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Lexikon der Mathematik: Corona-Theorem

Satz aus der Funktionentheorie, der wie folgt lautet:

Es sei Hdie Banach-Algebra aller in

\begin{eqnarray}{\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\end{eqnarray}

beschränkten, holomorphen Funktionen (Hardy-Raum). Weiter seien f1, f2, …, fnHund δ > 0 derart, daß

\begin{eqnarray}|{f}_{1}(z)|+|{f}_{2}(z)|+\cdots +|{f}_{n}(z)|\ge \delta \end{eqnarray}

für alle z ∈ \({\mathbb{E}}\).

Dann existieren Funktionen g1, g2, …, gnH mit

\begin{eqnarray}{f}_{1}(z){g}_{1}(z)+{f}_{2}(z){g}_{2}(z)+\cdots +{f}_{n}(z){g}_{n}(z)=1\end{eqnarray}

für alle z ∈ \({\mathbb{E}}\).

Die Bezeichnung „Corona-Theorem“ hat folgenden Hintergrund.

Es sei \( {\mathcal M} \) die Menge der maximalen Ideale von H und Δ die Menge der multiplikativen linearen Funktionale auf H. Zu jedem M ∈ \( {\mathcal M} \) existiert genau ein ϕ ∈ Δ mit Ker ϕ = M, und umgekehrt gilt

\begin{eqnarray}\text{Ker}\phi \in {\mathcal M} \end{eqnarray}

für jedes ϕ ∈ Δ. Es existiert also eine bijektive Abbildung von \( {\mathcal M} \) auf Δ.

Jedem fH wird eine Funktion \(\hat{f}:\,\bigtriangleup \to {\mathbb{C}}\) zugeordnet durch \(\hat{f}(\phi ):=\phi (f)\).

Auf Δ bzw. \( {\mathcal M} \) wird nun die schwächste Topologie eingeführt derart, daß jede Funktion \(\hat{f}\) stetig ist. Diese nennt man die Gelfand-Topologie, und \( {\mathcal M} \) wird damit zu einem kompakten Hausdorff-Raum. Nun erzeugt jedes ζ ∈ \({\mathbb{E}}\) ein maximales Ideal

\begin{eqnarray}{M}_{\zeta }=\{f\in {H}^{\infty }:f(\zeta )=0\}.\end{eqnarray}

Man kann daher \({\mathbb{E}}\) als (topologischen) Teilraum von \( {\mathcal M} \) auffassen.

Das Corona-Theorem ist dann äquivalent zu der Aussage, daß \({\mathbb{E}}\) dicht in \( {\mathcal M} \) ist. Anschaulich bedeutet dies, daß \({\mathbb{E}}\) keine „Corona“ besitzt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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