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Freistetters Formelwelt: Die unberechenbaren Planeten

Besteht Gefahr, dass unsere Erde irgendwann mit einem anderen Planeten kollidiert? Werden die Planeten des Sonnensystems auch in Zukunft ihren Umlaufbahnen folgen? Oder geht irgendwann alles im Chaos unter?
Kollision Urerde mit HimmelskörperLaden...

Die grundlegende Stabilität des Sonnensystems hat die Wissenschaft lange Zeit beschäftigt – und tut es immer noch. Die Bewegung der Himmelskörper ist auch mein Spezialgebiet als Astronom, und aus diesem Bereich stammt eine meiner absoluten Lieblingsformeln:

Diese Gleichung zur Berechnung der Bahndaten zweier Planeten wird im Text erklärt.Laden...
Planetenbahnen

Sie sieht kompliziert aus und ist es auch. Es ist mathematisch nicht trivial, sie abzuleiten, und auf den ersten Blick erschließt sich ihr Inhalt kaum. Weiß man aber, was die einzelnen Variablen bezeichnen, und versteht man ein wenig von der mathematischen Sprache, sieht man sofort, wo das Problem mit der Stabilität der Planetenbahnen liegt.

Mit L wird ein so genanntes »Delaunay-Element« bezeichnet. Das ist eine spezielle mathematische Formulierung für die Parameter, die nötig sind, um die Umlaufbahn eines Himmelskörpers zu beschreiben. Es gibt insgesamt sechs solcher Bahnelemente, und L ist dasjenige, das von der großen Halbachse abhängt, also dem mittleren Abstand zwischen Stern und Himmelskörper.

Im konkreten Fall beschreibt die Formel die Situation, in der zwei Planeten die Sonne umkreisen. L1 ist also der Abstand zwischen Planet 1 und der Sonne, bei Planet 2 sieht die Gleichung analog aus. Damit ist auch der Zusammenhang zur Stabilität des Planetensystems klar: Ändert sich der mittlere Abstand im Lauf der Zeit zu stark, dann kann die Bahn des Planeten die des anderen kreuzen, und Kollisionen sind möglich. Das Sonnensystem kann also nur dann für lange Zeiten kollisionsfrei bleiben, wenn die Veränderungen δL nicht zu groß werden.

Das Chaos hinter der Ordnung

Man kann die Physik der Planetenbewegung als Differenzialgleichungen mathematisch aufschreiben. Diese Formeln sind aber zu komplex, um exakt gelöst zu werden. Deswegen benutzt man die Technik der Störungsrechnung, um Näherungslösungen zu konstruieren. Dieser Ansatz wird in der Formel durch die doppelt unendliche Summe deutlich, die man in der Praxis nur innerhalb eines bestimmten Intervalls auswertet. Die Änderung von L hängt einerseits von der Masse m des Himmelskörpers ab, andererseits von den Zahlen Cjk und Djk. Die wiederum hängen selbst von den Bahnelementen der beiden Planeten ab.

Wichtig sind aber vor allem die Größen n1 und n2. Sie beschreiben die mittlere Umlaufzeit der Planeten, und den mathematisch geübten Leserinnen und Lesern wird sofort auffallen, dass sie das Schlüsselelement darstellen. Denn man findet sie in Form des Ausdrucks jn1 + kn2 unter dem Bruchstich der Gleichung! Sollte er aus irgendeinem Grund sehr klein werden, wird die linke Seite der Formel sehr groß, was nichts anderes bedeutet, als das auch die Veränderung von L sehr groß wird. Die Frage ist nun: Kann man ausschließen, dass das passiert?

Die Indizes j und k durchlaufen alle ganzen Zahlen von der negativen bis zur positiven Unendlichkeit. Sollten also die Umlaufzeiten der Planeten in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen, gelangt man bei der Auswertung der Summe zwangsläufig an den Punkt, an dem der Ausdruck jn1 + kn2 gegen null geht. Es reicht aber auch schon, wenn das Verhältnis nur in der Nähe eines ganzzahligen Verhältnisses liegt.

Das ist zum Beispiel bei Jupiter und Saturn der Fall: Die fünffache mittlere Bewegung des Saturns ist fast identisch mit der doppelten mittleren Bewegung des Jupiters (für j = 5 und k = -2 erhält man also eine kleine Zahl). In so einem Fall können die gravitativen Störungen, die die Planeten aufeinander ausüben, sehr stark werden und das System selbst instabil. In unserem Sonnensystem haben diese »Resonanzen« zum Glück nicht dafür gesorgt, dass alles wild durcheinandergeht. Doch weil sie prinzipiell immer auftreten können und weil sich im Lauf der Zeit die Umlaufbahnen leicht verändern, kann man eben auch für sehr lange Zeiträume nie völlig ausschließen, dass die Störungen über alle Grenzen hinauswachsen. Hinter der Ordnung lauert immer das Chaos!

44/2019

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 44/2019

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