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Freistetters Formelwelt: Warum Zahlen seltsam sind

Zahlen sind natürlich wichtig in der Mathematik. Aber auch höchst seltsam. Unsere menschlichen Maßstäbe scheinen nicht alle ihre Eigenschaften sinnvoll erklären zu können.
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Mathematik besteht nicht nur aus reinem Rechnen, und sehr oft geht es eher um die Beziehung zwischen den Dingen als um simple Zahlen. Trotzdem überraschen diese mich immer wieder. Das Dezimalsystem lernen wir schon in der Grundschule, die Ziffern von 0 bis 9 scheinen keine tieferen Geheimnisse zu haben. Aber sobald man anfängt, sie zu kombinieren, entsteht sehr schnell eine Komplexität, die unseren Verstand zu sprengen scheint.

Betrachten wir dazu diese Formel aus der Arbeit des englischen Mathematikers John Conway:

»Powertrain«Laden...
»Powertrain«

Mit »n« wird hier eine beliebige natürliche Zahl bezeichnet, die durch die Ziffern a, b, c, d und so weiter im Dezimalsystem dargestellt wird. Bei der Zahl 3462 wäre also a = 3, b = 4, c = 6 und d = 2. Laut Conways Formel bildet man daraus nun eine neue Zahl n', indem man jede Ziffer zur Potenz der nachfolgenden Ziffer erhebt und diese Potenzen multipliziert (sollte n aus einer ungeraden Zahl an Ziffern bestehen, wird laut Konvention die letzte Ziffer zur Potenz 1 erhoben).

In unserem Fall gilt also n' = 3462 und das Resultat ist 2916 (= 81*36). Damit wird nun ebenso verfahren und die Zahl 2916 gebildet. Das ergibt 512, also berechnen wir 51*21 = 10, so dass wir schon fast das Ende der Kette erreichen. Wir können noch ein letztes Mal 10 = 1 berechnen, bevor nur noch eine einzelne Ziffer übrig ist.

Conway nannte diesen Vorgang einen »Powertrain«, der quasi gnadenlos über jede Zahl fährt und sie am Ende auf eine einzelne Ziffer reduziert. Denn tatsächlich ist das – wenn auch oft erst nach sehr viel mehr Durchgängen als im Beispiel – fast immer der Fall. Conway selbst fand nur eine Zahl, die dem Powertrain Widerstand leisten konnte: 2592. Hier stockt die Kette; aus 2592 wird wieder 2592 (= 32*81).

Diese Zahl ist ein Fixpunkt, und Conway stellte fest, dass eine Zahl entweder auf eine einzelne Ziffer reduziert wird oder aber bei so einem Fixpunkt landet. Das ist zum Beispiel bei 2534 der Fall, wo der Powertrain dank 2534 = 32*81 = 2592 an einem Fixpunkt endet. Aber ist das der einzige Fixpunkt? Sieht man von den trivialen Fällen der Ziffern von 0 bis 9 ab, fand Conway neben der 2592 keine andere Zahl, die einen Fixpunkt darstellt. Das gelang dann aber seinem Kollegen Neil Sloane. Steckt man 24 547 284 284 866 560 000 000 000 in den Powertrain, dann landet man ebenfalls wieder bei genau dieser Zahl.

Dass sich zwei so unterschiedliche und vor allem so sehr unterschiedlich große Zahlen wie 2592 und 24 547 284 284 866 560 000 000 000 diese Eigenschaft teilen, ist schon erstaunlich genug. Noch erstaunlicher ist allerdings, dass es vermutlich die einzigen Zahlen dieser Art sind. Einen exakten Beweis dafür gibt es noch nicht, doch man hat bis jetzt keinen weiteren Fixpunkt gefunden. der kleiner als 10100 ist.

Ohnehin wäre es wahrscheinlicher gewesen, einen weiteren Fixpunkt unter den kleineren Zahlen zu finden. Je mehr Stellen, desto größer ist die Chance, dass dort eine Null auftaucht, und desto schneller kann der Powertrain die Zahl reduzieren. Kleinere Zahlen können dem Mechanismus noch eher widerstehen. Aber es scheint tatsächlich so zu sein, dass von all den unendlich vielen Zahlen nur genau zwei der Rechenvorschrift von Conway entkommen können.

Was verbindet die 2592 und die 24 547 284 284 866 560 000 000 000? Welche Beziehungen zwischen den zehn fundamentalen Ziffern unseres Dezimalsystems führen dazu, dass gerade diese beiden unter dieser seltsamen Regel ausgezeichnet werden? Wie viele andere Regeln kann man finden, um ähnlich bemerkenswerte und überraschende Zusammenhänge zwischen scheinbar wahllos verteilten Zahlen zu finden?

Die Mathematik und ihr Universum der Zahlen sind nicht nur rechnerisch unendlich groß. Man findet darin auch eine unendliche Menge an faszinierenden Erkenntnissen. Ich kann mir nicht vorstellen, dass mir die Beschäftigung mit dieser außerordentlichen Komplexität jemals langweilig werden könnte.

29/2019

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 29/2019

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