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Lexikon der Mathematik: Wert eines Spiels

eine einem Matrixspiel zugeordnete reelle Zahl, die unter Verwendung bestimmter Strategien von beiden Spielern als Erlös stets erzwungen werden kann.

Sei \begin{eqnarray}S\times T=\{1,\ldots, m\}\times \{1,\ldots, n\}\end{eqnarray}

ein Matrixspiel mit Auszahlungsmatrix A. Man betrachte nun folgende Strategie für Spieler \({\mathcal{S}}\): Für jeden Zug i rechnet \({\mathcal{S}}\) mit dem stärksten Gegenzug von \({\mathcal{T}}\), d. h. er bewertet Zug i mit dem Wert \begin{eqnarray}\mathop{\min}\limits_{j}{g}_{{\mathcal{S}}}(i,j).\end{eqnarray}

Dann kann \({\mathcal{S}}\) jedenfalls den Erlös v := max i min j g𝒮(i, j) für sich garantieren. Analog kann Spieler \({\mathcal{T}}\) den Erlös \begin{eqnarray}\bar{v}:=\mathop{\min}\limits_{j}\mathop{\max}\limits_{i}{g}_{{\mathcal{S}}}(i,j)\end{eqnarray}

sicherstellen. Die Zahl \(\begin{eqnarray}\mathop{v}\limits_{\unicode {x000AF}}\end{eqnarray}\) heißt unterer Wert des Spiels (größtes Zeilenminimum von A), die Zahl \(\bar{v}\) oberer Wert des Spiels (kleinstes Spaltenmaximum von A), und i. allg. gilt \(\begin{eqnarray}\mathop{v}\limits_{\unicode {x000AF}} \leq \bar{v}\end{eqnarray}\). Ist \begin{eqnarray}\mathop{v}\limits_{\unicode {x000AF}}=\bar{v}=:v,\end{eqnarray}

so nennt man v den Wert des Spiels.

Unter der Verwendung gemischter Strategien ist der Wert eines Spiels als optimale mittlere Auszahlung definiert. Die Existenz dieser optimalen mittleren Auszahlung garantiert der Hauptsatz der Spieltheorie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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