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Freistetters Formelwelt: Warum kompliziert, wenn es auch einfach geht?

Differenzialgleichungen lösen ist schwierig bis unmöglich. Um trotzdem die Bewegung von Himmelskörpern zu berechnen, haben Astronomen einen kleinen Trick in der Hinterhand.
Künstlerische Darstellung eines Asteroidengürtels

Mein Spezialgebiet als Astronom ist die Himmelsmechanik, also die Untersuchung der Bewegung von Himmelskörpern wie Asteroiden oder Planeten. Reale Objekte zu beobachten, bringt hier nur bedingt Informationen: Es dauert oft einfach zu lange, bis etwas Interessantes passiert. Will man etwa wissen, ob die Planeten eines Systems sich auf stabilen Orbits bewegen, kann man nicht ein paar Milliarden Jahre lang zusehen. Das wichtigste Instrument der Himmelsmechanik ist daher nicht das Teleskop, sondern die Computersimulation. Und die Mathematik, mit der sich die Bewegung von Himmelskörpern analysieren lässt.

Bei meiner eigenen Arbeit stand dabei diese Formel oft im Zentrum:

Formel für die Lie-Integration

Das ist die symbolische Darstellung einer Lie-Reihe. Sie basiert auf der Arbeit des norwegischen Mathematikers Sophus Lie und beschreibt die Anwendung eines Operators D auf eine Funktion f(z).

Der Lie-Operator D ist ein so genannter linearer Differenzialoperator. Vereinfacht gesagt führt er – angewandt auf eine Funktion – dazu, dass diese Funktion differenziert wird. Das ist aber eigentlich genau das, was man in der Himmelsmechanik nicht braucht. Die Gleichungen, die die Bewegung von Himmelskörpern beschreiben, sind hier Differenzialgleichungen. Also Gleichungen, die davon abhängen, wie sich bestimmte Parameter (Ort und Geschwindigkeit) eines Objekts im Laufe der Zeit ändern. Will man wissen, wie sich ein Himmelskörper bewegt, muss man diese Gleichungen lösen, und die Lösung einer Differenzialgleichung erfolgt normalerweise durch eine Integration, also genau das Gegenteil vom Differenzieren.

Die Differenzialgleichungen der Himmelsmechanik sind allerdings – bis auf wenige Spezialfälle – sowieso nicht direkt lösbar. Man muss sie numerisch integrieren, also Näherungsmethoden für ihre Lösung verwenden. Und überraschenderweise bietet die Lie-Reihe genau dafür eine Möglichkeit.

Präzision nach Wunsch

Der österreichische Mathematiker Wolfgang Gröbner hat 1960 gezeigt, dass unter bestimmten Voraussetzungen die Lösung einer Differenzialgleichung als Lie-Reihe dargestellt werden kann. Aus numerischer Sicht ist das vor allem deswegen interessant, weil sich die in der obigen Formel auftauchende Exponentialfunktion als Potenzreihe aufschreiben lässt, also als Summe unendlicher vieler, aber immer kleiner werdenden Zahlen. Je mehr Zahlen man in der Summe berücksichtigt, desto genauer wird das Ergebnis.

Für die numerische Integration von Differenzialgleichungen bedeutet das, dass man die Genauigkeit der Lösung sehr gut steuern kann. Je mehr Terme der Lie-Reihe man berechnet, desto besser wird das Ergebnis.

In der Himmelsmechanik ist das besonders wichtig. Will man zum Beispiel die Bewegung eines Asteroiden berechnen, dann ist das relativ einfach, wenn er sich weitab von größeren Planeten durchs All bewegt und keinen dramatischen gravitativen Störungen ausgesetzt ist. Kommt er aber etwa der Erde sehr nahe, dann muss man bei der Lösung der Differenzialgleichungen extrem genau sein. Durch die wegen des geringen Abstands sehr starken Störungen können schon kleinste Änderungen enorm große Auswirkungen haben. Eine gute Methode zur numerischen Integration sollte daher in der Lage sein, die Genauigkeit automatisch an solche Situationen anzupassen.

Mit Lie-Reihen kann man das sehr gut erreichen. Um sie zu berechnen, braucht man nur den Lie-Operator auf die entsprechenden Funktionen anwenden. Dafür muss man nichts anderes tun, als diese Funktionen immer wieder abzuleiten, umso öfter, je genauer das Ergebnis werden soll. Und im Gegensatz zur Integration lässt sich die Differenzierung problemlos am Computer automatisieren.

Wenn man es richtig anstellt, kann man Differentialgleichungen also auch durch Differenzieren lösen.

38/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 38/2018

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