sie auch nur so einen hohen Betrag von der Versicherung bekommen können. Das ist so simpel, dass man es sich kaum getraut hinzuschreiben, und ich kann beim besten Willen nicht erkennen, was an diesem Verhalten irrational sein soll. Wenn die Spieltheorie zu dem Ergebnis führt, es sei rational, das Vernünftigste und das Logischste, das Gegenteil zu tun und den kleinsten Betrag anzugeben, dann ist die Spieltheorie hier nicht anwendbar, oder sie ist selbst in höchstem Grade irrational und unlogisch. Ich würde es noch schärfer formulieren und eine solche Theorie sogar als unsinnig bezeichnen. Die Anwendung des Nash-Gleichgewicht ist hier völlig verfehlt, denn dieses Gleichgewicht ist eben nicht die Lösung derjenigen Optimierungsaufgabe, um die es hier beiden Betroffenen einzig geht, nämlich darum, die Wahrscheinlichkeit für einen hohen Auszahlungsbetrag zu maximieren.

Vielen Dank für diesen interessanten Artikel, der sehr gut aufzeigt, wie weit in diesem Bereich Theorie und Praxis oft voneinander entfernt sind!

Die Spieltheorie begeht den Fehler schon in einer Grundannahme, nämlich indem unterstellt wird, die beiden Urlauber spielten gegeneinander. Vielmehr wäre in dieser Situation das natürliche Verhalten, dass beide gegen den
Dritten, also den Sachbearbeiter spielen. Verändert man diese Grundannahme, so fällt dadurch die Rückwärtsinduktion weg, da es ja
nicht das Ziel ist, gegen den anderen Urlauber zu gewinnen. Daraus folgt, dass beide auf 100 setzen, gegen den Sachbearbeiter gewinnen und zugleich den besten Gewinn für beide erzielen. Doch selbst wenn man die Grundannahme beibehält – die Urlauber spielen gegeneinander –, gibt es eine Erklärung dafür, dass die Mehrheit sich für 100 entscheidet. Komischerweise wird in diesem Beispiel der ansonsten bei den Ökonomen so beliebte homo oeconomicus teilweise ausgeblendet. Dieses Modell besagt ja, dass der Einzelne – rational denkende – bestrebt ist, seinen persönlichen Nutzen (in diesem Fall Gewinn) zu maximieren. Rein intuitiv werden die meisten Menschen deshalb sofort auf 100 setzten (zweifellos kommt hier auch der von Prof. Basu erwähnte Altruismus zum Tragen). Sind jetzt die beiden Urlauber zufälligerweise Spieltheoretiker – aber auch Gewinnmaximierer –, so gibt es meiner Meinung nach trotzdem nur zwei mögliche rationale Ergebnisse: 99 und 100 – wobei 100 die risikoaverse Variante darstellt.

Der größte Gewinn in diesem Spiel kann mit 99 erzielt werden, nämlich 101. Allerdings birgt diese Strategie auch das Risiko, nur 99 zu bekommen, dem ich mit 100 entgehen könnte. Das Risiko von 98 oder weniger zu tragen zahlt sich für keinen der beiden aus, da sie ja dadurch höchstens 100 gewinnen könnten, aber das Risiko eines geringeren Betrages in Kauf nehmen müssten. Die Rückwärtsinduktion wird bei Nutzenmaximierern also bei 99 gestoppt – vor allem, wenn die beiden Spieltheoretiker das Ende der Schleife kennen. Das Setzen auf 100 stellt damit auch hier die beste und sicherste Variante dar, und niemand, der nicht Feind seiner eigenen Brieftasche ist, wird auf 2 setzen, nur um zu beweisen, dass sie/ er die Spieltheorie verstanden hat!

Wenn ich jeweils das Spektrum lese, ziehe ich die Brille aus, denn als Kurzsichtiger liest es sich besser ohne. Dabei ist mir ein unerklärliches Phänomen aufgefallen: wenn ich ein Auge schliesse, wächst das Erscheinungsbild des Textes auf etwa doppelte Grösse an. Sobald ich das zweite Auge dazu öffne, kehrt das Schriftbild zu seiner Normalgrösse zurück. Das Phänomen ist für mich unabhängig davon, ob ich mit dem linken oder rechten Auge lese (allerdings ist zu ergänzen, dass meine Kurzsichtigkeit relativ symmetrisch ist). Für mich ist das alles reproduzierbar. Es hört sich fast so an, als ob sich bei mir beim Schliessen eines Auges ein digitaler Zoomeffekt einstellen würde, für mich eine optische Täuschung mit einem starken Hinweis darauf, dass optische Täuschungen ihre Ursache auch im Zusammenspiel beider Augen haben können.

Diese Selbstbeobachtung hat mich dazu veranlasst, die Ehrensteinfiguren in der Augustausgabe des Spektrums auch mit einem Auge allein zu betrachten. Während die beschriebenen Phänomene in der Zweiaugenbetrachtung eindeutig nachzuvollziehen waren, scheinen sie mir in der brillenlosen Einaugenbetrachtung kaum mehr nachvollziehbar zu sein. Selbst die Aussage von Edgar Rubin, wonach die Grenze zur Figur gehöre und nicht zum Hintergrund, waren für mich mit einer einäugigen Betrachtungsweise nicht mehr gesichert.

Es ist klar, optische Täuschungen werden nicht von allen Beobachtern gleich wahrgenommen. Ob meine Beobachtungen sich durch andere Leute bestätigen liessen, müsste man erst ergründen.

Sollte die Beobachtung aber mehr als eine Selbsttäuschung sein, dann würde sie darauf hinweisen, dass in der Informationsverarbeitung und damit auch in den Phänomenen der optischen Täuschungen das Zusammenwirken der beiden Augen ein wesentlicher Faktor ist. Meine Beobachtung würde darauf hindeuten, dass die funktionsorientierte Wahrnehmung grossenteils erst durch dieses Zusammenwirken ermöglicht wird. Den Begriff funktionsorientiert wähle ich deshalb, weil in der Ehrenstein-Figur die schwarzen Linien doch durch die Wahrnehmung eigentlich zu einem Stern geformt werden, der im Zentrum von einem weissen Flecken abgedeckt wird.

Sind die beiden Urlauber, die nach den vom Versicherungssachbearbeiter gestellten Spielregeln nicht zum einzig logischen Ergebnis kommen, "irrational" und nicht konsequent genug? Oder zu spontan und emotional? Oder schlicht dumm?

Oder ist die Spieltheorie mit ihren Gleichgewichtsdefinitionen als Theorie noch nicht ausgereift genug, um die Wirklichkeit der Wirtschaft und die experimentellen Befunde zu erklären?

Weder noch.

Die beiden Urlauber nehmen sich einfach die Freiheit, sich nicht gegeneinander ausspielen zu lassen. Sie konkurrieren nicht gegeneinander, sondern kooperieren gegen das "System". So stellen sie sich auch gar nicht erst die Fragen, die in letzter Konsequenz zu Ende gedacht zu dem für beide bitteren Ergebnis des Nash-Gleichgewichts führen.

Sie spielen nicht mit - und das kann auch sehr rational sein.

Mein erster Gedanke beim Lesen des Artikels war spontan: "Was interessieren mich die lausigen zwei Euro? Es ist reine Zeit- und Energieverschwendung und somit völlig unwirtschaftlich (=irrational), mir darüber den Kopf zu zerbrechen."

These: Spieltheorie führt doch zum Ziel. Es ist alles eine Frage der Wertmaßstäbe.

Betrachten wir zunächst einmal das Problem ohne die Bedingung der Strafzahlung:
Jeder Spieler wählt nun den maximalen Betrag von 100, da sich durch Reduzierung die Auszahlung unter keinen Umständen verbessern lässt.

Führen wir nun die Strafgebühr ein, sind zwei Fälle zu unterscheiden:

A) die Strafgebühr ist gering und tangiert mich unter Berücksichtigung des möglichen Gewinnes subjektiv nicht:
Hier wird die Nebenbedingung außer Acht gelassen (sprich: die Strafgebühr hat den Wert 0) und die optimale Strategie bleibt der maximale Auszahlungsbetrag, 100.

B) die Strafgebühr ist hoch, z. B. 50, und der Verlust täte mir weh:
Die Nebenbedingung kann nun nicht mehr vernachlässigt werden und die optimale Strategie ist der minimale Auszahlungsbetrag, 50.

Diese beiden Strategien in Abhängigkeit von der Höhe der Strafzahlung treten deutlich in den angeführten Studien hervor.

Im Grunde scheinen die drei Lösungsvorschläge von M. Krupp, Torsten Schöning und mein eigener keine Antworten der klassischen Spieltheorie zu sein. Alle "überziehen" die Strategien mit einer Wahrscheinleichkeitsverteilung. T. Schöning und ich verwenden die Gleichverteilung, weil analytisch lösbar und anschaulich diskutierbar, und M. Krupp verallgemeinert die gerade genannten Ansätze, indem er eine dem Problem angepasste Verteilung nutzt. Er wird einem mit der Spieltheorie vertrauten Mitspieler sicher eine andere Verteilung zuweisen als einem "Laien". Die bestangepasste Verteilung zu finden, ist vielleicht gerade des Problem einer erweiterten Spieltheorie.
Klar ist auch, dass ich nicht 100 mal nach China fliegen kann, um dann mit 100 zerschlagenen Mingvasen das Spiel zu testen. Auch haben Sie (Christoph Pöppe) Recht, dass ich die Gleichverteilung nicht begründen kann, höchstens mit einer Anleihe bei der statistischen Physik, die das Prinzip maximaler Unbestimmtheit, bei dem die Gleichverteilung zu maximaler Entropie führt, erfolgreich anwendet. Vielleicht ist dies aber auch nicht zu weit hergeholt, denn in Ihrem Artikel "Die Quadratwurzel, das Irrationale und der Tod" betrachtet ja ein statistischer Physiker die Wähler auch als "Spingas".