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Freistetters Formelwelt: Photonen auf Abwegen

Die Sonne ist ziemlich groß - und sogar noch viel größer, wenn man aus ihr raus will. Das gilt sogar für Lichtteilchen.
Licht fällt durch ein teilweise abgedecktes Fenster ins Innere eines Gebäudes und erzeugt ein Streifenmuster auf dem Staub des Zimmers.Laden...

Im Jahr 1905 stellte der britische Mathematiker Karl Pearson eine Frage an die mathematische Gemeinde: Angenommen, ein Mensch startet von einem gewissen Punkt und läuft eine Strecke mit festgelegter Länge entlang einer geraden Linie. Dort dreht er sich dann in eine beliebige neue Richtung und legt ein weiteres Mal die entsprechende Strecke in gerader Linie zurück.

Pearsons Frage war nun: Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person nach einer gegebenen Anzahl solcher Strecken eine bestimmte Distanz vom Ausgangspunkt zurückgelegt hat? Der Titel seines Aufsatzes zu dieser Frage lautete »The Problem of the Random Walk«, und genau so wird so ein Modell in der Mathematik auch heute noch bezeichnet:

Formeldarstellung des Random Walk.Laden...

In der mathematischen Fachsprache nennt man Xn einen »stochastischen«, also zufälligen Prozess, und wenn man ihn über eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen Zj so definiert wie in dieser Formel, handelt es sich um einen »random walk«. Das, was Pearson damals beschrieben hat, war eine Zufallsbewegung im zweidimensionalen Raum, ganz allgemein kann ein »random walk« aber in beliebig vielen Dimensionen erfolgen.

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
Alle Folgen seiner wöchentlichen Kolumne, die immer sonntags erscheint, finden Sie hier.

Ich habe den »random walk« kennen gelernt, als ich während meines Astronomiestudiums von den Eigenschaften der Sonne gelernt habe. Wenn ihr Licht hier auf der Erde ankommt, hat es einen erstaunlich langen Weg hinter sich. Es musste den leeren Weltraum durchqueren, immerhin eine Strecke, die im Durchschnitt 150 Millionen Kilometer lang ist. Dafür braucht das Licht acht Minuten; das Bild der Sonne, das wir sehen, ist also immer acht Minuten alt. Diese Tatsache finden viele – ich eingeschlossen – höchst erstaunlich; bedeutet es doch, dass wir beim Blick in den Himmel quasi in die Vergangenheit schauen können. Noch interessanter wird es aber, wenn man den Weg des Lichts weiter zurück verfolgt.

Die Irrfahrt der Photonen

Denn die Photonen des Sonnenlichts entstehen ja nicht auf ihrer Oberfläche. Nur tief in ihrem Inneren herrschen die richtigen Bedingungen, so dass dort die Kernfusion von Wasserstoff zu Helium stattfinden kann. Dazu braucht es einen ausreichend hohen Druck und eine Temperatur von rund 13 Millionen Grad. Die herrscht im Kern der Sonne, und wenn dort dann bei der Verschmelzung von Atomkernen die Photonen frei werden, müssen sie erst einmal an die Oberfläche gelangen.

Das fällt ihnen allerdings schwer. Eben weil dort die Dichte des Plasmas so enorm hoch ist, kommen sie nicht vernünftig vorwärts. Kaum haben sie eine kleine Strecke zurückgelegt, treffen sie auf einen Atomkern oder ein Elektron. Sie werden abgelenkt, und man kann sich das – natürlich nur vereinfacht – ein wenig so vorstellen wie in einem Flipper. Anstatt auf geradem Weg aus der Sonne herauszufliegen, werden die Photonen ständig vom Weg abgebracht. Sie werden mal in die eine und mal in die andere Richtung abgelenkt, und ihre zufällige Irrfahrt lässt sich mathematisch durch einen »random walk« beschreiben.

In Summe legt ein Photon eine Strecke von einigen zehntausend Lichtjahren zurück, bis es die Sonne endlich verlassen kann. Was gleichzeitig auch bedeutet, dass das Sonnenlicht, das bei uns auf der Erde ankommt, schon vor zehntausenden Jahren im Inneren unseres Sterns entstanden ist. Was ich fast noch erstaunlicher finde als die Verzögerung von acht Minuten auf dem letzten Stück des Wegs durch den freien Weltraum.

Manchmal wird der »random walk« auch »Drunkards Walk« genannt, der »Weg des Betrunkenen«. Wer einmal tatsächlich betrunken durch die Gegend stolpern sollte, darf sich aber immerhin mit dem »Satz von Pólya« trösten: Es ist zwar nicht sicher, dass man irgendwann dort ankommt, wo man hinwill. Mit absoluter Sicherheit erreicht man jedoch bei einem zweidimensionalen »random walk« in endlicher Zeit irgendwann wieder den Ausgangspunkt. Und ist dann hoffentlich nüchtern genug, um den Weg zielgerichtet fortzusetzen.

26/2020

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 26/2020

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